FORCES PARALLÈLES. CENTRES DE GRAVITÉ

Un dit que, dans ce cas, le système est en cquili/jrr asUtlKjue. Dans les autres cas, il n'y a qu'une direction des forces qui fournisse l'équilibre, celle dont les paramètres directeurs sont proportionnels à !L:P,r,, -P,j/i, -Pi3,; les autres directions donnent un système équivalent à un couple.

90. Centre des forces parallèles. — Supposons V^O; nous avons vu que le système a une résultante unique mesurée par le nombre P sur l'axe A et passant par If point G don! les coordonnées ;, y,, !| sont donm-es par les formules

^~ i:p, ' '"'"" i:F, ' ^~ xp. ■

Les coordonnées de G sont indépendantes de la direction des forces; elles demeurent les mêmes si on remplace I*,, P^, ..., P„ par les nombres XP,,XP2, ...,ÀP„, À désignant un nombre quelconque. Les coordonnées de G ne dépondent que de la [)osilion des points d'application des forces parallèles et des rapports des nombres P, à l'un d'entre eu.x.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Lorsque, laissant fixes les points d'application et les itilensités de plusieurs forces parallèles ayant une résultante, on change leur direction, la ligne d'action de la résultante passe par un point fixe. Il en est de même si on multiplie-les intensités par un même nombre. Le point fi.xe (ji par lequel passe la ligne d'action de la résultante porte le nom de centre des foi-ces parallèles.

lîemarque I. — Le centre des forces parallèles n'est défini que si PzirO: il en sera, en particulier, toujours ainsi, lorsque les forces ont toutes le même sens.

Remarque II. — Supposons qu'on partage les forces parallèles du système (S) en plusieurs groupes ayant chacun une résultante; par exemple, supposons que l'on forme trois groupes ayant des résultantes mesurées sur A par les nombres R,, R^, R^. Ces trois forces auront une résultante R identique à la résultante du système (S) puisqu'elles forment un système équivalent à (S). Soient G,, Gj, Gj, les centres des forces parallèles dans chaque groupe; si nous supposons que R,, R.,, R3 soient appliquées en ces points, leur résultante R passera par le centre G de ces trois force^. Ce centre G coïncide avec le centre des forces parallèles du système (S) puisque, lorsqu'on fait tourner les forces du système (S) autour de leurs points d'application, les forces Rp b.. lu lounient autour de G,, G.„ G^.

442 STATigi i;

Supposons mainlenanl que le système (S) n'ail pas de résullanle unique; constituons deux groupes : l'un, l'ormé des forces tirant dans un sens, qui a une résullanle R, et un centre G,; laulre, Ibrmé des forces tirant en sens contraire, qui a une résultante 1^^ = — H, cl un centre G.,. Les forces R, el R, forment un couple équivalent à (S). Si on fait tourner les forces autour de leurs points d'application. R, et R^ tournent autour de C^^ et G.,, l'axe du couple varie; en particulier, si les forces ont la direction de la droite G,G,, les résultantes R, el ï\., sont direclemenl opposées : il y a é(iuilibre. Knlin, dans le cas où (i, el G.^ coïncident, l'équilibre a lieu pour toutes les directions, le système est en équilibre asiatique.

/iemarrjuc III. — Si. clans la Coniiule qui donne I, on fait

on voit que ^ = 0; donc :

Si les points d'application des forces sont dans un plan, le centre des forces parallèles est d>ins ce plan.

Si l'on suppose que */, = y.^ = . . . i= y„ = 0, el :, = :,= ... = :„ := 0, on voit que r, et ^ sont nuls; donc :

Si les points d'application des forces sont sur une droite, le centre des forces parallèles est sur cette droite.

Bemarrjue IV. — Supposons que les forces aient toutes le même sens, on pourra donner à tous les nombres I',, P.,, . . ., P„, des valeurs positives. La formule

montre que si tous les ;, sont positifs, ^ est positif; en d'autres termes : Si tous les points d'application sont d'un même côlé d'un plan, le centre des forces parallèles est du même côté que ces points.

Considérons, par exemple, une surface fermée convexe conlciiant tous les points d'application à l'intérieur : je dis que le centre G des forces parallèles est à l'intérieur de celle surface. En etfet, une surface convexe est tout entière du môme côté de chacun de ses plans tangents. Donc, le point G est, par rapport à chaque plan tangent, du même côté que la surface : il ne peut donc être placé à Pextérieur de celle surface.

Si les points d'application sont dans un plan, le centre G esl à l'intérieur de toute courbe fermée convexe contenant tous ces i)oinU.

l'Sxemples. — Prenons comme exemple le cas de deux forces.

1° Les forces sont de même sens, la résultante esl égale à P^ r- l*o,

FOnCFS l'AIlALLEI.KS. CKNTHI.S DK GIIAMTK

le cc'iiire (i des loi-ces parallèles est silu(' sur le scgriienl A,A.„ enlre les points d'applicaliori A,, A.^ des deux forces. On u d'ailleurs

Ga,__p,

ÔA,~ i^.'

puisque le moment résultant en G est nul et que les bras de levier des forces sont pro[)orlionnels à GA, et à (JA,.

2" Les forces ont des sens contraires; la résultante est mesurée ]>ar I', h P;; le centre G est sur la droite AjA., à l'extérieur du segment et l'on a

gâ;__ P,

gâ;~ "K"

On voit que si | Pi|>iP2i. GA, < GA^; le point G est situé sur le prolongement du segment A, A,, du eiMé de la force qui a la plus grande

intensité. Si, les points d'application restant fixes, P, et P^ ont des valeurs absolues qui difîèrent très peu, la résultante P a une intensité irès faible et le point G s'éloigne de plus en plus car

et GA, augmente indéfiniment lorsque Pj-I-P., tend vers zéro. Par rapport à un point fixe 0 du plan, le moment de la résultante, égal a la somme des moments des forces, est de plus en plus voisin de l'axe du couple Pj, — P, lorsqu'on suppose P, constant et P^ voisin de — Pj. Cest pourquoi, on dit quelquefois qu'un couple joue, au point de vue des moments, le même rôle qu'une force très petite dont le point d'application est très éloigné.

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