OC .'P

Les deux surfaces sphériques se touchent en un point \. La bille

— > exerce sur le solide une réaction R. et le solide exerce sur la bille une

action directement opposée P. Le frottement étant négligeable, les

forces R, et ,P passent par 0; on dit aussi que R est la réaction du point 0. Le solide peut être considéré comme libre sous l'action de la

force R et des forces extérieures F,, F,, Fj . . . qui lui sont appliquées.

Ces forces doivent se faire équilibre, donc Fj, F,, F3 . . . forment un

système équivalent à une force unique R' (opposée à R) passant par 0. 11 faut et il suffit pour cela que le moment résultant au point 0, le

vecteur OG, soit nul.

Réciproquement, si OG est nul, les forces extérieures sont équivalentes à une force R' passant en 0; le solide est en équilibre sous laction des forces extérieures et de la force R directement opposée

à R'. On admet que cette force R représente bien la réaction qui se développe au contact de la bille fixe.

KoriLinilK DU SOLIDE NON LIHHK 455

Conditions (inali/tiiiucs. — Prenons O comino origine des coordormées; soient \, Y, Z les composantes de la résultante générale;

L, M, N celles du nnjinent résultant 0(1 des Hjrces extérieures; \', Y', //, celles de la réaction. Les six conditions de l'équilibre donnent

Yh-Y' = 0, M = 0.

Les trois dernières fournissent les conditions de l'équilibre du solide lixé en (); les trois premières donnent les composantes — \, — Y', — Z, de la réaction. En résumé :

Pour qu'un solide ayant un point fixe soit en équilibre, il faut et il suffît que le moment résultant au point fixe des forces extérieures qui agissent sur le corps soit nul.

On suppose toujours que la force P ne produit pas la rupture du support, la bille 0.

/ieinartiuc. — Le solide étant en équilibre, donnons-lui un petit déplacemenlvirbitraire compatible avec la liaison. Ce déplacement sera une petite rotation autour d'un axe A passant par le point 0. Calculons la somme des travaux élémentaires des forces extérieures qui agissent

sur le solide. Pour la force F,, le travail élémentaire est égal au

produit du moment de F^ par rapport à Taxe A par l'angle 50 de

rotation; on a de même le travail de F^ etc. La somme des travaux est égale au produit par oO de la somme des moments des forces

Fp Fj, Fj, . . . , c'est-à-dire au moment résultant du système par rapport

— '-> il l'axe A, moment qui est égal à la projection de OG sur A. Ce travail

est nul, puisque OG est nul.

Réciproquement, si le travail élémentaire est nul pour tout déplacement compatible avec la liaison, OG a une projection nulle sur un axe quelconque issu de 0 ; ce vecteur est nul, et le solide est en équilibre.

98. Solide ayant un axe fixe. — Le maintien de la fixité d'un axe ::' d'un solide est une des liaisons le plus fréquemment employées. On creuse dans le solide une cavité ayant la forme d'un cylindre circulaire et on engage dans la cavité un cylindre plein, d^axe ;-' et de rayo un peu plus petit, maintenu fixe : c'est le cas des charnières de couvercles des boîtes qui s'ouvrent par rotation du couvercle, de

STATIQUF.

gonds des portes el fenêtres, des essieux des roues de voitures. On peut aussi (ailler une ou plusieurs parties du solide en fornie de cylindre circulaire et engager ces parties cylindriques dans des cylindres creux de uiènie rayon : c'est le cas des arbres horizontaux des machines, maintenus par des coussinets, des arbres verticaux maintenus par des crapaudines. Dans l'un et l'autre cas, des épaulements empêchent le solide de glisser le long de Taxe zz' . Aux points de contact du solide et de la pièce qui assure la fixité de l'axe se développent des

oJL^

réactions R qui rencontrent :;' ou lui sont parallèles, parce que les surfaces en contact sont des

surfaces de révolution autour de =:' et que les réactions sont normales

à ces surfaces, puisqu'on néglige le frottement.

On suppose le solide en équilibre sous l'action des forces extérieures

F,, Fg, F3 ... el des réactions R. La somme des moments de toutes

ces forces par rapport à l'axe z-J est nulle; comme les réactions R, situées dans un même plan avec l'axe, ont des moments nuls, on voit que le moment résultant des forces extérieures par rapport à l'axe est nul.

Réciproquement, supposons que ce moment soit nul : nous pourrons

remplacer les forces Fp F^, F^ ... par une force OR et un couple

d'axe OG, le point 0 étant un des points de Taxe où se trouve un

épaulement. Le vecteur OG est normal à zs', puisque sa projection sur %-J est nulle; le plan du couple passe par 2-' et on peut le représenter

par deux forces opposées F et F', la force F étant appliquée au point O et la force F' étant appliquée en un point quelconque 0' de l'axe; on peut supposer que 00' est le bras de levier et que les forces F et F' sont, par suite, normales à l'axe. Les forces F et OR ont une somme P et le système des deux forces P et F'. peut être équilibré par des réactions directement opposées Q et Q' provenant de l'axe fixe.

En réalité, le point 0' étant choisi arbitrairement sur Taxe, on obtient ainsi une infinité de distributions de réactions, dont l'une au plus pourrait correspondre à la réalité. On admet que la possibilité de

trouver des forces Q et Q' rencontrant l'axe et équilibrant les forces extérieures suffit pour être assuré de l'équiliijre du corps. Le calcul des

KnilMIJKK Kl SOl.ll»!. NON I.llîlU: 457

rraclioiis réellement (iéveloppécs n'est pas possililr' si on suppose le solide rigoiireiisenient indi-forniahle.

Nous avons trouve une réaction O' normale ù Taxe : il n'est donc pas nécessaire (ju'il y ait un épaulemenl en U , le solide peut glisser le long de Taxe au voisinage de 0'. l^a liaison est. en ed'et, obtenue géomélri(iuement en fixant le point 0 et en guidant le solide en un autre point O', au moyen de l'axe ::'.

Conditions anal ij tir/ lies. — Prenons Taxe de rotation comme axe des :, le point O comme origine, et supposons que la fixité de Taxe ail été obtenue par la fixité du point 0 et d'un autre point 0' de cote h. Soient X', Y', Z'; X", Y", Z", les composantes des réactions en 0 et 0'; les coordonnées de ces réactions sont

X", Y", Z", —h\"', AX", U;

et les six équations déquilibro deviennent

X -I- X' -4- X' = 0, L — //Y" = 0, Y -h Y ' + Y" = 0, M -i- li\" = 0. Z-+-Z'-f-Z" = 0,. N = 0.

La dernière équation N = 0 fournil la condition d'équilibre. Lescinq autres servent au calcul des réactions; les quatre équations des deux premières lignes donnent X'. Y', X", Y" et il reste, pour calculer Z' et Z", l'équation unique

qui ne fournit que leur somme. Ouand il n'y a pas d'épaulement en 0'. on a Z" = 0 et Z' = — Z.

limnarque. — Nous rencontrons ici un cas oi'i la statique d'un système invariable ne permet pas de calculer les réactions.

Au point de vue géométrique, il suffit de tixer le point 0 et de laisser le corps glisser librement sur 0: au point 0' pour que le seul mouvement possible soit une rotation autour de 0-. Les réactions sont alors déterminées. Si l'on fixe le point (/, on introduit une condition géométrique surabondante et les réactions sont indéterminées. Il y a là un fait général que l'on retrouvera dans tous les cas semblables.

Au point de vue mécanique, il faut observer que les corps ne sont pas indéformables. La fixité des points 0 et U' empêche la libre déformation du corps puisque la distance OO' est invariable : la détermination des réactions est, d'autre part, impossible. S'il n'y a pas d'épaulement en 0', on peut supposer que. après une petite déformation du corps,

458 STATIOIE

on a ramoné on 0 le point qui y olail daburd ol. dans le voisinage de 0' el sur ()()', le point d'abord placé en 0'. La déformation a été possible. Ici encore, il y a un fait gonoral (jue Ton relrouvora dans tous los cas semblables : la statique fournit los réactions quand le corps peut librement se déformer; dlo ne los fournit pas, quand le corps est gêné dans ses déformations.

Cas où le riirps peut glisser le long de l'axe. — Dans ce cas, comme on néglige le frottement, les réactions sont normales à l'a.ve, les équations deviennent, en supposant Z= Z" = 0,

Les équations de la dernière ligne fournissent les conditions d'équilibre. Celles des deux premières donnent les composantes des réactions en 0 et 0'.

En résumé :

Pour quun solide, mobile autour d'un axe fixe le long duquel il ne peut glisser, soit en équilibre, il faut et il suffit que le moment résultant, par rapport à l'axe, des forces extérieures qui agissent sur lui soit nul.

Si le corps peut glisser le long de iaxe, il faut et il suffit : 1" que le moment résultant des forces extérieures, par rapport à l'axe, soit nul; 2" que la somme des projections des forces extérieures sur l^axe soit nulle.

Remarque. — Dans le premier cas, les déplacements compatibles avec les liaisons sont les rotations autour de 0:;. La somme des travaux

élémentaires des forces F,, ¥^, Fj . . . pour une petite rotation d'angle oO autour de Oc, est NoO. Elle est nulle si le corps est en équilibre et réciproquement, si cette somme est nulle, N ^ 0, et le corps est en équilibre.

Dans le second cas, les déplacements sont des rotations autour de 0:: et des glissements le long de ():. Un petit déplacement

est défini par une rotation d'angle oO et une translation o:; dans la

translation, le travail élémentaire de Fj est Z,ci-. celui de \\ est Z.,o:,

etc. La somme de ces travaux est Zoz. Le travail élémentaire 'pour un petit déplacement est ZS:-t-NoO. Si le corps est en équilibre, Z €t N sont nuls, et ce travail est nul -quels que soient 5: et oO. Réciproquement, si ce travail est nul quels que soient oz et oO, on a Z = N = 0, €t il y a équilibre.

EQU1LIBRI-: DU SOLIDK NON MHIIK 459

99. Solide reposant sur un plan fixe. — Le frolfement étant négligeable, lu reaction du plan, en chacun des points de contact du solide et du plan, est normale a ce plan. Toutes les réactions ont une

résultante K normale au plan, dirigée du côté de l'espace où est le solide et rencontrant ce plan en un point situé à l'intérieur de toute courbe fermée convexe entourant les points de contact. Celte résultante U doit équilibrer les forces extérieures K,, Fj, F, .... Donc, il

est nécessaire que les forces extérieures aient une résultante unique F, normale au plan, dirigée de manière à appuyer le corps sur le plan et le rencontrant à l'intérieur de tout contour convexe entourant les points d'appui. On peut, en particulier considérer le polygone convexe dont les sommets sont des points d'appui et qui ne laisse aucun point d'appui à l'extérieur de la surface qu'il limite : ce polygone porte le nom de pohjgonc de sustentation. Si les points sont en ligne drcjite, le polygone de sustentation se réduit au segment de droite qui

unit les points d'appui extrêmes. La résultante P doit rencontrer la surface limitée par le polygone de sustentation.

Réciproquement, supposons remplies les conditions précédentes :

1" Il n'y a qu'un point d'appui A; le polygone de sustentation se

réduit au point A, la force P doit passer par A, elle peut être

équilibrée par une réaction R directement opposée et l'on admet que cette réaction se produit réellement. Le solide est en équilibre.

2" Il y a deux points d'appui A, et \.,: la force P rencontre le

segment A,.\.^ en un point A. On peut remplacer la force P par

deux forces parallèles et de même sens P, et P., passant par A, et A,;

ces forces peuvent être équilibrées par des réactions directement

—V — y opposées R, et R^ et l'on admet qu'elles se produisent réellement. Le solide est en équilibre.

3" Il y a trois points d'appui A,, A„ A., non en ligne droite ; la force P rencontre le triangle en un point A intérieur ou situé sur le contour. La droite AjA rencontre le segment A.^Aj en un point A'. On peut

remplacer P par deux forces parallèles et de même sens P, et P' appliquées en Aj et A' puisque A est sur le segment A^\'.

De même, A' étant situé sur le segment A^A,, on peut remplacer P'

par deux forces parallèles et de même sens, Pj et P3, appliquées

—V — > —y en A.^ et Aj. Les troisw forces Pp P.,, P;,, peuvent être équilibrées par

460 STATlgUK

trois réactions directement opposées R,, R^, R3. On admet que ces réactions se développent réellement, f.e solide est alors en équilibre.

S'il y a plus de deux points d'appui sur une droite, on voit que les réactions ne sont pas déterminées, (u'ométriquoment, si deux points du corps sont sur le plan, il en est de même pour tous les points du corps en ligne droite avec ces deux points. Exprimer (jue l'un d'eux est sur le plan, c'est exprimer une condition surabondante.

D'ailleurs, le solide ne peut pas se déformer librement car, après une petite déformation, on ne pourrait plus le placer sur le plan de manière que les points soient encore en ligne droite.

4° Il y a plus de trois points d'appui non situés tous en ligne droite;

la force 1* perce le polygone de sustentation en un point non extérieur A qui est situé dans plusieurs triangles ayant des points d'appui comme sommets. Si AjA.Aj est un de ces triangles, on peut

équilibrer la force F. par trois forces R,. H^, R3. appliquées en Aj, A.^, A3 comme nous venons de le voir. On peut supposer que toutes les autres réactions sont nulles. On admet que la possibilité de trouver un système de réactions équilibrant les forces extérieures suffit pour que l'équilibre soit réalisé. Le problème de la détermination des réactions est ici indéterminé. Le solide ne peut pas en l'Ifet se déformer librement si le plan d'appui est indéformable et s'il y a plus de trois points d'appui. La statique du solide permet le calcul des réactions d'une table à trois pieds mais non d'une table à quatre pieds.

Conditions analytiques. — Supposons, par exemple, qu'il y ait quatre points d'appui. Prenons le plan d'appui comme plan des xy, l'axe Oz, normal à ce plan, et dirigé du c<')té de l'espace où se trouve le corps. Si f/j. b^, 0; a,, />.,, 0; «3, h.^, 0; a^, h,, 0 sont les coordonnées des points d'appui, les coordonnées des réactions seront