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et les six conditions d'équilibre donnent
X = 0, L — é.Rj — /^R, — bJ\^ — b.K. — 0, Y = 0. M -h a,R, 4- aM> 4- a.J\^ -i- a, H, =0,
Les conditions d'équilibre sont \ = 0, Y = 0, N=0. On en déduit LX + MY -f- \Z r= 0 ;
KyriLIHIlK DU SOLIDK NON Liitiu: 461
donc, les forces F,, F,, F3, . . . ont une résullanle iinifjue !*, parallèle à 0; et mesurée par Z. D'ailleurs.
—> la force P appuie le corps sur le plan. Soit A (a, h, 0) le point où cette
résultante perce le plan des xy, on aura
L = bZ, M = — fïZ;
el. par suite,
// /. D , / i> , / i> , / i> ; />,H,-l- A,H., -hi,R,-+-*.H.
b/. = é,R, -h bM, -f- b,\{^ -+- b,\\,, h = '^^^■^^-^^(/^^^ ' ^
V D , L. , n , i> a.Il, -f-«,H., -l-a,R, -f-a.R,
a A = a.R. + aM, -4- a,K, + .,R,, a = '^^ ^-r;^r;4. h/ '
La valeur de a est comprise entre le plus grand el le plus petit des nombres a^, a.,, a.^, a^; la valeur de b est comprise entre le plus grand et le plus petit des nombres b^, b:^, b.-^. b,. Donc, le point A est à l'intérieur du polygone de sustentation.
Les trois équations universelles d'équilibre qui contiennent les réactions n'en permettent pas le calcul complet. S'il n'y a que trois points d'appui, on peut les calculer quand ces points ne sont pas en ligne droite.
En résumé :
l'oitr qu'un solide reposant sur un plan soit en éqiiilibre, il faut et il suffit que les forces extérieures agissant sur ce solide aient une résultante unique perpendiculaire au plan el dirigée de manière à appuyer le corps sur le plan. Il faut en outre que cette résultante perce le plan en un point non extérieur au polygone de sustentation.
/{l'inarque. — Donnons au solide un déplacement compatible avec les liaisons, c'est-à-dire un déplacement qui le laisse sur le plan. Ce déplacement est une rotation de l'angle oO autour d'une parallèle À à 0: m(^née par le centre instantané de rotation. La somme des travaux élémentaires des forces extérieures est N'50, N' désignant le moment résultant de ces forces par rapport à A. Si x„, »/„ sont les coordonnées du pied de A sur le plan des xy, on a
Si le corps est en équilibre, on a N =: X ^ Y = U et N'oO = 0. Réciproquement, si la somme des travaux élémentaires est nulle quel que soit le déplacement, on a
quels que soient J^oi î/o- Donc N=X=:Y = 0, et le corps est en équilibre.
STATIQIK
100. Principe des travaux virtuels. — Dans les cas simples que nous venons d'examiner, nous avons remarqué que la condition nécessaire et suffisante de l'équilibre est que la somme des travaux des forces extérieures soit nulle pour tout déplacement compatible avec les liaisons. Un tel déplacement s'appelle un déplacement virtuel compatible avec les liaisons.
La condition trouvée constitue un principe général de la statique des systèmes, que l'on appelle le principe des travaux virtuels. Kn voici l'énoncé :
La condition nécessaire et suffisante de Véquilihre d'un système matériel soumis à des liaisons sans frottement est que la somme des travaux des forces appliquées au corps soit nulle pour tout déplacement virtuel compatible avec les liaisons.
Dans cet énoncé, il s'agit des forces- appliquées au système, aussi bien intérieures qu'extérieures. Les forces de liaison seules sont exclues.
Pour un corps solide, les forces intérieures deviennent des forces de liaison : la liaison correspondante est l'invariabilité de la distance de deux points du corps. II est facile de voir, d'ailleurs, que la somme des travaux de ces forces est nulle et que, dans l'énoncé du principe, subsistent seules les forces extérieures. En efTet. les forces
intérieures sont deux à deux directement opposées; soient K et F' les deux forces intérieures correspondant à l'action mutuelle des deux points A et B. Pour un petit déplacement du corps, le travail élémentaire de F s'obtient en faisant le produit scalaire du vecteur F par le vecteur AA' mesuré par ds = vdt sur la tangente à la courbe décrite par A. Ce produit est F. AH. De même le travail de F' est égal à
F'.BK = — F.BK et la somme de ces travaux est F (AH — BK). Or, nous avons vu au paragraphe 27 que les projections sur AH des vecteurs vitesses de A et B sont des vecteurs égaux ; il en est de même des projections des vecteurs \dl et \'dt, donc AH =: BK. et la somme des travaux est nulle.
Donc : la somme des travaux virtuels des forces intérieures d'un solide est nulle.
KXKIU.ICF.S Si R Ll. LIVIti; III ^Q^
EXERCICES Sl'H I.E I.IV1U-: lli
1. — Soient trois points A. li, C et M un point quelconque, la résultante des forces AMA, ÂMB, AMC, A- étant un nombre lixe, est re|)résenlée par .'UMG, G étant le centre de gravité du triangle ABC. (îénéraliser.
2. — La résultante des forces /i:,MA. A^MB, A-jlVIC, A,. A„ A.^ étant des
conslanles, est égale à (A, -h A. -+- A\).MI, I étant le centre de trois forces parallèles, d'intensités égales à A,. /{.,, A.,, et appliquées aux points A, B, C. Examiner le cas nù A, h- A, -h A, = 0. (îénéraliser.
3. — In bâton \\\M est appuyé sur l'épaule d'un homme au point K el supporte à son extrémité A un poids P. Il est maintenu dans une position invariable par 1 action de la main qui appuie sur le bâton en .M. Etudier les variations de la pression sur l'épaule lorsque la position M de la main varie le long du hàton sans que les points A et E se déplacent. On négligera le poids du bâton et les frottements.
4. — Une tige homogène Ali, de poids P, est mobile autour d'une extrémité A qui est fixe. L'autre extrémité B est rattachée par un fil tendu à un point 0 situé sur la verticale du point A. Le système est en équilibre et le triangle O.VB est équilaléral. Déterminer la tension du fil et la réaction du point fixe A.
5. — In syslèiiie invariable .\0B est formé par deux tiges rectilignes homogènes pesantes dont le poids, par unité de longueur, est le même. La longueur OB est le double de la longueur OA, et l'angle AOB est de 60 degrés.
Le contour est suspendu ;i im clou par le sommet 0 de langle .\0B. Calculer, dans la position d'équilibre, la tangente de l'angle que fait O.V avec la verticale du point 0.
0. — Un système polygonal plan, invariable, pesant et homogène, .\BCDEP", est formé par cinq côtés consécutifs d'un hexagone régulier.
1" On suspend ce contour à un clou horizontal par le sommet E. Calculer la tangente de langle (jue fait, dans la position d'équilibre, la diagonale EB avec la verticale.
"2'' Un ni est attaché au point A; en tirant sur ce (il, on amène la diagonale EB à être verticale el le til à être horizontal. Calculer, dans la nouvelle position d'équilibre, le rapport de la tension du fil au poids du contour.
3' Résoudre les mèm^s questions lorsque le contour est suspendu par le sommet D, en remplaçant la diagonale EB, par la diagonale DA.
