COURS D'ANALYSE
THÉORIE ET APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS
§ 1. — THEOUIE DES DÉTERMINANTS
1. Permutations. — Définition'". — On appelle permutation des n premiers entiers Vune quelconque des suites obtenues en écrivant ces n nombres, sur une ligne droite, dans un ordre quelconque.
Si cet ordre est l'ordre de grandeur croissante, la permutation, obtenue s'appelle la permutation naturelle.
Exemple : 1.2.3.4.5 est la permutation naturelle des 5 premiers entiers; 13. 5. 4. 1.2; 4.2.5.3.1 en sont deux autres permutations.
Problème. — Former toutes les permutations des n premiers entiers.
Soit à former, par exemple, toutes les permutations des 4 premiers entiers. Si j'imagine une quelconque de ces permutations et si je barre le nombre 4, j'obtiens une permutation des 3 premiers entiers. Donc j'obtiendrai toutes les permutations chercliées si, prenant successivement chaque permutation des 3 premiers entiers, j'y introduis successivement le nombre 4 à la 4% à la 3% à la ^^ et à la 1" place. Chaque permutation des 3 premiers entiers me fournit ainsi 4 permutations différentes; de plus, deux permutations différentes des 3 premiers entiers ne peuvent fournir une même permutation, car d'une permutation des 4 premiers entiers on ne peut déduire qu'une permutation des 3 premiers entiers en y barrant le 4.
(1) La théorie des déterminants n'est pas comprise dans le programme du certificat de Mathématiques générales de la Faculté des Sciences de Paris. .Mais elle est indispensable aux étudiants qui se proposent de suivre, ultérieurement, un cours de calcul différentiel et intégral.
(2) Celle définition a été déjà donnée, incidemment, au n° 72, tome l.
500 TUKORIE ET APPLICATIONS DES DETERMINANTS
Tout revient donc à former d'abord toutes les permutations des 3 premiers entiers. Or celles-ci s'obtiendront de même en partant des permutations des 2 premiers entiers; et ces dernières dérivent encore de la permutation unique du seul entier 1. On a donc, successivement les tableaux suivants :
(TJ
En introduisant de même l'entier 5 aux 5 places possibles dans chacune des permutations du tableau (TJ, on obtiendrait le tableau (T5) des permutations des 5 premiers entiers; et ainsi de suite.
Nombre des permutations. — On voit que la permutation de (T,) fournit ainsi 2 permutations de (1\); que chaque permutation de (Tj) fournit 3 permutations de (T3); que chaque permutation de (T,) fournit 4 permutations de (TJ; et ainsi de suite.
Si donc on désigne par P,, P^, P3, P^^ . . ..les nombres des permutations des tableaux (T,), (TJ, (T3), (TJ, ..., on aura successivement:
P^=l, P,=2Pj = 2.1, p3=3P,=:3.2.1, P,=4l\=4.3.2.1;
et ainsi de suite. De sorte que l'on arrive au résultat suivant, déjà obtenu par une autre voie au numéro 72 :
Théorème. — Le nombre P„ des permutations des n premiers entiers est égal au produit 1.2.3. . .n de ces n entiers.
2. Inversions, — Définition 1. — On dit que deux indices ^^^ d'une permutation formi'nl une inversion si celui de gauche est plus grand que celui de droite.
Le nombre des inversions que présente une permutation peut s'obtenir comme il suit. On prend le 1" indice à gauche et l'on
(1) Pour éviter des confusions de langage, il est commode de donner ce nom d'inc/tces aux nombres entiers qui figurent dans une permutation.
THEOniE DES DETERMINANTS 501
compte combien il y en a de plus petits ii sa droite; puis le 2* et l'on compte combien il y en a de plus pelils h sa droite; et ainsi de suite; et on fait la somme de tous les nombres d'inversions ainsi obtenus.
Exemple : (j.i. ^,1.1. '^ M. contient 5 -h 3 + 3 -f- 3 -h 0-+- 1 = 15 inversions.
DÉFINITION 2. — Une peiTnutation est paire si elle contient un nombre pair d" invei'sions ; elle est im,paire si elle en contient un nombre impair.
Exemple : La permutation 6.4.5.7.1.3.2 est impaire; la permutation G. 7. 5. 4. 1.3. 2 est paire; la permutation naturelle, qui contient 0 inversion, est paire.
Théorème. — Si on échange deux indices d'une permutation, elle change de parité.
Supposons d'abord que l'on échange deux indices consécutifs; cela ne change rien aux inversions formées respectivement par ces deux indices avec tous les autres, ni à celles formées respectivement par d'autres indices entre eux; mais si ces deux indices formaient en plus une inversion, ils n'en forment plus; et inversement. Le nombre total des inversions a donc augmenté ou diminué dune unité.
Supposons ensuite que les deux indices échangés soient séparés par un ou plusieurs autres. Par exemple qu'on échange 5 et 7 dans la permutation G. 3. 5. 2. 8. 7. 4.1 ce qui donne G. 3. 7,2.8.5.4.1. On peut obtenir ce résultat, en échangeant 5 successivement avec 2, avec 8, avec 7; puis 7 avec 8 et avec 2; c'est-à-dire en échangeant 5 successivement avec les p indices compris entre 5, et 7; puis avec 7, et alors 7 avec les p indices primitivement placés entre 5 et 7. Or cela fait 2p-i-l échanges; c'est-à-dire un nombre impair de changements de parité; donc, en définitive, changement de parité. C. Q. F. D.
Corollaire. — On conclut du théorème précédent que, du tableau de toutes les permutations paires des 5 premiers entiers, par exemple, on déduit celui de toutes les permutations impaires en échangeant 2 indices quelconques, 2 et 4 par exemple, dans toutes les permutations du i" tableau. Il y a donc, en particulier, autant de permutations paires que de permutations impaires dans le tableau total des permutations des n premiers entiers.
3. Définition des déterminants. — On appelle déterminaml de degré n le résultat d'une certaine opération efifectuée sur n- quantités algébriques rangées en carré, dans un ordre donné, auxquelles ou
THEORIK ET APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS
donne le nom à'éléinenls du délerminanl. Nous définirons celle opération pour un carré contenant IG éléments, c'est-à-dire A lignes horizontales et -4 colonnes verticales, de 4 éléments chacune. Soit :
(Les numéros écrits en avant,, et en lêle du tableau, sont les numéros, ou indices, des lignes et des colonnes du carré.)
Nous supposons formé le tableau (TJ des 24 permutations des 4 premiers entiers, et à chacune de ces permutations nous faisons correspondre un produit de 4 des éléments (1), à savoir l'élément de la 1" ligne qui est dans la colonne dont l'indice est le 1" nombre de celte pei mutation; l'éltment de la 2'' ligne qui est dans la colonne dont l'indice est le 2* nombre de la peimulation, etc. Et on affecte le produit obtenu du signe (+) si la peimulation est paire, du signe ( — ) ai la permutation est impaire. On a ainsi ce qu'on appelle un terme du déterminant.
La somme algébrique des 24 termes obtenus de cette manière est, par définition, le déterminant des quantités (1). On représente ce déterminant par la notation :
qui signifie par conséquent que A est égal à la somme algébrique : A = + ab'c"d"' — ab'd"c"' + ad'b"c"' — da'b'Y"
— ac'b"d"' -h ac'd"b"' — ad'c"b"' + da'c"b"' -+- ca'b"d"' — ca'dlj'" + cd'a"b"' — dc'a"b"'
— ba'c"d"' H- bad"c": — bd'aV" -+- db'a"c"' H bc'a"d"' — bc'd"a"' + bd'c"a" + db'c"a"'
— cb'a"d"' + cb'd"a" — cd'b'W" -+- dc'b"a"'.
On définira de môme les déterminants du 2* et du 3" degré : a b
^ ab' — ba' ,
ab'c" — ac'b" + ca'b" — ba'c" + bc'a" — cb'a".
TIIKOIUK Ui:S DKTKHMINANTS ",03
On appelle; termi' principal du dctorminanl celui qui est fourni par la permutalion nalurolle; il se compose des éléments placés sur la diagonale du carré qui va de gauche èi droite et de haut en bas, et qu'on appelle la diagonale principale. On écrit quelquefois, pour abréger,
A = (a//c"d"'), ou A = i]±(a//c"rf"').
4. Premières propriétés des déterminants. — Propriété I. — 11 résulte 'immédiatement de la définition du délerminanl que chfuiue terme contient un élément de chaque ligne et un seul, et en même temps un élément de chaque colonne et un seul.
Par suite, si on met en facteur commun un élément quelconque dans tous les termes qui le contiennent, la somme algébrique ainsi obtenue ne contient que les éléments des lignes et des colonnes autres que la ligne et la colonne de cet élément; on l'appelle le coefficient de cet élément dans le déterminant.. Nous représenterons par A le coefficient dé a, par B celui de à, etc. . ., par A' celui de a', etc. . . , par D'" enfin celui de d'".
Exemple ; C = — ab"d"' + ad"b"' + ba"d"'— hd"a"' — da!'b"'-\-db"a" .
Propriété II. — Tout terme du déterminant A contient un des éléments de la première ligne; il est donc contenu dans l'un des produits aA, ÔB, Ce, \)d et comme il ne contient qu'un élément de cette première ligne, il n'appartient pas à deux de ces produits. L'ensemble de tous les termes, c'est-à-dire A, est donc égal à la somme de ces \ produits. On
a donc
l = a\ -4-6B H-cC -+-f/D;
et, de même,
A = a'A' -^é'B' -^-c'C -hrf'D', A=:f/"A"' +6"B" -Hc"G" -+-rf"D", A = a"k"' + 6"'B"' -f- c'"C"' -\- d"'D"'.
Le même raisonnement pouvant se faire pour les colonnes, on a
encore
A = a A -h a' A' -f- a"A" -+- a'" A'", \ = hB -i- //B' -f- 6"B" -h 6"'B", A = cC -h o'C -f- c"C" -+- c"'C"', l — dD-hd'D'^ d"D" -+- rf"'D"'.
On exprime ces résultats en disant :
Un déterminant est une fonction linéaire et homogène des éléments de chaque ligne, et aussi des éléments de chaque colonne.
THEORIE ET APPLICATIONS DES DETERMINANTS
Propriété III. — Lorsque les éléments d'une iujne {ou d'une colonne) sont des sommes de plusieurs quanfités, on peut considérer le déterminant comme la somme de plusieurs déterminants.
Soit, par exemple,
pa"
a =p-hp -i-p
et considérons
abc
On peut écrire
\ = a'X' -hb'B' -hc'C
A = (pA' -+- qB' + rC) -h ip'\' -f- q'B' -h r'C) 4- (p"A' + q"h' -h r"C).
Comme A', B', C ne contiennent ni a', ni b\ ni c', les 3 parenthèses s'obtiennent en remplaçant dans A la ligne a' b' c, successivement, par les lignes partielles pqr; p'q'r' ; p"q"r". On a donc
Propriété IV. — 5i tous les éléments d'une ligne {ou d'une colonne) contiennent un même fadeur^ on peut le mettre en facteur commun dans le déterminant .
Soit
avec On a
a'A' -h 6'B -hc'C ^ m (a' A'
c = my
Or, d'après le raisonnement précédent, la parenthèse est ce que devient A quand on y remplace a' par a', b' par ^' et c' par -}'. Donc :
ma
=zm
Remarque. — Par application des propositions précédentes, on peut inversement, faire la somme de plusieurs déterminants ne diirérant que par une ligne (ou par une colonne); et faire entrer dans un déterminant, comme facteur des éléments d'une ligne (ou d'une colonne), un facteur placé devant un déterminant.
TFIKOniK DIS IIKTIHMIN A.NTS
On peul également combiner les deux propriétés. Ainsi
mb H- n^
mb' -t- H ^'
Remarquons enlin que, de la propriété I, il résulte ([u«n diteinnnanl est uul, si les éléinenls d'une liijne ou d'une colonne sonl tons nuls.
5. Propriétés qui résultent de la comparaison des colonnes. — PnoiMUKTÉ \ . — Un déterminant qui a deux colonnes identiques est nul.
Soit
Et supposons, par exemple, b = d, b' = d', b" = d'\ b'" = d"', c'est-àdire que les 2" et 4* colonnes sont identiques.
Du corollaire qui termine le numéro 2, on conclut que A a autant de termes aiïectés du signe -t- que de termes affectés du signe — ; et nous pouvons associer chacun des premiers à l'un des seconds et à un seul, de manière que les permutations fournissant deux termes associés ne diffèrent que par lécliange des nombres 2 et i. Ces 2 permutations seront par exemple 3.2.1.4 et 3.4.1.2. La ligne qui fournil pour le premier des 2 termes un élément de la 2" colonne fournira pour l'autre un élément de la 4" colonne, et inversement. On passe donc de l'un des termes à l'autre en y changeant h en d, b' en d', b" en d", b'" en d'" et inversement.
Dans l'hypothèse faite, ils sont donc identiques, et, comme ils sont affectés de signes contraires, ils se détruisent. Cela étant vrai pour deux termes associés quelconques, les termes de A se détruisent deux à deux, et A est nul.
Propriété VI. — Si on ajoute aux éléments d'une colonne des équimultiples des éléments correspondants des autres colonnes, le déterminant ne change pas de valeur.
Exemple :
b -H ma -h ne
b' -h ma' -f- ne'
h" -^ VI a" ^ ne"
TIIKOIUE KT AITLICATIONS DES DETERMINANTS
-hn
Car le deuxième niemhro peut s'écrire
abc
Et les deux derniers déterminants sont nuls, comme ayant deux colonnes identiques.
Propriété VII. — Si les éléments des diverses lignes sont liés par une même relation linéaire et homoqrne à coefficients non tous nuls, le déterminant est nul.
Soit encore
abc
et l'on suppose que l'on a, à la fois,
ma -\- nb -\r- pc =z ma' -\- nb' -{- pc' =^ ma" -h 7ib" -+- pc" = 0,
avec w^rO par exemple. On peut écrire
ma -+■ nb -j- pc b c
m A := ma' -h nb' -h pc' b' c'
ma" -i- nb" -h pc" b" c"
comme on le voit en décomposant le déterminant en trois. Or la première colonne a ses éléments nuls par hypothèse. Donc mA=rO, et, comme m n'est pas nul, on a A = 0,
Propriété VIII. — Si on échange, élément à élément, deux colonnes d'un déterminant, il change de signe en gardant la même valeur absolue. Par exemple :
n effet, on a
a' b' -hf/' c' b' -\-d' a" b" H-ri" c" b" H-d"
c' b' -+-d' c" b" -hd"
b' -hd' b" +rf"
Or les deux derniers déterminants sont chacun la somme d'un déterminant à deux colonnes identiques, c'est-à-dire nul, et de l'un des deux
TnEOHlK DKS DKTKIIMI.N A.NTS
délerminanls considérés. La somme do ceux-ci est donc nulle, ce qui équivaut à dire qu'ils sont égaux et de signes contraires. (C. Q. F. D.)
6. Échange des lignes et des colonnes. — Prophilti'; I\. — Un déterminant garde la inhne valeur si •on chan(/i- les lii/nes eu colonnes et les colonnes en ligues.
Il faut, entendre par là que la première ligne devient la première colonne, et inversement; que la deuxième ligne devient la deuxième colonne, et inversement; et ainsi de suite. Par exemple, le déterminant
deviendra
ly
Pour élablir celte proposition, nous montrerons que rien ne distingue au fond, dans la définition du déterminant, les lignes des colonnes. En eftet, faisons d'abord abstraction du signe dont on artecte les divers termes; chacun de ces termes renferme un élément et un seul de chaque ligne et de chaque colonne (Pr. I).
Réciproquement, si on a un produit de i éléments de A, tel que parmi ces 4 éléments il y en ait un et un seul de chaque ligne et de chaque colonne, on pourra écrire d'abord celui de la l'"'' ligne, puis celui de la 2*^, etc.; et en inscrivant au-dessous de chacun des éléments ainsi rangés le numéro de sa colonne, on obtient une permutation des 4 premiers entiers; le terme de A correspondant à cette permutation d'après la déûnition du numéro 3 est précisément le produit considéré.
Donc : abstraction faite du signe dont on les affecte, les divers termes sont tous les produits de 4 éléments formés en prenant de toutes les manières possibles un élément et un seul dans chaque ligne et dans chaque colonne.
il n'y a rien là qui distingue les lignes des colonnes.
Considérons, de plus, un tel produit, et inscrivons au-dessous de chacun des éléments qui y figurent, écrits dans un ordre quelconque, d'abord le numéro de sa ligne, puis le numéro de sa colonne. Comme il y a un élément de chaque ligne et de chaque colonne dans ce produit, cela donne deux permutations, que nous appelons permutation
ÏIIKOIUE ET APPLICATIUNS DKS DETKHMI.NANTS
des lignes et permulation des colonnes associées au terme considéré, tel qu'il se trouve écrit.
Exemple
b (terme de A au signe près)
1 (permutation des lignes)
2 (permutation des colonnes).
Si on échange dans ce terme deux éléments, il se produira un échange des numéros correspondants dans les 2 permutations à la fois. Donc, si elles étaient de même parité, c'est-à-dire toutes deux paires ou toutes deux impaires, comme elles changent de parité toutes deux, elles sont encore de même parité; et, de même, si elles étaient de parités dilTérentes, elles restent de parités diiTérenles. Comme on peut, par des échanges successifs de deux éléments, amener les 4 éléments dans un ordre arbitraire, on voit que la parité relative des deux permutations associées à un terme quelconque ne dépend que du choix des éléments et non de Tordre dans lequel on les écrit.
Si. en particulier, on les écrit de manière que la permutation des lignes soit la permulation naturelle, les deux permutations sont alors de même parité, si celles des colonnes est paire; et alors nous savons qu'on affecte le terme du signe (-H); et elles sont de parités dilTérentes, si la permutation des colonnes est impaire, et alors le terme est affecté du signe ( — ). Donc :
Pour déterminer le signe dont on doit affecter un terme du déterminant, on peut écrire tes éléments composant ce terme dans un ordre arbitraire, et former la permutation des lignes et celle des colonnes qui lui correspondent. Si elles sont de même parité, le signe est (-f-); si elles sont de parités différentes, le signe est ( — ).
On voit qu'ici encore tout rôle particulier, joué par les lignes, plutôt que par les colonnes, a disparu. On a donc :
Conséquence. — Il résulte de là que toutes les propriétés du; numéro 5 restent vraies, quand on y remplace le mot colonne par le mot ligne, et inversement.
7. Développement des déterminants. — Propriété X. — Le coefficieirî d'un élément dans un déterminant est donné par la règle' suivante i On supprime dans le déterminant donné la ligne et la colonne de Vé.lé^
THEORIE DES DETERMINANTS r.09
ment considéré ; cl on affecte le nouveau déterminant, de de<jré inférieur d'une unités ainsi obtenu, du signe (+), ou du signe ( — )', suivant que les indices de la ligne et de la colonne de l'élément sont de m^me parité ou de parités différmlrs.
Reprenons, en ellet, le déterminant A, et considérons tous les termes qui contiennent le dernier élément à droite et en bas, d'". Soit T l'un de ces termes; il est fourni, d'après la définition du numéro 3, par une permutation i dont le dernier nombre est 4, puisque d'" est de la dernière colonne; les trois premiers facteurs de T s'obtiennent au moyen des 3 premiers nombres de 'S, qui forment une permutation £' des 3 premiers entiers ; le 1" étant le nombre de la l'" ligne de A qui a pour numéro de colonne le i*^"" nombre de ^ (c'est-à-dire qu'il est pris dans une des trois premières colonnes de A); le 2" étant le nombre de la 2" ligne de A qui a pour numéro de colonne le 2* nombre de $'; etc. Or c'est exactement la règle servant à former le terme T' du déterminant
abc a' b' c' a" b" c"
qui correspond à la permutation ^' .
De plus, comme 4 no peut donner lieu, dans ;f, à aucune inversion, étant le plus grand des nombres de i et le dernier, les permutalious '£ et 'S' ont le même nombre d'inversions et sont de même parité. Donc T et T' sont affectés du même signe; et par suite T est, en grandeur et en signe, égal au produit Id'" . De plus, comme toutes les permutations S terminées par 4 s'obtiennent en écrivant 4 à la droite de toutes les permutations f des 3 premiers nombres, le coefficient de d'" dans A est la somme algébrique de tous les termes de A', c'est-à-dire A' lui-même. On a donc, pour le coefficient de l'élément d"\ la valeur D' ' = A'; et, comme la ligne et la colonne de d" sont de même parité, cela est conforme à l'énonc'.
Si nous considérons maintenant un élément quelconque situé dans la p" ligne et la 7" colonne d'un déterminant A de degré n, en échangeant sa ligne successivement avec la (p-i-l)% la (/3-f-2)% etc., et enfin avec la [p-{-n — p)", on amènera cette ligne à être la dernière; ces opérations ne changent pas la disposition relative des autres lignes, et chaque opération multipliant A par ( — 1), le nouveau déterminant a pour valeur ( — 1)"~''A.
Si on échange ensuite la q" colonne avec la (7-1- 1/, puis avec la
TiiKOitii: i:t applications des déterminants
{q-\-^Y, etc., et enfin avec la {g-hn — qY (c'esl-à-dire la dernière), on obtient, de même, un déterminant qui a pour valeur
ou ( — 1 1-""-''+^ A, c'est-à-dire qui est égal à A si ;) et </ sont de raêroc parité, et à — A, si /; et q sont de parités difréronles. Or, dans ce nouveau déterminant, le coefficient de l'élément considéré s'obtient, dans le cas particulier examiné d'abord, en y barrant la dernière ligne et la dernière colonne; ce qui revient à barrer dans A, la p" ligne et la q" colonne. Soit A^,, ce déterminant. Le coefficient de l'élément considéré dans A sera donc A,,., affecté du signe (-h) ou du signe ( — ) suivant que le nouveau déterminant est égal à A ou à — A; ce qui démontre la règle énoncée.
Exemple. — Pour le déterminant A. du quatrième degré, considéré dans ce qui précède, on a, avec les notations déjà employées,
etc.
Remarque. — Si on calcule successivement les coefficients des éléments d'une même ligne ou d'une même colonne, les signes indiqués par la règle précédente sont alternés.
Développement dun déterminant. — Le résultat précédent permet de raûiener le calcul d'un déterminant de degré n à celui de n déterminants de degré » — 1, en développant, comme Ton dit, le déterminant suivant les éléments d'une ligne ou d'une colonne.
Il n'y a pour cela qu'à remplacer les coefficients des éléments par leurs valeurs, dans lune quelconque des formules du numéro 4 (prop. II).
En continuant à appliquer le même principe, on sera, quel que soit le degré du déterminant donné, ramené, de proche en proche, à des déterminants du 2* degré, que l'on développe immédiatement.
Ce procédé de calcul des déterminants est plus rapide que celui qui résulte de leur définition.
Exemple.
abc a' b' c' a" b" c"
-hc
ou
THEORIE DES DETEUMINANTS
Remarque. — On appelle m'meur d'un déterminant A tout déterminant déduit de A en y barrant un même nombre de lignes et de colonnes. Les déterminants A,,.,, considérés plus haut s'appellent des mineurs du premier rang.
8. Multiplication des déterminants. — Étant donnés deux déterminants d'un même degré, iJ et A, nous appellerons, pour abréger, produit d'une ligne de D par une ligne de A, la somme des produits obtenus en multipliant les éléments correspondants de ces deux lignes; nous entendons par éléments correspondants ceux qui sont dans des colonnes de même rang. Ainsi, pour les déterminants du troisième degré.
le produit de la ligne o, h, c par la ligne a', ^', y' est uol' -hà^i' -hC'/- Cela posé, le produit de deux déterminants l) et A, de degré n, s'obtient en formant un nouveau déterminant P, de degré n, de la manière suivante : la première ligne de P s'obtient en multipliant successivement la première ligne de D par les diverses lignes de A; la deuxième ligne de P s'obtient en multipliant successivement la deuxième ligne de D par les diverses lignes de A; et ainsi de suite.
Ainsi, pour les deux déterminants D et A, du troisième degré, considérés ci-dessus, le produit est
aa' -|-6p' +cv' aa" +6?" -f-Cy" «'3c' + 6'^' + c'y' a' a" -+-//^" h- c'y"
rt" a -h b" [i -+- c" Y a" a' -f- b" ^' + c" y' a" a" + b" fS" -+- c" y"
Pour le démontrer, il suffit de remarquer qu'on peut décomposer ce déterminant P en une somme de trois déterminants (propriété III) en décomposant la première colonne en trois colonnes partielles, formées des produits, tels que a a, écrits les uns au-dessous des autres. Chacun de ces déterminants partiels en donnera trois, en décomposant de même la seconde colonne; et chacun des nouveaux diHerminants obtenus en donnera trois, en décomposant de même la troisième colonne.
On obtiendra ainsi, en tout, vingt-sept déterminants dont les colonnes seront formées en prenant, de toutes les manières possibles, une colonne partielle dans chacune des trois colonnes de P. On voit, sur P, que chaque colonne partielle ainsi obtenue est le produit d'une colonne de D par un élément de A. Dans chacun des vingt-sept déler-
THKOniE ET APPLICATIONS DES DETERMINANTS
minants D obtenus on pourra donc mettre en facteur, dans cliaque colonne, un éléinent de A; et il restera un déterminant D' formé de trois colonnes prises dans D. Si ces trois colonnes sont ditTérenles, ce déterminant D' sera identique à D, ou n'en dllférera que par une permutation des colonnes, c'est-à-dire qu'il sera égal à D, au signe près. Si D' a doux colonnes identiques, il sera nul. On aura, par exemple, ainsi, les déterminants :
Cy"
bp
ax
*'ii
= [ixY
Pa'fi"
pa'Y"X(-D),
Ainsi les déterminants D' sont, ou nuis, ou égaux au produit de D par un produit de trois éléments de A, atîecté d'un certain signe. El P, qui est la somme de ces déterminants D', est donc le produit
