P = DA

de D par une somme A', dont les termes sont, au signe près, des produits de trois éléments de A.

Il reste à prouver que Ton a A' = A. Il suffit, pour cela, de faire, dans ri lenlité (1),

ce qui ne peut changer A', puisqu'il ne dépend que des éléments de A. Alors le déterminant P se réduit à A, et D devient égal à 1 '*; de sorte que ndeiililé (l) donne A = A'. (C. Q. F. D.)

Remarque. — Nous avons formé le produit de deux déterminants en multipliant les lignes de l'un par les lignes de l'autre; on peut opérer en multipliant lignes par colonnes, ou colonnes par lignes, ou colonnes par colonnes; car cela revient à changer d'abord les lignes en colonnes, ou inversement, dans l'un des deux déterminants ou dans les deux, avant d'appliquer la règle précédente.

(1) Quini tous les à lé me Us d'un délerminanl sont nuls, à l'exception de ceux de la diagonale principile, tous les termes du di'terminiint sout nuls (comme contenant un fadeur nul), à l'exception du terme principal; le déterminant se réduit à son terme principal. Ici, ce terme i)rincipal est égal à 1x1x1 = 1.

THEORIE UES DETKRMINaNTS

Exemple. — Calculons le carré du déterminant

a fJ V

formé avec le tableau des neuf cosinus directeurs dune Irrinsformation de coordonnées rectangulaires (n" 251). Il faudra supposer dans ce qui précède

rt = a, 6 = fl. .... c" ^ y" ; et le carré de A sera

a a + |î p 4- ï r a a' + fJ p' + Y v' a a" + fJ p" + y y" l>= a'a + p'p + Y'ï a'a'-i^'fl' + v'-' «• «" + p' fJ" + v'f" a"a + p"p + y"t *"«' + !î"[l' + v"t' «"«" + ?"P" + ï"y" En vertu des relations d'orthogonaiité, tous les éléments de P sont nuls', à l'exception de ceux de la diagonale principale, rjui >ont égaux à 1 On a donc P = 1, c'est-à-dire A- = 1, d'où A = ± I.

On peut démontrer que A^l, lorsque les deux trièdres ont la mime disposition (voir t. I. i>. 402).

9. Différentiation des déterminants. — i" Si on considère les n^ éléments d'un déterminant A, de degré n, comme autant de variables indépendantes, le déterminant étant une fonction du premier degré de chacun de ses éléments (n" 4), sa dérivée, prise par rapport à lun quelctjnque de ses éléments, est le coefticient de cet élément dans le développement du déterminant (n° 7).

Far exemple, pour uu déterminant du quatrième degré,

on aura, avec les notations du numéro 4,

et, d'après le numéro 7,

a' c' tl'

abc

2° Supposons maintenant que les éléments du déterminant A considéré soient des fonctions d'une même variable t\ et proposons-nous de différentier A par rapport à cette variable.

Pour abréger l'écriture, nous considérons par exemple, pour A, un déterminant du troisième degré

514 THÉOIUK ET APPLICATIONS DliS DÉTLUMINANTS

D'après la règle des fonctions composées, nous aurons

Nous avons groupé les termes du second membre par trois, en réunissant ainsi ceux qui correspondent aux éléments des diverses lignes de A. Considérons, par exemple, le premier groupe,

(3) — rffl + -. dh H d('\

^ ' :*a ?0 oc

et remarquons que, en développant A suivant les éléments de la première ligne, on aurait

(4) A =3 — a-i. j-ôH r,

puisque — i ^- ^ ^ sont, d'après ce qui précède, les coefficients de

a, b, c dans le développement de A. Comme ces coefficients ne dépendent que des éléments autres que a, i, c, il en résulte que l'expression (3) est le développement du déterminant

da db de a' b' c' a" b" c"

obtenu en remplaçant, dans A, les éléments de la première ligne par leurs différentielles.

On verra de même que le second groupe de termes de (2) s'obtiendrait en remplaçant, dans A, les éléments de. la seconde ligne par leurs difTérentieiles; et de même pour le troisième groupe. On obtient donc la règle de différentiation suivante : La différenllelle d'un déterminant est la somme des déterminants qu'on déduit du déterminant donné en remplaçant successivement les éléments de chacune de ses lignes par leurs différentielles.

Remarque 1 . — On peut opérer par colonnes, au lieu d'opérer par lignes, puisque l'on ne cbange pas un déterminant en changeant ses lignes en colonnes, et inversement.

Remarque 2. — Nous avons supposé qu'on différenliait par rapport à /; la même règle s'applique, si on prend les dérivées, au lieu des difTérentielles puisque, dans tout le raisonnement, il suffit de remplacer les différentielles par les dérivées.

APPUCATtONS Al'X EÙUATIOKS Di: PIIEMIER DEGItE

Jiemarque .'i. — Pour ane raison analogue, la règle s'Applique k lu différentialion totale, par rapport à un nombre quelconque de variables indépendantes.

Exemple. — Soient j-, y, : trois fonctions de l, dont on d('sif,'ne par des accents les dérivées successives; et cherchons la déjivée du déterminant

En n|ipli(|U)inl Ih rè^'h' precédiMile, il vient

les deux premiers des trois déterminants du second membre sont nuls, comme ayant doux lignes identiques, et l'on a simplement

Al'PiJCATlONS Al X ÉULATIONS DU l^REMlEli DEGRÉ

10. Généralités. — La forme r/énérale de léquat'wn du premier degré à une hicunnuc est :

ax H- m ^^ 0.

On sait que si a est différent de 0, elle a une solution et une seule

qui est .r = ; que si a = 0, elle est impossible (c'est-à-dire n'a pas

de solution) si W3=0; et enfin qu'elle est indéterminée (c'est-à-dire que tout nombre en est une solution), si « =0 et m =0.

DÉFINITION. — Éliminer X entre deux équations ax4-w = 0 a'x-+-m'=^0

c'e»t chercher la condition nécessaire et suffisante pour quelles aient une solution commune, c'est-à-dire, pour qu'il y ait un nombre qui soit solution à la fois de ces deux équations.

Nous supposons ai^^O; il s'agit alors d'exprimer que la solution de aa? -h m = 0 satisfait à l'autre équation : cela donne

c'est-à-dire, puisque a^fiO,

am' — ma'

516 THKORIE ET APPLICATIONS DES DETERMINANTS

La condition est donc (sous l'Iiypollièse aizrO) tiue le dclerminant formé avec les coefficients des deux équations soit nul. tin d'autres termes, le résultat de rélimination est

DÉFINITION. — On sait qu'on appelle fonction du /''^ degré, ou fonction linéaire de plusieurs quantités (x. y, z. (. par exemple) une expression de la forme oj- -h éy -h C3 -+- dt H- p, où a, b, c, d, p ont des valeurs numériques quelconques. Si p^^O, la fonction est dite homogène; on l'appelle aussi dans ce cas forme linéaire.

Théorème. — Pour quune fonction linéaire soit nulle identiquement, c'est-à-dire quelles que soient les valeurs des indéterminées ou variables dont elle dépend, il faut et il suffit que tous ses coefficients soient nuls ".

Nous raisonnerons, par exemple, sur la fonction ax -j- by -h cz -\- dt -\- p.

1° La condition est nécessaire. En effet, la fonction est nulle en part iculier pour x =:: y ^ z = t ^= 0; or sa valeur est alors p, donc p = 0. La fonction est nulle encore pour x = y = z^=Oelt = i; or sa valeur est alors d, en tenant compte de ce que p est nul; donc (/ = 0. On verra de même en faisant a^ = y = / = 0 et : = 1 que ô = 0, et ainsi de suite.

2° La condition est suffisante. Car si a = b=::zc = d = p = 0. la va leur de la fonction est, quels que soient x, y, z, /,

Corollaire. — Pour que deux fonctions linéaires soient égales pour tout système de valeurs des variables, il faut et il suffit que les coefficients de ces variables et les termes constants soient égaux respectivement dans ces deux fonctions.

La condition est suffisante; car si elle est remplie, les deux fonctions ne sont qu'une seule et même fonction.

Elle est nécessaire, car si on a, par exemple, quels que soienta?, y, z, t,

(1) ax-\- éj/ H- c: -h dl -+-p = a'x-\- b'y -+- c'z-^d't' -\-p', on en tire

(1) Ce théorème est un cas particulier du Ihéori-me de la pape 27 (tome I). Mais la démonstration que nous donnons ici est d'un caractère beaucoup plus élémentaire que celle que nous avons faite alors.