ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDUK
(18) D{y)=G{x), où D(.y) = A„g4-2Â,|^ + A,i/.
en supposant encore les coefficients A^,, A,, Aj constants. On peut alors trouver, par la méthode des coeflicienls indéterminés, une intégrale particulière de Téquation (18), dans le cas où G(x-) est une somme de termes de la forme,
Aar" (/? entier positif ou nul), Ae"^, Acosax, Asinao;.
C'est ce que nous allons montrer, en examinant d'abord les cas particuliers suivants :
I^" cas particulier. — G{x) est un polynôme entier en x. Soit n son degré :
Nous supposerons d'abord A,=£0. L'intégrale particulière annoncée sera alors un polynôme entier du même degré n que G(a:) :
En exprimant qu'il satisfait à l'équation, nous obtenons, en effet, l'identité en x
Aj[XoX"-t- V-'4- V--+ . . .+X„] + 2A,[nXoX"-'-f-(n— 1) ^"---4- . . .] H- Ao [n (n — 1 ) Xoa;"-^ -f- . . . ] = B,a;" H- Bio:"-' -h Boar"-^ -^ . . . + B„ ;
d'où, en égalant les coefficients des diverses puissances de x, (n° 21),
K\ = K A.2X, + 2nAjXo=Bi, A,\-h'i{n — l)k,\-\-n{n — l)A^\ = B.„ ..., A^l„ -]-...= B„.
Chacune de ces équations en X^, Xj, X^, ... introduit une inconnue nouvelle, avec le coefficient A.^ : la première donnera donc X^, la seconde donnera ensuite X,, la troisième X^, et ainsi de suite, jusqu'à la dernière, qui donne X„.
Si Aj était nul, on voit que c'est A, qui jouerait un rôle analogue, et il faudrait prendre pour y un polynôme de degré n-f-1, dont on pourrait supposer nul le terme constant; car ce terme n'interviendrait pas dans le calcul.
Cela suppose que A, n'est pas nul aussi. Si A^ et A, étaient nuls tous deux, on prendrait de même pour y un polynôme de degré n -f- 2, sans terme constant et sans terme en x. On a ainsi, dans tous les cas, n -h 1 coefficients inconnus et n -+- 1 équations qui se résolvent de proche en proche.
5* cas particulier. G{x) = Ae"-'.
L'intégrale particulière annoncée sera, en général, de la même forme
EQUATIONS Diri'KRKNTIKLLKS DU SECOND ORDRE 87
y^iXe"^. D'uprès le calcul du numéro 'i31, et en conservant les mêmes notations, on a, en effet, D{le"^) = lb{e"^) = le'"^{a), avec 9(r) = A^r^^- 2A,rH- A^.
Si donc on porte cette expression y = Xe''^ dans l'équation donnée, on obtient, pour déterminer la constante X, la condition :
Ae''^^(a) = Ae"^
d'où, si cf,((/) n'est pas nul,
,__A ke"'
Cas où cp(a) = 0. S'il en est ainsi, on posera j/ ^Xare'"". Rappelons la formule du n° 3^9, en modifiant seulement les notations :
(20) D ( wy) = mD (u) + 2u' (A/ + A,u) + 2m"AoU,
et posons : ii = x, v = le''^. Nous aurons :
u = x, u'=i; m" = 0; D(v) = l'^{a)e''^ = 0] 2(ÂoU' + A,y) = ^le"^{\a -+- AJ = Xe''^cp'(a). Donc, il viendra simplement,
[){lxe'"') = D (uv) = Xc«^cp'(a);
et, pour que y = Axe"'' soit intégrale, À devra être choisi par la condition :
Donc, si cp'(a) n'est pas nul,
, A Axe"'
Cas où cp(a)=:cp'(a) = 0. — Nous poserons, dans ce cas, î/ = Àa?V; et dans la formule (20), nous ferons u=zx-, v^le"^. Nous aurons : M = a?2, w' = 2x, u" — ^; D{v) = l'^{a)e''^ = 0, 2 (A/ + A,v) = À»' (a)e"' = 0, 2A„u = 2AoXaV^ = lf{a)e'",
et il viendra simplement
D(Xa?V^) = D(wu) = Xe«^'/(a).
Donc, pour que ij ^=lx-e"^ soit solution, il suffira de faire en sorte que
Xe''^a,"(a) = Ae''^, • ce qui donne :
, A Ax^e'"
'-f{ay y- -^"{a)' .
En résumé. — Si a n'est pas racine de l'équation caractéristique,
l équation D(y) = Ae"-^ admet l'intégrale particulière 77—.; si a est
88 EQUATIONS DIFFKIIKNTIELLES DU SECOND OHDRE
racine simple de réqualion caractéristique, on a l'intégrale particu-
Hère ' ,, r; si a est racine double, on a rintéerrale particulière -„, ,■•
? (a) & f cp (a)
Remarque. — Au lieu d' appliquer ces formules, on pourra se borner à chercher, par un calcul direct d'identification, wie intéçirale de la forme : le"'', si a n'est pas l'acine; Ixe"^, si a est racine simple; X.r^e'"", si a est racine double.
333. Cas général. — Le cas général annoncé se ramène aux cas particuliers précédents, par le théorème suivant.
Théorème. — Pour avoir une solution particulière de l'équdtion D(i/) = G, -hG^-h ... H- G,„, où G,, Gj,. . . sont des fonctions de x quelconques, il suffît de chercher une solution particulière de chacune des équations : D(t/^ = G,, D(î/) = G.,, . . . , D(j/) = G,„, et d'ajouter ces solutions particulières.
Car si on a D{y^)=zG^,ï){y.,) = G^,... D(j/„,) = G,„ on en conclut:
D(yi-hy.+ . . . -hî/,„)=D(î/J-f-D(y,)+ . . . -f-D(7/,„)=G,4-G,+ . . .-hG„.,
ce qui prouve bien que î/ = Vi -f- î/o H- ... -h y,,, est solution de l'équation donnée.
Si donc G{x) est la somme d'un polynôme et de termes de la forme Ae"^, on sera ramené aux cas particuliers traités. S'il contient en plus des groupes de termes de la forme A cos ax-\-B sin ax, on les écrira :
pias I p — iax piajr ^ p — iax
A cosaa:+ Bsinaa;= A ^ hB
(21) A cosaa; -h B sin aj- = "^ ~ ^^'"^ + '^"^^^-"",
et on sera ramené au cas des exponentielles (2*= cas particulier).
Il suffira, du reste, de faire le calcul pour un des deux termes exponentiels de cette formule (21). En efTot, en changeant, dans ce. calcul, i en — i. on aurait le calcul relatif à l'autre terme.
Si donc on a trouvé comme solution, pour l'un des deux termes, y = u-\- iv, la solution relative à l'autre serait y ^u — iv, et la solution pour le groupe des deux termesj/ z={u-]- iv) -+- (u — iv) = 2w : il suffira donc de ne garder que la partie réelle du résultat et de la multiplier par 2.
Remarque. — Le résultat sera, d'après ce qui précède, do la forme i (X — |i. i) e"" -I- 1 (a -j- jx i) e-"",
EQUATIONS blIFUŒ.NTILLLE.S DU S1::(:0.\U OIIDRK 89
c'est-à-dire : Xcos«ar-f- |x sinaa:, si in n'est pas racine de l'équation caractéristique; et il sera de la forme
X ^(À — u.i)e'"-'-{-^{\ H-|xi)e""'^ =x{\ cosax-j- jxsin aar),
si ia est racine de l'équation caractéristique.
Il n'y a pas d'autre cas à considérer, car ia, quantité imaginaire, ne peut être racine double de l'équation caractéristique, qui est à coefficients réels.
Remarquons, d'autre part, que si ia est racine de l'équation caractéristique, il en est de même de sa conjuguée — ia; de sorte qu'on a, pour l'équation D(i/)=:0, les solutions e"^, e"'"-^; et, par suite aussi, les solutions
5 ^"" -+- à C"^ = cos ax, ^e'"' — cp «"""" = sin ax. 2 2 ' 2i 2i
Réciproquement, si- D(j/)=rO admet les solutions cosax et sinaa:, elle admet cosax -\-i?>\n 0x^=6^"^, et rz=ia est racine de l'équation caractéristique. Par conséquent, dire que ia est racine de l'équation caractéristique, c'est dire que l'équation sans second membre, D{yj^O, admet les solutions particulières cosaa? et sinax, ou encore que son intégrale générale est \cosax-i- ^sinax, (X, a étant des constantes arbitraires).
Donc, dans le cas d^un second membre de la forme A cosax -+- B sinaa?, on pourra chercher, par identification directe, une intégrale de la forme : Icosax -h- \j.sinax, si cette fonction, et, par conséquent, si le second membre lui-même n'est pas déjà intégrale de Véquation sans second membre; et, dans le cas contraire, de la forme
a?(X cosax + y. sinoo"),
334. Conclusion générale. — Ayant ainsi calculé, dans tous les cas indiqués, une solution particulière de l équation avec second membre, on en déduira la solution générale en lui ajoutant lintégrale générale de Véquation sans second membre. (X" 330. Théorème I.)
Exemple/. -Ji, — 3 j^H-2'/ =a""^-l- 1. ' dx^ dx ■'
a) Intégration de Véquation sans second membre :
r- — 3r + 2 = 0, r=\^, y = qe^ + c.,e-^.
b) Recherche d'une intégrale particulière : y = >..r2 -|- ^^x -\- v,
2). — 3(2/,x 4- (i) -f 2(>.a;2 + [ix + v) = x'- + i, 2).= 1. 6>. + 2îx = 0, 2>, — 3!i4- 2v = l,
■90 ÉQUATIONS DIFFÉRKNTIELLES DU SEGONO OHDIIE
>, = ^. (x = .^. v = -^-, donc: y = — ^4
c) Intégrale générale de Véquation donnée :
, , 2a:2 |. (jj. ^ 9
Exemple 2. ^ + 2 ^-i-2i/= 1 -f-2c'cos:r.
a) Intégration de l\'(jualion sans second membre :
,.2 j 2;- + 2 = 0, r = —\±i, y = e-^icicosx -\-c^s\nx\.
b) Recherche d'une intégrale particulière. — Écrivons le second membre :
• 1 |- e^(ei\r |- e-ii) = 1 + e(i+'> + e(i-'>; «t nous aurons à considérer les trois équations :
Pour la première, on a la solution évidente 71 = 0'
Pour la seconde, nous posons 7 = /eCH'-r, ce qui donne l'équation de condition
).[(! + , •)2 + 2(1 + i) + 2] = 1, d'où >, = j^^ = ^-^:=^l- ^ = i^.
Donc.
y^ — LlzJ.e{i+i)^=: — =^e-f(cosx + i sinx) = ^e^Ccosx + sinx) + iXx) d
Pour la troisième, il n'y a qu'à changer 1 en — (. donc
73 = 8«-^(cos^ + sinx) — i:p(x).
L'intégrale particulière cherchée est ainsi :
V, + Y, + V3 = .7 + rC-Ccosx + sin x).
c) Intégrale générale de Véquation donnée :
y = e-^(ci cosx + Cj sinx) + -t-(*^°^''^ + sin.r) + 9-
Exemples. -^^ + j = cosx + sin2x.
a) Intégration de Véquation sans second membre :
r2 + l=0, /■ = zt I, j = c, cosx + C.2 sinx. 6) Recherche d'une intégrale particulière. — On doit séparer j^ + y = cosx, ^ + 3, = s.n2x.
Pour la seconde on posera : y = '/. sin2x + \t- cos2x, et l'identité de condition sera, après réduction, — 3() sin2x + iAC0s2r) = sin2x, d'où: ). = — ^, (j. = 0. >'., = ^.
(1) On aurait ç(x) =Qe'(sinx — cosx); mais il est inutile de le calculer, car il doit disparaître dans la somme rj+ ^a-
SYSTEMES D EQUATIONS DIFFERENTIELLES 91
Pour la première, le second membre cosj* étant une intégrale de l'équation sans dx-i
d-v second membre -r^, -f- y = 0, on doit poser :
o •• I \ j> • • n ' X sinx
2( — / sinx + !A cosx) = cosx; d ou t=Q,
y = x(/. cosx -(- Il sinx); on obtient (après réduction) l'identité de condition
n ..-2, -'i--2-' c) Intégrale générale de l'équation donnée :
V = c, cosx + Cj sinx + 9-^^ sinx — ^ sin2x.
Remarque. — Les équations linéaires à coefficients constants et à second membre se rencontrent dans létude des mouvemenls oscillatoires (mécaniques ou électriques), modifiés par des actions extérieures. Ainsi, lorsque dans le circuit d'un f^alvanomètre à cadre mobile on introduit une force électromotrice, l'équation,
.1 SI + «a + '"=«-
qui régit les oscillations de l'appareil en l'absence de cette force électromotrice, devient :
[2] d^ + «dZ + ^^ = G'
où G est proportionnel à la force électromotrice introduite. Si celle-ci est constante, par exemple, la solution de l'équation sera 6 = %+ "> s^vec 6^ = 0, 6,j=^, u étant
solution de l'équation J]. L'appareil se comportera donc comme dans le cas que nous avons étudié au numéro 331, à cela prés que la position d'équilibre correspondra à f)z=f)Q, et non plus à 6 = 0, puisqu'on passe d'un cas à l'autre en rempla<.ant b par u = 6 — Ôq, ce qui ne fait que changer la position à partir de laquelle on compte les écarts du cadre.
Le cas des tetmes périodiques dans le second membre correspond aux phénomènes qui rentrent dans le type des oscillations entretenues.
§ 3. — SYSTÈMES DÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
335. Systèmes de deux équations différentielles du premier ordre. — Soit à trouver deux fonclions y et : d'une variable .r. sati.sfaisant au système
On emploiera une méthode analogue à celle qu'on emploie en algèbre pour résoudre un système d "équations à plusieurs inconnues; Nous tirerons : de la première équation, et nous porterons la valeur de z ainsi obtenue dans la seconde équation. Ce calcul donnera une équation de la forme :
92 SYSTÈMES DÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
et une équation ne contenant plus :,
?e ^ô du .>6 d'il
qui est une équation du second ordre en y,
On aura donc pour y une solution dépendant de deux constantes arbitraires, y = <f{x; r^, c.,); et en la portant dans (2), on aura pour z une formule analogue z = 'h{x; c,, c^). Donc l'intégrale générale dli système proposé est de la forme :
c'est-à-dire qu'elle dépend de deux constantes arbitraires.
Conditions initiales. — Dans l'équation (3), les constantes c^, c, sont
définies par des conditions initiales t/ = ?/„, -j^^^yl, pour a: = XQ. Mais
il en résulte pour z, d'après (2), une valeur initiale z = 6(a?„, î/„, y„) = z^ connue; et, inversement, cette valeur initiale donnerait, d'après la première des équations (1). qui équivaut à (2), y'ç^^f{x^, ?/„, z^). On voit donc que toute solution du système est déterminée par des conditions initiales de la forme :
(o) y = yo^ - = -0' pour x = x,.
Pour y satisfaire, on déterminera donc les constantes c^, c.„ par les équations :
(6) î/o = ? (^0 •' ^1 ' Co) ; 3o = 'f (a7„ ; c, , c,) ,
qui devront admettre des solutions en c^. c.,, si les formules (4) représentent bien l'intégrale générale du système donné.
Interprétation géométrique. — Les équations qui définissent une solution,
représentent une courbe (C) de l'espace, qui sera appelée une courbe intégrale. Intégrer le système, c'est en trouver toutes les solutions, donc toutes les courbes intégrales.
Les équations (1) pouvant s'écrire
-. dx dy dz
indiquent qu'en tout point M, {x, y, z), d'une courbe intégrale, les coefficients de direction de la tangente MT sont connus, puisque ce sont : 1, f{x, y, z), g{x, y, z).
SYSTÈMES d'Équations différentielles
A chaque point de l'espace est ainsi associée une droite MT passant par ce point; et une courbe intégrale est une courbe qui,' en chacun de ses points, est tangente à la droite associée à ce point (par les équations du système dilTérentiel donné).
L'interprétation est donc exactement la même que pour une seule équation du premier ordre : -^=:f{x, //), (n° 319).
On pourrait considérer, ici encore, des éléments linéaires intégraux donnés par le système dilTérentiel (1) : ce sont les éléments infinitésimaux des courbes intégrales.
Quant aux conditions initiales, elles expriment que la courbe intégrale doit passer par un point donné (a?^, y^, z^); et l'on voit que par chaque point de l'espace passe une courbe intégrale, et une seule (le système étant supposé de la forme (1), c'est-à-dire résolu par rapport aux dérivées des fonctions inconnues).
Lignes de force. — Comme dans le cas du plan, on a Yexemple des
lignes de force d'un champ. Si le vecteur F, qui définit le champ au point (a.-, y, z) quelconque de l'espace, a pour composantes X (a?, y, z), Y(x, g, z), Z{x, y, z), une ligne de force devant être, par définition, tangente en chacun de ses points au vecteur-champ qui a ce point pour origine, la direction de sa
tangente {dx, dy, dz), doit se confondre avec celle du vecteur (X, Y, Z); c'est-à-dire qu'elle est définie par le système différentiel :
94 SYSTÈMES d'ÉQI'ATIONS DIFFÉRENTIELLES
,o^ dx dy dz '
^ \{x,y,z)-Y{x,y,z)-Z{x,y,zy
dy Y{x, t/, :) dz Z{x,y,z)
dx~\{x,y,z)' 5i~X(a?, y, z)'
qui est un système de la forme (1).
Réciproquement, tout système (1) peut se ramener à la forme (8) d'une infinité de manières, (par exemple, à la forme (7)), en prenant X arbitrairement, et posant Y = X/(a-, y, z), Z=:X^(ar, ?/, z). Donc, tout système de deux équations dilTérentielles du premier ordre peut être considéré comme définissant les lignes de force d'un champ.
Bemarque. — Nous avons supposé que la première équation (1 ) pouvait être résolue en z. Dans le cas contraire, elle ne contiendrait pas z, et donnerait une intégrale générale y = ,i(a?; cj qu'on porterait dans la seconde équation (1). On obtiendrait ainsi une autre équation du premier ordre
^ = ^(0., cp, z), dont l'intégration introduirait la seconde constante d'intégration.
Exemple. ^ + 3y + ; = i, p^yj^2=zx. Le calcul indiqué est ici :
ou
C'est une équation linéaire du second ordre à coefficients constants. Pour l'équation sans second membre, on a r'^ + 4r + 4 = 0, donc : racine double r = — 2, intégrale
Une intégrale particulière de [2] sera y = ) x + [i, à condition que
4X + k().x + [i) = 1 — X : d'où : . 4), = — 1 , 4). + 4(j. = 1 ; c'est-à-dire -^
Ainsi l'intégrale générale de [2J sera
[3] y = (ci + c,x) c'-2x + L:zZ .
Reste à calculer r en portant cette valeur dans [i], ce qui donne, après réduction,
336. Systèmes de n équations du premier ordre. — Soit un système :
SYSTÈMES d'Équations différentiklles 9 5^
définissant ?î fonctions inconnues y^, ..., j/„. On cherche à exprimer les inconnues y^, •••, J/n en fonction de y,, qui, comme nous verrons, sera donné par une équation unique d'ordre n.
Pour cela, nous dilférentions {n — 1) fois la première des équations (9), et nous faisons disparaître à chaque fois, en tenant compte des équations (9), les dérivées qui s'introduisent au second membre. La première dilïérentialion donne, par exemple,
dx' :>x ^yi dx ' ' ' ?j/„ dx ' que nous écrivons, en tenant compte des équations (9) elles-mêmes^
ce qui est de la forme :
dx^~^x "^c-^î/, dx~^ '" ^yn dx ~^x~^^yj'^ •" Dî/„'"'
On peut alors différenlier à nouveau, ce qui donne de même :
dx^ ^x :>y^ dx ce qui est de la forme
et ainsi de suite. On a ainsi, en définitive, un système de la forme d"y
^^^^ -^=f^i^>y^^ •■•^Vn)^ ^=9A^^yi •■■^yn)
En résolvant en y^, , . ., y„ les n — 1 premières équations, on aura des formules,
— fi / dy^ d"-'y,\
..., y» — ^n\^^,yv^^,---,^j.n-ij^
et, en portant ces valeurs dans la dernière équation (10), il restera V équation résolvante,
On aura donc à intégrer cette équation (12), ce qui donnera une intégrale avec n constantes, y^ =: 9, (a? ; Cj, . . . , c„), et, en portant dans
96 SYSTEMES D EQUATIONS DIFFERENTIELLES
les formules (11)", on aura les valeurs correspondantes de j/^, . . ., t/„ :
Donc Vintégrale générale d'un système de n équations différentielles du premier ordre dépend de n constantes arbitraires ^^^ \ c'esl-à-dire est de la forme
(13) i/, = !p,(a;; Cp ..., r„), ..., 7,, = ï>„(a?; c,, . . . , r„).
Pour chaque intégrale particulière, ces constantes seront déd'rminées par des conditions initiales de la forme
(14) y^ = iyX. .... t^,=:(,v„)o, poiirx = a?o-
Elles donnent pour le calcul de Cj, . . . , c„, le système do n équations à n inconnues
(?/l)o = ?l(^o; ^1' ••- ^'n), •••. (.V..)o = 'fnK; Cl, ..., C„),
qui devra pouvoir être résolu, si les formules (13) donnent bien l'intégrale générale.
337. Intégrales premières. — Un système de n équations du premier ordre est dit d'ordre n, parce qu'il se ramène à une équation résolvante d'ordre n. Au lieu de chercher cette résolvante, on peut essayer d'abaisser d'abord l'ordre du système. C'est ce qui peut se faire si on en connaît des intégrales premières. Une intégrale première est une fonction ^{x, t/,, . . ., y„), qui se réduit à une constante, dès qu'on y remplace y,, . . . , t/„ par une solution y^=z,^{x), ..., yn = 's,„{x) du système.
En d'autres termes, dire que 0 est une intégrale première, c'est dire que l'équation
(15) 3{x, y,, ..., î/„) = c, (c-= constante arbitraire),
est une conséquence des équations du système. On le constatera, en vérifiant que rf^ = 0, ou -t- = 0, c'est-à-dire
:>x 3)7, dx ?y„ dx
est une conséquence des équations (9). S'il en est ainsi, l'équation
"*■ ' î/i '■Un
obtenue en remplaçant, dans (16), les dérivées --^, . . ., /" par leurs
(1) Il faudrait, pour la rigueur du raisonnement, prouver (|ue le système (10), qui est une conséquence du système (1), lui est équivalent: et, de plus, discuter les cas où les (n — 1) premières équations (10) ne pourraient pas se résoudre eu y.,, . . ., yn-
SYSTEMES D EQUATIONS DIFFERENTIELLES 97
valeurs (9), est elle-même une conséquence du système (9) donné. Cela revient à dire qu'elle est vérifiée par toute solution de ce système. Et on peut en conclure que Vintùgrale première D doit satisfaire, identicjuemeut, à l'équation aux dérivées partiel/es (17) '".
On démontre, de plus, que celte condition est suflisante, c'est-à-dire que toute solution 0 de l'équation aux dérivées partielles (17) est une intégrale première du système (9) donné'-'.
On montre enfin que, si d est une intégrale première, l'équation (15) peut remplacer une des équations du système donné; par exemple la dernière '•* . En résolvant alors en y„ cette équation (15), on pourra porter l'expression trouvée : y„ = 6(x, î/j, . . . , i/„i ; c) dans les n — 1 premières équations (9); et on sera ainsi ramené à un système d'ordre n — 1, pour calculer y^, . . . , y„|.
De même, la connaissance de deux intégrales premières abaisserait l'ordre du système de deux unités; et ainsi de suite. Si on avait n intégrales premières indépendantes
on en tirerait, sans intégration, l'intégrale générale du système.
(1) Cela tient à ce que l'équation (17) ne contient plus les dérivées -J^ , .... -^
des fonctions inconnues. C'est donc une équation de la forme ¥(x,y^, ...,y,i)^0 qui doit être vi-rifiée par toute solution du système (9). Or il existe une solution de ce système dans laquelle les fonctions y,, ..., j,i prennent, pour une valeur initiale de X arbitraire, x =: x,,. des valeurs ri = (yi)fl, ..., yn^= (y,i)o, également arbitraires. Cette solution satisfaisant, par hypothèse, à F(a;,yi, ...,yn) = 0, on aura, en particulier, pourx = x„. l'égalité F(xo,(y,^o. • • -, (r-Oo) = 0. Mais, puisque Xo,(yi)o, ...,(y»)o sont des nombres arbitrairement clioisis. cela équivaut à dire que F(x, Vj, ...,y,i) s'annule pour tout système de valeurs attribuées aux variables x, y,, ..., vn; ou enlln que l'équation F(x, Vj, ..., y„) ^0 est une identité : ce (ju'il fallait démontrer.
(2) En effet, si l'équatioa (17) est une identité, il suffit de la retrancher de l'identité
dx ?x "*" ^y^ dx ' " ' ' ?yn dx ' pour obtenir l'identité nouvelle
(•^' tx = T7A-dà-^'^'''^' y»)J + .--+5y;[^-/n(-^.ri. --mv,.)].
qui montre que l'équation -j^ =: 0 est une conséquence des étjuations (9).
(3) Car l'identité (17) , de la note précédente, avant lieu, on en conclut que si ~- ,
dv par exemple, n'est pas identiquement nul, l'équation -^ — fn(x,yi, ..., r,i) = 0 est
une conséquence des équations
^-/i(x.y„...,y„) = 0, ..., %ii-/„,(x,yi, ...,y„) = 0, et ^ = 0. dx dx dx
MATH. OÉNKHALES. — II. 7
98 SYSTEMES D EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
liemarque. — On trouve généralemeot les intégrales premières en faisant des combinaisons des équations du système'". Ces équations étant écrites
(18) dij,-l\dx = 0 dy,,-f„dx = 0,
si on peut trouver des facteurs X,(a.', t/,, ..., )/„), ..., X„(x, y^, ..■,!/„), tels que
(19) \^[dy,- /\dx]-+- . . . -t-K[dy^- fjx]
soit la diflérentielle totale d'une fonction 3{x, y^, ...,y„), l'équation rf.i = 0 sera une conséquence des équations (18), et ^ = constante sera une intégrale première.
Exemple. — Soit le système :
r,, dx dy d:
[1] r = ^-- T^ = ---^' di = ''-y-
1° En ajoutant, on a la combinaison -fr H — n + -n = 0, ou dx + t/y + dz ^ 0. •^ dt ' dt dt
Donc j- + y + - = constante est une intégrale première, car d{x + y + z)==dx + dy-^d:.
2° En ajoutant les équations [1], après les avoir multipliées par x, y. :, respectivement, on a la combinaison :
x-^ -l-y-^ + 2-^ = 0, ou xdx-\-ydy -\-xdz = 0:
Or, xdx -\- ydy -\- zdz = d — ^^ \ . Donc x- -{- y'^ -{- z- := constante est une
autre intégrale première.
3" Nous posons donc : x + y + ' = «> 3^* + /" + *■== ^"i d'où nous lirons y et :■. Nous écrivons pour cela,
y -[- ; = a — X, y--^z-^b- — x-; . d'où nous concluons (y — z}^ = 2{y2 + z-^) — (y — z]^ = 2 (b^ — x^-) — {a — x)'- = (2b^ — a'-) -\- 2ax — 3xK
Nous pouvons donc écrire, <; étant aussi une constante arbitraire, les équations :
[2] y-^:=a~x, y — -'=^drV3yc- — (-x — I) ,
dr que nous adjoignons à l'équation -^ = y — r. qui devient elle-même, en tenant
compte de ces équations [2\
c'est-à-dire
(I) L'identité (17)', de la note (2). (page précédente) montre (|ue toute intégrale première 0 t'st efTectivement telle que d,1 soit une combinaison linéaire et liomogène des premiers membres des équations (18).
SYSTÈMES d'Équations différentielles 99
Pour effectuer la quadrature, nous posons
[4] X — q = csinô, d'où ± !/«■ — [x — g j =±cosO
et on peut supposer la détermination de 9 choisie de manière que cosO ail le signe du premier membre, c pouvant ùtre, de plus, supposé positif. Comme on a
(te=: c rosO.dO,
il reste seulement dii=\j3dt, 0 = \3(< — t„), tn étatit arbitraire. Oo a donc, au moyen do [i],
[5] ar = j + csins3(< — <o):
et, en portant dans [2],
y-\-z==^ — csins:3(< — Iq), y — : = \'Z .c cos\'ï{t — l^)^ d'où enfin
U "" 5 ~ ? sins :](< - to) + 4^ cosv3(< - /o)
( -' = I - 1 sins 3« - <o) - ^ cosv3 « - <o)-
Les équations [a] et [6] donnent l'intégrale générale du système [1], avec les constantes arbitraires a, c, Iq.
338. Équations simultanées d'ordres quelconques. — Un sy.stème d'équations siniuUanées d'ordres quelconques se ramène à un système d'équations du premier ordre, en prenant pour fonctions inconnues auxiliaires les dérivées des fonctions inconnues, à l'exception des dérivées de Tordre le plus élevé figurant dans les équations données. Par exemple, les équations générales du mouvement d'un point matériel, en mécanique, sont des équations du second ordre, c'est-à-dire de la forme "'.
^•'"^ dl' — ^' df'—^' dL' — ^'
où X, Y. Z, sont, dans le cas le plus général, des fonctions de t, x, y, z, et des dérivées premières :
dx dy dz
~di' 'dû' 'di'
On prendra donc pour inconnues auxiliaires ces trois dérivées, et on aura un système de la forme
.^. [ dx , dy , dz ,
^"^^ \ 11 — ^' ti — ^^' 'dt — "^'
~ = 'l{t,x,y,z,x',y\z'), (1) Pour simpliûer l'écriture, nous supposons la masse du point égale à 1.
100 SYSTÈMES d'Équations différentielles
puisque l'on peut écrire
dx' d-x dy' d*y dz' d^z
'dJ~W^' iû~~de' ~di~W
L'intégrale générale dépendra donc de six constantes arbitraires, puisqu'on a ainsi six équations du premier ordre. Chaque mouvement sera défini par les conditions initiales suivantes : pour / = /(,, on se donnera les valeurs initiales x^, y^, z,^\ x'u, yl, Zo des inconnues x, y, z, et de leurs dérivées premières; c'est-à-dire la position initiale du point, (a?Q, 7/q, :„), et sa vitesse initiale {x'o, r/é, Zo)-
Dans certains cas, on a des intégrales premières. Si, par exemple,
X, Y, Z sont les dérivées partielles X = ' — , Y = ' — , 7. = ^—- d'une
^ ?a: t^y Ds
fonction V{x, y, z), {dite fonction de force), ne dépendant que de la position du point, les équations (:21) et (22) s'écriront :
dx'——dt = 0, dy'——dt = 0, dz' — —dt = 0, dx — x'dt = 0, dy — y'dl = 0, dz — z'dl=zO;
d'où, en éliminant dt, on lire les combinaisons :
x'dx'^ — '- — dx=zO, y'dy' — ' — dy = 0, z'dz' — — rf: = 0;
et il suffit de les ajouter membre à membre pour avoir la combinaison nouvelle
{x'dx' H- y'dy' ^ z'dz') — f^-^dx-h—dy -+- —dz] = 0. ^ ^ ^ ' \:'x Dy ^ DZ y
Le premier membre étant la différentielle de : y(a?'^ H-y'^+ -'") — U,
on a donc l'intégrale première, dite intégrale des forces vives :
^{x ■ -h y''^ -h z'-) — l]{x, y, z) = constante.
Elle s'écrit, puisque x'^ -t- y'- -h z'^ est le carré de la vitesse u ^",
Si Vg est la vitesse initiale on a, en particulier, à l'instant initial, l'égalité
^ = \J{x,, y„ zj-hc, (1) C'est-à-dire la force vive, mv^, puisque la masse m est supposée égale à 1.
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