ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE

Pour une valeur de w donnée, Xg tend vers ^ pour 7n = oo , et vers w,

pour 771 = 0; car 0^ tend vers ^ pour 7n = x, et vers -, pour in:=0.

Si nous désignons par y^ la valeur de y qui correspond à x = Xq, celle qui correspond à a' = or^-f- w est

y = ae-"''''o+"'' . cos f — " H- - 1 ,

c'est-à-dire //=r — y^e '"",

La valeur initiale de y est a, et la valeur finale ae~^'"''. Enfin y

s'annule pour x = ^ elx=i-^. On a donc la forme indiquée (figure

page 81).

[La figure a été construite en supposant a = 30, 2cu = 64, m = 0,036, et en prenant le millimètre comme unité graphique.]

Le reste de la courbe se décomposera en arcs (A„), correspondant aux intervalles, d'amplitude 2oj,

Pour comparer (A„) à (A), il suffit de faire le changement d'origine a; = 27i(o-t-a', qui donne :

en posant

y = ae--"""'e-""'' cos — = ç"ae-"'^' cos^

Si donc on déplaçait (A„) d'un mouvement de translation de manière à ramener le point x=:2nui dans la position x=zO, l'ordonnée d'un point de (A„) et celle du point de (A) de même abscisse seraient dans le rapport q'\

Pour 71 positif, le facteur q" est plus petit que 1, et tend vers zéro pour 71^ X , les ondulations de (A„) sont donc plus faibles que celles de (A), et s'afTaiblissent de plus en plus, de manière à disparaître pour 71= X . Pour 71 négatif, c'est le contraire qui se produit, le facteur ç" étant plus grand que 1, et augmentant indéfiniment avec | n \.

La loi de décroissance (ou de croissance) des ondulations est, de plus, exponentielle; elle est donc très rapide; et d'autant plus rapide que q est plus petit.

Dans le cas de la figure (page 81), où (A) seul, est représenté, q = 0,i. L'ordonnée de B est 3 et toutes les ordonnées de (A,) lui seraient inférieures; celles de (A2) seraient inférieures à 0,3; celle de (A3) inférieures à 0,03; etc.

On déduirait, du reste, toute la courbe de la sinusoïde y:=a cos — ,

en multipliant chaque ordonnée par le facteur (?""" (facteur d'amortis-

ÉQUATIONS DIFFÉllENTIELLES DU SECOND ORDRE

semrnt); la courbe (voir la figure ci-conlre) "^^ est une sinusoïde amortie (du côté des arposi- "^^

tifs, car elle est au contraire exagérée, pour ^,

l'inlensilé des ondulations, vers les x négatifs).

Celle allure générale résulte immédiatement de la décroissance (exponentielle) du facteur d'amortissement :

Les maxima et minima de y, correspondant aux racines de l'équation (18),

données par la formule — - = — ^-{-mz,

U) co

c'esl-à-dire rc„= ^o+ '*^' ^^^ pour exprès- y''

sion générale : /

ae'

COsC^-^-tlTZ ) =

= ( l)nqHae-"'='' ^^^^) ' ce qui est de la forme

avec

(/o = ae-""»cos^, q=:e-^"'-.

Leurs valeurs absolues forment donc une progression géométrique de raison \/^^e~"'", et tendent rapidement vers zéro pour H positif croissant; elles augmentent, au contraire, indéfiniment avec rapidité si n est négatif, et croît indéfiniment en valeur absolue.

Exemple 1.

dx-

L'équation caractéristique est : r--\-a- = 0; ses racines sont r=z±ia; d'où les intégrales particulières e'"^, e-'ij-; et, par conséquent,

^1 = 2 (*'"'' + e-'"') = cosax, y^ = j. (e'^J-f — e-i<u) = sin ax.

EQUATIONS DIFFERENTIKLLES OU SECOND ORDRE

L'intégrale générale est donc, sous deux formes éiiuivalentes, ^ = Cj cosojr 4- «"i sinox = A cosa(x — Xq).

On peut, du reste, considérer les solutions cosax, sinoic comme évidentes, et en (iéduire immédiatement l'intégrale générale ci-dessus. Les courbes intégrales sont des sinusoïdes.

Remarque. — L'équation précédente régit le mouvement (supposé rectiligne) d'un point matériel attiré par un point lixe proportionnellement à la distance. Les forces élastiques mises en jeu par de petites déformations des solides élastiques étant |iroportionnelles à l'écart, cette équation est, par suite, celle des mouvements

vibratoires élastiques, dans les cas les plus simples. Elle s'écrit alors -j-| + a-'x = 0,

■r désignant l'écart, et l le temps. L'intégrale est a; =. A cosa(t — /(,); le mouvement

est périodique, de période ^^•

L'équation se présente aussi, sous la forme -rà + i^ = 0, dans le mouvement du

al- l

pendule simple, pour des oscillations infiniment petites, 8 étant l'angle d'écart, t le lenips, / la longueur du pendule, et g l'accélération due à la pesanteur. La période est

ilonc 2n4/-, puisque a- = ^ avec les notations précédentes.

Exemple 2. -j-^ — a^v = 0.

L'équation caractéristique est r- — a'- = Û; ses racines sout /• intégrales particulières e-% ec^. L'intégrale est donc

y = CjC"'' + CoC-"^.

On peut rerfiarqiier qa'en a aussi les deux intégrales

a; d'où les

) = ch ax, v., =^ g (e«-ï — e-"^} = sh ax ;

et écrire l'intégrale générale

y = c, ch ax -\- Co sh ax.

Si I Cj I >> I Cj j on peut poser Cj = A ch oxq, — c^ = A sh oxq, A^ =; c'J — cz.

Si I C] I < c, I on peut poser — c^ ^ A shoa-Q, Cj = A cha^o, A- = c| — cf.

Dans le premier cas, on aura y = A cha(x -- Xq) et les courbes intégrales seront des chaînettes (n° 101).

Dans le second cas, on aura y = A slia(x — a-^) et les courbes intégrales auront la forme de la courbe qui représente le sinus hyperbolique (n° 101).

Enfin, si |Cj| = |c2| , C2 = ±Ci, on aura :

y = 2cie<", ou y = 2c,e-<". L't les intégrales seront des exponentielles (n° 50).

Remar'jue. — Cette équation est d'une application rare. On la rencontre, par exemple, dans la chute d'un câble à cheval sur une poulie circulaire lisse, et qa'on

dérange de sa position d'équilibre, dans la(|uelle les extrémités sont au même niveau; elle s'écrirait alors

— a^x = 0, X étant la distance des extrémités à

d'-x dp

leur position d'équilibre.

Exemple 3. — L'équation complète, avec tous ses coefficients positifs, se présente dans beaucoup de questions de mécanique et de physique : le terme en

-r; correspond à des résistances.

EQUATIONS DIFFKHKNTIELLKS DU SECOND OHDnK STi

Prenons comme exemple, le (juloanoiiù-lre à cadri- mobilf. Suit 0 l'angle d'écart du cadre avec sa position d'^cjuililire; la force clectromotrice du courant qui passe dans l'appareil détermine cette position d'équilibre, qu'il s'agit d'observer. Le mouvement du cadre est régi par une équation de la forme

où t désigne le temps. La constante b ne dépend que des [)ropriétés mécaniques du système (masse et forme du cadre, nature de la suspension). La constante a dépend des dimensions du cadre, du champ magnétique dans lequel il se meut, et qu'on suppose constant; et elle varie en raison inverse de la résistance électrique de l'appareil.

1" Si a- — 46>.0, (résistance faible), les racines sont réelles et négatives. En les désignant par ;•, = — a;, r3=: — a^» on a pour équation du mouvement :

<) = c^e-''>' -\- c.^e-'^'', d'oii 777 = ^ «i^iC-"'' — ajCjC-'V.

Si c, et c, sont de même signe, |0 [ décroît toujours et tend rapidement vers zéro. Si c, et Cj sont de signes contraires, [ 6 | croitra jusqu'à un certain maximum, donné

par aiCie-'-'.'-l- a2C;,e-'V = 0, t=- logj — î^); et tendra ensuite rapidement

vers zéro. Le mouvement est, dans les deux cas, apériodique. : c'est ce que l'on cherche à réaliser.

2° Si a^ — 46 < 0, (résistance forte), les racines sont imaginaires,

Nous sommes dans le cas périodique amorti étudié ci-dessus :

= Ae i cos

Le cadre oscille, et l'amplitude des oscillations décroît en progression géométrique 3° La valeur a = 2 v b, qui correspond à la résistance critique, donne le cas a- — 46 = 0, où les racines sont égales, et de valeur commune — ^ . On a alors :

Il y a, comme dans le premier cas, une racine au plus pour la dérivée, et le mouvement est encore du type apériodique.

Remarque. — Un autre exemple est donné par la décharge d'un condensateur, quand on tient compte de la self-induction du circuit qui réunit les armatures. La charge aest donnée en fonction du temps t, par l'équation,

où cest la capacité du condensateur. R la résistance du circuit, L son coefficient de self-induction.

Le cas le plus intéressant pour la pratique est celui de H-c — 4L <0, et où R est petit; la décharge est alors oscillante, du type périodique amorti.

332. Équations à coefficients constants avec second membre. — Considérons l'équation avec second membre,