CHAPITRE IV

§ 1. — DEFINITION ET PROPRIETES DE L'INTEGRALE DEFINIE

339. Origine géométrique de la notion d'intégrale définie. — Etant donnée une fonction f{x), que nous supposons continue et positive dans rinlervaile (a, 6), proposons-nous de calculer l'aire ABB'A'A

comprise entre la courbe y = f{x). Taxe des x, et les parallèles x = a, x = h, à l'axe Oij.

Nous examinerons, d'abord, le cas simple où la fonction f{x) varie toujours dans le même sens dans l'intervalle {a, A); nous supposerons, par exemple, qu'elle y est croissante. Nous allons chercher, dans ce cas, une valeur approchée par défaut, et ufie valeur approchée par excès, de Taire Jh.

Intercalons, entre a et 6, des valeurs intermédiaires quelconques x^. x.„ . . ., x„i; menons les ordonnées correspondantes MiMj. M^M.^, . . .,

104 INTKORALES DEFINIES

M„iM„-i; et achevons les rectangles A'AC,MÎ, MiM,CoMi. ..., M',iM„iC.„B', qui ont pour bases A'MÎ, MÎMl, ..., M,', iB', et pour hauteurs A'A, MiM,, ..., M^|M„,. Leur somme forme l'aire .1', limitée par le contour polygonal A'AC,M,C,M^C3 .... M„ |C„B'A', aire qui est intérieure à .1. Kn remarquant que les bases des rectangles, (dits inscrits), qui la composent, ont pour longueurs ar, — a,x., — cCj, . . . , b — a?„i; et que leurs hauteurs ont pour longueurs : f{a), f{x^\ ..., /■(a^„i), on peut écrire,

Si on achève de même les rectangles, (dits exinscrils), A'DM,M!, MÎL^,MoMîi •••, M,',iD„iBB'. leur somme forme l'aire .1", limitée par le contour .\'DM,D,, . . . , BB'A, aire qui contient Taire .i à son intérieur; et on a :

Ainsi, .l>' et .l" sont deux valeurs approchées de .!■, par défaut et par excès respectivement. Pour juger du degré d'approximation, nous considérons leur difîérence

.r ^ . 1/ = (x, - a) [f{x,) - fia)] + (:r, - x,) [f{x,) - f{x,)] + . . . + ^{b-x„,)[f{b)-f{x„^,)].

On en aura une borne supérieure, en remplaçant les différences (./•, — a), (x.^ — x^), ..., {b — x„i) par la valeur o de la plus grande d'entre elles, ce qui donne :

. l," - a/ < 0 I [f{x,) - fia)] + [/ (^,) - f{x,)] 4- . . . + [/(é) - A^.-.)] { .

Si on simplifie dans le second membre, il reste : c>[f{,b) — /'(n)]- Donc :

Cette différence devient donc aussi petite que l'on veut, pourvu que 0 soit suffisamment petit. En d'autres termes, chacune des valeurs approchées .h', A'' tend vers A> lorsque le nombre des valeurs intercalées entre a et b augmente indéfiniment de manière que la plus grande des différences des valeurs «, x^, x.-,, . . ., a?„i, b consécutives tende vers zéro. Car .l/'^.i' tend vers zéro; et Ton a.l/ < .!• < A", de sorte que A," — .i, A — .1' sont deux nombres positifs inférieurs à .1" — .1.', puis([ue

On peut donc écrire :

(4) .l = lim.l/ = lim ] {x^ — a) f{a) + {x, — x^) f{x^) -h ...

INTKGUALES DEFINIES

(5) A> = lima/' = lim } {ic, — a)f{x,) -4- {x, — x,)f{x^) + . . . + {b-x„.,)m\.

El ces formules expriment que Vaire .1 considérée est, dans les conditions précisées, la limite commune de la somme X' des rectangles inscrits, et de la somme A'' des rectangles exinscrits.

Remarque /. — On peut démontrer directement que les sommes â,' et A>" tendent vers une même limite commune, sans faire appel à leur signification géométrique. Celte limite commune peut ainsi être prise comme définition même de la mesure de l'aire A'ABB'A' considérée (Comparez n° 301, noie (1)).

Remarque 2. — La demi-somme de .1/ et .i" s'obtient en ajoutant les demi-sommes des rectangles, inscrits et exinscrits, de même base. La figure représente l'un de ces couples de rectangles : la demisomme est :

c'est-à-dire l'aire du trapèze : M1,MaMa+iM/,+iM/.. La somme de tous les trapèzes analogues est l'aire qu'on obtient en remplaçant, dans laire considérée, l'arc AB par le contour polygonal inscrit AMjM^. . M„iB.

Donc Taire X est encore la limite vers laquelle tend laire polygonale A'AMjM^. . .M„iBB'A' ainsi obtenue.

Remarque 3. — On obtient une somme comprise entre »i' et X"; et qui, par conséquent, tend aussi vers .h dans les conditions indiquées, en formant une somme de rectangles d'aires respectivement comprises entre celles des rectangles, inscrits et exinscrits, de mômes bases. Pour la base Xu+i — x,,, il suffit de choisir un point PA nenlre M^ et Ml-i-n 6t de prendre comme hauteur du nouveau rectangle l'ordonnée W^ p' M'

P;t+iPfc+i du point correspondant de la courbe.

En désignant par ;,, \, . . . , ;„ les abscisses des points ainsi intercalés dans les intervalles de la suite a, x^, x,, . , ., x„, . . ., b, l'aire du rectangle considéré sera : {x^+i — Xk)f{lh+i)^ et on pourra écrire :

106 INTKGRALES DÉFINIES

(6) .t, = lim } (x, — a)f{l,) -+- {X, — x,)f{l^) -f- ... -h (6 — x„,) A'^n) {•

Celle formule générale pour la définilion algébrique tiu nombre .i conlient comme cas parliculiers les formules (4) et (5).

340. Définition de lintégrale définie. — .\u point de vue de l'analyse mathématique, el ind'^in'wlajniii'Hl Je tuute représentation géomélrique, on peut, étant donnée une fonction f x), et deux nombre.s a, b, considérer les sommes de la forme

où x^, Xj, . . ., J*i, .... Xn-\, sont arbitrairement choisis entre a et b, par ordre de grandeur croissante, si a < *, et par ordre de grandeur

décroissante, si a>6; et où ;,, l.,, . . . . U, ..., ;„ sont eux-mêmes arbitrairement choisis dans chacun des intervalles partiels (a, x,), {x^, jj), . . ,, [Xk-i, xa), . . ., (x„ ,. 6), en lesquels se trouve ainsi décomposé l'intervalle [a, b).

La limite d'une telle somme S, lorsque le nombre des valeurs

intercalaires x^ a„, augmente indéfiniment, de manière que le

plus grand des intervalles partiels tende vers zéro >*', s'appelle l'intégrale définie de la fonction f{x), prise entre les limites a et 6: et se représente par la notation

limS= 1 f{x)dx,

ce qui se lit : somme de a à 6 de f{x)dx. L'intervalle {a, b) s'appelle l'intervalle d'intégration, sans que cela implique a <. b.

On donne à a et 6 le nom de limites d^ intégration, a est la limite inférieure, et b la limite supérieure d'intégration.

Remarque i. — Cette définition suppose, naturellement, que la limite en question existe, et qu'elle ne dépend pas du choix des x^. ni de celui des :^. D'une manière plus précise, dire que .*^ tend vers une limite ^. dans les conditions indiquées, signifie que ÎJ — S est aussi petit (jue l'on veut, dès que le plus grand des nombres

\x^ — a\,\x^ — X^\ .,., \Xk — Xk-i. ..., b — x„i\ devient suffisamment petit.

(1) C'est-à-dire que le plus grand des nombres | x, — a , \ x» — Xj ! ]xn-i — 6

tend vers zéro.

INTEGRALES DEFINIES

On peut démontrer que cela a lieu, lorsque f{x) est continue dans Tinlervalle (/<, h). Nous admettrons ce théorème.

/iemarque 2. — Les considérations du début du paragraphe montrent que la limite de S existe, si f{x) est une fonction continue, positive dans l'intervalle {a, b), et si f(x) varie toujours dans le mémtî sens dans cet intervalle; enfin on a supposé a < b. La limite est alors l'aire .i".

On peut, par des raisonnements analogues à ceux que nous serons conduits à faire plus loin, montrer que le cas a > b se ramène au cas rt < 6, et que le cas oii fix) est négatif se ramène au cas où f\x} est positif. On passe alors au cas général en décomposant l'intervalle d'intégration en intervalles partiels tels, que dans chacun d'eux, la fonction soit de signe constant, et varie dans le même sens *'.

Remarque 3. — Dans celte maniè''<î de raisonner, on est parli de

l'existence du nombre .1., mesurant l'aire considérée. Or, rien ne définit ce nombre a prioi-i. Au point de vue de l'analyse mathématique, on doit donc opérer en sens inverse. On démontre, par des raisonnements indépendants de toute représentation géométrique, que la somme S tend vers une limite, dans les conditions indiquées, pourvu qu'on fasse sur f{x) certaines hypothèses, par exemple que c'est une fonction continue.

(1) Si f{x) est égale, dans l'intervalle (a, 6), à une constante H. positive, on a

S = (xi-a)H+ (x5-x,)H+ ... 4-(6-x„,)H = H [(xi - a) + (a-2 - xi) + . . . + (6 - x„,)] = H(6 — a).

La somnae S est donc égale, ce qui est évident géométriquement, à l'aire Ai, (|ui est alors celle d'un rectangle. On a donc encore

f(x)dx = lira S = Jj.

(2) Ce mode de raisonnement suppose, bien entendu, que la fonction /(x) est telle que la décomposition en question soit possible, avec un nombre limité d'intervalles partiels. C'est ce qui a lieu pour les fonctions usuelles, et ce que nous supposerons toujours dans la suite. En vertu de la note précédente, la fonction peut être constante dans tel ou tel des intervalles partiels en question.

INTEGRALES DEFINIES

Et c'est au moyen de ce théorème qu'o» définit la mesure de l'aire .i covime étant égale à la limite de S.

On a ainsi la définition d'une aire d'un des types ligures à la page précédente (trapèze, triangle, segment).

El par suite celle de toutes les aires usuelles, qui pourront toujours se décomposer en aires partielles de l'un de ces trois types; il suffit d'opérer, comme l'indique la figure, en sectionnant l'aire à évaluer par des parallèles à deux axes rectangulaires, convenablement choisies. L'arc de courbe qui intervient dans un des fragments de l'aire ne doit être rencontré qu'en un point par des perpendiculaires à sa base recliligne.

Remarque 4. — La somme S est une somme de termes dont le plus grand (en valeur absolue) tend vers zéro, en même temps que le nombre de ces termes augmente indéfiniment. Car on peut écrire

avec

ej = (Xj — a)/'(;,), H = Kx, — x,^f[\^. ...,

e^ = {Xk — Xk-l)f{lk),. • . • , En = (6 — Xn-l)fr~n),

et dans chacun de ces termes, le module du second facteur est borné, et celui du premier facteur tend vers zéro.

C'est ce que Ion exprime en disant que la limite de S est la soynme d'une infinité d'infiniment petits.

Chercher de telles limites est un des objets essentiels du calcul intégral, de même que chercher la limite du rapport de deux infiniment petits est un des objets essentiels du calcul différentiel.

On remarquera que la longueur d'un arc de courbe est une limite de la même nature, puisque c'est la limite de la somme des longueurs des côtés d'une ligne brisée inscrite, et que. pour passer à la limite, on augmente indéfiniment le nombre des côtés, de manière que le plus grand de ces côtés tende vers zéro : les infiniment petits £,, i.^, . . ., e„ sont alors les longueurs des côtés de la ligne brisée.

341. Propriétés des intégrales définies. — /. — Remarque importante. — .^i a et b sont des constantes données, l'intégrale définie

j f(x)dx est aussi une constante; elle ne dépend pas de x.

Cela résulte de la définition. La lettre x, qui figure dans la notation, n'indique pas une variable; elle rappelle les nombres a, x,, x^, .,.,

INTÉGRALKS DEFINIES 109

Xh-i, Xh, . . ., J?„i, b qui servent à former la somme S. Dans le cas où on prend Çi = a, ^2::=x,, ..., ç„ = x„i, les termes successifs de S s'écrivent

e, = (x, — a)/'(a), €, = (a;, — a?j)/'(j?,), ..., eA = (A — a^A-OA^A-i), ..., e„ = {b — x„i)fix„i) et ils sont tous de la forme f{x)dx, puisque

x^ — a, a?, — a?,, ..., Xa — Xa-i, ..., 6 — ar„,

peuvent être considérés comme des accroissements da, dx^, ..., dx/t-i, ... 5 ax„i.

f{x)dx indique donc que l'intégrale est la limite

d'une somme de termes dont chacun est le produit d'une valeur de f{x) par un accroissement donné à la valeur correspondante de x; et on peut y remplacer la lettre r, qui nest, comme l'on dit, qu'une lettre de sommation, par une autre lettre quelconque :, t, u, ..., sans que la valeur de l'intégrale soit modifiée par ce changement de notation. Ainsi on peut écrire

f''f{x)dx= f f{z)dz= f''fit)dt=z C''f{u)du=....

l'a Jii Jn Ja