II. — Interversion des limites

/ f{x)dx=z — / f(x)dx.

On a, en effet, en écrivant les termes de S en sens inverse, et changeant leurs signes,

(a?„, — 6) /"(;„) -h {x„i — a:„,)/"(;„i) + . . . + {x^-i — Xh)f{lk) + . . . + (a— a^i)A?i) = — S;

et comme les valeurs de x qui figurent dans le premier membre sont, par ordre de grandeur (voir la figure du début du numéro 340),

on reconnaît que ce premier membre est l'une des sommes dont la limite est l'intégrale / f{x)dx. Il suffit donc de passer à la limite pour obtenir la proposition annoncée.

///. — Fractionnement de Vintervalle :

/ f[x}dx= f t\x)dx-\- f f{x)dx.

Ja \J a «/c

Supposons que le nombre c soit compris entre a et 6, et prenons-le

110 INTKGRALES OEFINIES

pour un des nombres .r,, ..., a;,, ...,x„i. On aura, par oxemple, c=zXp: el, par conséquent,

S = [{X, - a) fil,) + (x, - x,)f{l,) -h ... 4- (c - x„,) A',p)] -+- -h [(x,+, - c) AWi) -+- (•r,.+. - a:,+i)/'(U4) + . . . + (6 - ^«^.) A(^n)].

Alors, le premier crochet est Tune des sommes qui tendent, à la limite, vers / f{x)dx; el, de même, aux notations près, le second

crochet est l'une des sommes dont la limite est / f{x)dx.

Il n'y a donc qu'à passer à la limite dans l'identité précédent(î pour obtenir la proposition annoncée.

Remarque. — La propriété II peut s'écrire, d'une manière abrégée,

/ H- / =0; et la propriété III s'écrit, de même, j = -\- .

' — — =0; et, à cause de II, / + / -h / =0.

a Je Ja va Jh %l c

Les formules ainsi obtenues .

Ja Jb Ja Jb Je

sont à rapprocher des formules

ab -i- ba = 0, ab -h bc -\- ra = 0

qui lient les valeurs algébriques des vecteurs déterminés par deux ou trois points d'une droite; elles sont, à cause de leur symétrie même, indépendantes de Tordre de grandeur relative de a, 6, c.

On en conclut, par suite, inversement, quel que soit Vordre de grandeur de a, b, c, la formule analogue à ab =ac -i- cb. Car on a, successivement,

d'où

On établirait, de même, la formule analogue à bc=:ac — ab, c'est-àdire

Jl, Ja Ja

iNTi:(;itAi,i:s dkiimes

De méine aussi, la foriniilc! sl; généraliserait pour le cas d'un nombre quelconque do valeurs auxiliaires, c,, r„ , . ., r„ , :

/=/VfV...+/*-H."..-H/.