ÉLÉIVIENTS DE CALCUL INTÉGRAL

CHAPITKE I

fîE.NERALITES

301. Existence des fonctions primitives. — Théorème. — Etant donnée une fonction f(x), continue dans un intervalle [a, b), il existe une fonction F{x), définie dans cet intervalle, dont la dérivée est F'{x) = f{x).

i° Supposons d'abord que la fonction f{x) soit positive dans l'intervalle (a,b). Nous allons montrer que Taire " AA'M'M, comprise entre la courbe y =z f{x), l'axe des x, la parallèle fixe à Oy, x = a, et l'ordonnée variable MM', d'abscisse x, est une fonction F (a:) répondant à la question.

Donnons, en elfet, à j:? un accroissement h. L'accroissement de F{x) est du signe de h, car F{x) augmente avec x. En valeur absolue, cet

(I) Pour être rendue rigoureuse, cette démonstration devrait itre précédée de la déjin'aion de la mesure des aires planes (au moyen de l'unité d'aire). Cette défluition est liée à la nation de Viulcfjralc définie, dont nous nous occuperons plus tard.

MATH. GÉNÉRALKS. — II.

INTEGRALKS INDEIINIKS

accroissement est compris entre les aires de deux rectangles ayant pour base commune M'Mj, et pour hauteurs respectives le maximum absolu K, et le minimum absolu k de y =:: f{x) dans l'intervalle (X, x-h h); et ces aires sont K\h\, k\h\. Donc

AFi^o?) est compris entre Kh et kh;

et, par suite,

— IV ix)