ÎL
est compris entre K et k.
Or, en vertu de la continuité de la fonction f{x). lorsque h tend vers zéro. K et /.■ tendent tous deux \ersy ^ f(x), ordonnée de M; donc il
en est de même de — r — ■. C'est-à-dire que F{x) a une dérivée qui
csl f(x). (C. Q. F. D.)
2" Si f(x) n'est pas positif dans tout l'intervalle, désignons par m un nombre inférieur au minimum absolu de f(x) dans l'inlervalle {a, b). On aura constamment :
/■(a^)>7;2. donc f(x) — jn>0.
Soit g{x) = f(x) — m. Cette fonction a, d'après ce qui précède, une primitive G{x), de sorte que l'on a
Il suflit de poser F{x) =:G(x) h- mx, pour obtenir
ce qui démontre le théorème.
Conclusion. — Si on rapproche le résultat précédent de ceux du numéro 127 on conclut : Toute fonclion continue f(x) a une infinité de fonctions jyrimitives, coynprises dans In formule générale : F(a') = F(,(x) -f-c. où l\{x} est l'une quelconque d entre elles, et c'est une constante arbitraire, dite constante d'intégration.
302. Intégrales indéfinies. — Dire que F(j:-) est fonction primitive de f{x), c'est dire que
''' " dV{x)=: f(x)dx.
dx
Sous cette seconde forme, on reconnaît que le résultat obtenu peut s'énoncer : Toute expression de la forme f{x)dx. où f{x) est une fonc-
INTEGRALES INDEFINIES 3
tion continue, est la différentielle d^une infinité de fonctions F(x). comprisex (/(tns la formule générale F(a;) = F^fj^) 4- '"• où V„{x) est l'une quelconque d entre elles, et où c'est une constante arbitraire.
A ce point de vue, on traduit l'identité (2) en disant que V{x) est une intégrale indéfinie (ou. par abrêvialion. une intégrale), de la différentielle f x)dx, et on écrit l'identité (2) sous la forme équivalente :
V{x)= Cf(x)dx.
dont le second membre s'énonce : somme de f(x)dx.
Le problème de la recherche des intégrales indéfinies est donc le problème inverse du calcul différentiel.
Ce problème ne ditrère pas. au fond, de celui de la recherche des fonctions primitives; mais l'emploi des différentielles, au lieu des dérivées, y est d'une importance capitale, parce que le problème se résout, le plus souvent, par l'emploi de changements de variables. pour lesquels la notation différentielle offre toute commodité, comme nous allons l'expliquer.
303. Changement de variables. — Conservons les notations précédentes, et posons x=Lo{i)^ ^(t) étant une fonction quelconque d'une nouvelle variable /. Soit f = 'f(a?) la fonction inverse correspondante, de sorte que les équations
(o) ^ = 'r(0- t = '-fix).
peuvent être considérées comme équivalentes ". Posons F(9(0) = G(<). ce qui signifie que Y(x) et G(^) prennent la mOme valeur pour des valeurs de x et de i liées, dans les conditions supposées, par l'une ou l'autre des équations équivalentes (o). On a donc, à la fois.
Or. la formule (2) s'écrit, d'après la propriété fondamentale des différentielles (n" 182). sous l'une des deux formes équivalentes :
(7) dV(x)=f{x)dx. dG{l =fix)dx = f{'^{t)).o'(t}dt.
Si l'on passe enfin à la forme intégrale de ces équations, nous concluons que les deux formules
¥{x)= ff{x)dx. G{l)=ff('j{t)).'y{t)dt.
(Il La fonction t = li{x) sera, en général, une branche de la fonction implicite définie par x = z,il); et l'équivalence supposera alors que l'on assujettit t à ne varier que dans des intervalles convenablement définis. C'est C3 qu'on a vu au chapitre vu, pour les fonctions circulaires inverses.
4 I.NTKGRALES INDEFINIES
sont équivalente?, pourvu que F et G soient liées par lune des identités (0). équivalentes entre elles.
On conclut de là que. pour calculer V{x), on peut chercher toutes les fonctions G(/) = Go(/) H- c. intégrales de f{zi{l)). o'{l)dt; et que les diverses fonctions F(x) s'en déduiront, conformément à la seconde formule (6). en y remplaçant / par ^(x).
De là la réicle suivante :
Règle. — Pour calculer / f{x)d.x, on peut faire un changcmoil de
variable x=iz,{l). On remplace x en fonction de t dans la différentielle f(x)dx qui devient une différentielle en t. f('j>(())z:'{l)dt. On calcule
I A''r'(0)?^0'^''' ''^ ^" revient dans le résultat, à la variable x, au moyen de la formule du changement de variable, mise sous la forme t=^'l{x).
Remarque. — Vu la démonstration de cette règle, il sera nécessaire de poser, dès le début du calcul, les deux formules inverses j: =:o(/), /^•i/(j). du changement de variables. Si elles ne sont pas slricLcineiit équivalentes, elles se compléteront Tune l'autre, comme on le verra dans lexemple suivant, de manière qu'à chaque valeur de / ne corresponde qu'une valeur de x. et inversement; ce qui est la condition de validité des raisonnements précédents.
Exemple. — Soit à calculer /
dx
Posons
r = lj:(. < = Arc Igx, donc — -7 ^ ' "^î-T" La diirérenlielle à inlcgrer devient
dx dt 1 dl , :^
?~cos^r i*~cos-<* " /"• -
Comme — ^ $ < < ^, cos< est positif, et on peut remplacer (cos-<j- par cos-'/. Donc / ^~5~ / *-'os«'i'.
L'intégration du second membre est immédiate, puisque cos<(/< = dsin t.- L'intégrale est donc :
sinZ + c.
11 reste à remplacer l en fonction de x. Comme on a x= lg<, et que aint est, pour — ^ ^ f ^ 2' ''^ signe de tg<
Igi X
sin i = ^ = — — -^— .
On a donc, en définitive.
/ dx X .
INTÉGHALES INDEFINIES
304. Intégrales usuelles. — En vertu de l'équivalence des formules (2) el (3). on déduil iinmédialemenl. du tableau de dinérenlielles usuelles du numéro 180. le tableau suivant d'intégrales usuelles. Chacune des formules écrites se vérilie en constatant que l'expression sous le signe Test bien la dift'érentielle du second membre. On a groupé ensemble les intégrales de difierentielles algébriques.
/ x"dx = —7-7 -+
rdx 1 i
dx
Arc tgoJH- c
r dx 1 , la? — 1 r dx
\hx
= Arc sma-'-i- c x'-
dx dx
= \og\x -h \ X- ^ a -h c
\Jx^-\-a
r dx ,
/ — r:r= = arg sh a- -h c
/. = Arg ch a" H- c
SX- — 1
/ e^dx = e' -f- c
/ ((""dx = i h c
./ loga
f cosx dx = s\nx -^c I sin X dx = — coso- -4
J cos^.r
rjL. = colgo? - J sin-x
Cchxdx=^shx-{- c I shx dx=i cha'-hc
r^ = tha-^c.
J ch-o?
Itcmarque. — Dans les formules où intervient un logarithme, au lieu d'écrire log|M! + c. on peut écrire log-, x étant une constante arbitraire du signe de u. car cela revient à poser o = — loga|. ou a =e-'. En effet. log- = log m | — log| a .
305. Procédés généraux d'intégration. — 1. Nous.avons déjà indiqué le procédé du changement de variable, qui permet en particulier d'étendre les conditions d'application des formules précédentes.
11. — On a constamment à faire usage de la remarque suivante. La formule
/ cdu =^c du.
6 INTKGRALES INDKFINIES
dont la vorilicaliun esl imnu-diale, les difTérenlielles des deux membres étant égales, montre que, dans un calcul d'intriiration, on peut faire sortir du signe 1 des facteurs constants, ou les faire entrer sous ce signe.
Exemples. — I . f \x"dx = A / J"dx = A-— ^ -h c.
^" J x'-ha^ — J a^x^' ^~a j /^V' | " «
ç dx çi^ dx 1 r__yâj__
III. — La formule "(/(?< H- i'H-/r)=z^/»-t- t/u + rf/r donne, en intégrant les deux membres, c'est-à-dire en appliquant léquivalence des fornmlps (2) et (3). "
u -1- i' -h (V = f {du -h rfu H- rf/r), c'est-à-dire :
/ (du -+- dv H- d/r) = I du-\- f dv-h 1 dir;
car, à des constantes d'intégration près,
u = j d>i, ^^^^ i ^^'' ic=^ f dw;
et il esl inutile de garder ces constantes d'intégration dans le second membre de (9), les deux membres n'étant définis qu'à une constante additive, arbitraire, près. .
Cette formule revient à dire que pour intégrer une somme de différentielles on peut iiitégrer terme à terme.
Sous forme plus explicite, on peut l'écrire
(10) f[f{x)-^g(x)~{-h{x]dx = jy(x)dx-^'Jg{x)dx-i-fh{x)dx;
(I) Nous prenons une somme de trois termes, par exemple. Mais tout s'applique au cas d'un nombre quelconque de termes.
INTEGRALES INDEFINIES 7
car. à cause de l'existence des intégrales indéfinies, on peut toujours
poser :
f{x)dx-=z.dn, fj{x)dx=zdv, h{x)dx = dw.
Cette remarque est le principe de l'un des procédés d'intégration les plus utiles. Il consiste à décomposer la différentielle à intéfjrer eu éléments simples, qu'on sache intégrer déjà séparément.
Exemples. — /. Intér/ralion d'un polynôme.
On intègre terme à terme : cela donne, pour un polynôme quelconque de degré «,
= ^0 — r-i-+-Ai — H- "n -i- 1 ' n
■]-ApX''-i'-h ..
. + \n-ix + A„) dx =
+- . . . -4- A„i 2" -+- An^
