MOMENTS D'INERTIE
395. Moments d'inertie dun système de points matériels. — Le moment dinerlie d'un système de points matériels, M^, M,, .... M„, de masses ?«,, ?»,, . .., ?«„, par rapport à un axe, est, par définition, la somme
(1) r» = Wj o'- -h m,ol -+-...-!- m„ o;, = S! m Z'-
des produits obtenus en multipliant chaque masse par le carré de la distance du point correspondant à l'axe. On définit de même le moment d'inertie par rapport à un point, ou
par rapport à un plan, en remplaçant les distances à l'axe par les distances H au point, ou au plan, considérés.
Par exemple, le carré MH" = OP^ de la distance d'un point {x, y, z) à l'axe 0; est 0- = X- H- y^ ; le carré de sa distance il l'origine 0 est
l- = x--^ If -f- :» ;
le carré de sa dislance au plan des xy est rj^z-. On aura donc les formules suivantes :
INTÉGRAXES MULTIPLES 227
1" Moments d'iuevlie par rapport aux axes de coordonnées : pourOx, i:7/i(7*-hz2); pour 0 y, "il m {z^ -h x^); pourOz, I,m{x--hy-). 2° Moments d'inertie par rapport aux plans de coordonnées :
pouryOz, ^mx-\ pour zOx, -tu//-; pour xOy, ^ mz^. 3" Moment d'inertie par rapport à l'origine : '
Conséquence I. — La formule évidenie :
^m{x^-\~y^) = ^mx'-j- ^my"indique que le moment d'inertie par rapport à un axe est égal à la somme des moments d'inertie par rapport à deux plans rectangulaires passant par l'axe.
Conséquence IL — Les formules évidentes :
2 m {x- 4- î/^ -h c^) r= v mx- + S mf + i: mz^ = i: mz- -h H m {x^ H- y^)
S m{x^ ^yi^z^-):=}^m [y- ■+- z-) -h^m{z^-h x^} -h 2 m(x- + y-) (
indiquent que le moment d'inertie par rapport à un point est égal : 1° à la somme des moments d'inertie par rapport à trois plans rectangulaires passant par ce point; 2*^ à la somme des moments d'inertie par rapport à un plan et à un axe, perpendiculaire à ce plan, passant par ce point; 3" à la demi-somme des moments d'inertie par rapport à trois axes rectangulaires passant par ce point.
396. Comparaison des moments d inertie relatifs à divers axes. — Le moment d'inertie par rapport à un axe a seul une signiticalion mécanique effective; les moments d'inertie par rapport à un point ou un plan sont des auxiliaires utiles pour le calcul des premiers, en vertu des remarques précédentes.
Au point de vue mécanique, il est important d'étudier comment varie le moment d'inertie par rapport à un axe, quand cet axe change, le système des points matériels donnés restant invariable.
1" Axes parallèles. — Supposons qu'on ait pris pour origine le centre do gravité du système, de sorte que l'on aura [;, r,. l étant nuls dans les formules (5) du numéro 392],
(2) '^mx = 0. :L.my=0, i:?n: = 0.
Et calculons le moment d'inertie par rapport à un axe 0^:^, d'équations x=za, y = b, parallèle à 0:. (Voir la figure à la page suivante.)
Le carré de la distance d'un point M à cet axe est
M- = PUi = {x — af -h (j/ — bf.
228 iMi;(;n,\i,Es mi ltii'Li:s
Le moment d'iuorlio clierclii' est donc :
(3) î:m[(j — a)'-4-(y — A)»] = 2:m(x»-4- 1/') I- i:mU»' t //');
car l«-'8 autres termes :
— 2£mx«= — 2'/. Ini.r, cl — aïrn;//-» = — 2A. ilm»/
disparaissent à cause des conditions (2). Si on désigne, de plu**, piir
,11>=il?» lîi massr' totale, le dernier terme de |;i formule (3) s'écrit (/i^H- l}')^Zm =.11. («2 H- 6«); cl il reste : i;;/j(j^-i ;/^)-f-.W.(a''-t- //'). Comme fi'-}-i' = UUÎ est le carré de la distance du centre de gravite à (>,:,, on a le résultat suivant :
Ac iniimi'n( d iiirrlie par rapport n un ase e.il r</nl au momcnl d'xnrriii*. par rapport \iX l'axe parallèle mniê par le centre de (jravilé, auijvienlé du mmneal d'inerties par rapport à l'axe donné, dr In masse tufnlr ilu système, .supposée concentrée au centre de ;/ravité.
On voit donc que, pour des axes parallèles, c'est celui <|iii p.isse par le centre de gravité qui donne le moment d'inertie miniiimm, et, pour les autres, le moment d'inerlie ne dépend que de leur distance ài cet axe de moment minimum,
2' Axes concourants. — EUipsoidi' d'inertie.
Considérons un axe On, de cosinus directeurs ot. p. •;, pass.oii vu '•.
