IX » ' , TîuR

394. Simplificatiou des formules donnant le centre de gravité, dans, le cas des corps homogènes. — Si ou a alTairc à un solide lioino/rène, les inlé<'ra!"s triples (ti) peuvent être remplacées par des intégrales de surface. Ou a, jtar exemjile, <i'aprés la formule de Green, (n" .378;, pour le calcul de ;,

De même, si on a aiïaire à une plaque homogène, on pourra appliquer la formule de Riemann. (n° 382), qui donnera, pour les formules (7), des intégrales de contour :

Théorèmes de Guldin. — I. Nous avons trouvé (n" 370) pour le volume engendré par une courbe plane fermée tournant autour d'un axe 0:, de son plan vO-, (jui ne la

traverse pas, la formule V='^ / y-d:.

Or, d'après les formules précédentes, Vy <lu centre de gravité de l'aire est donné, si on désigne par .V l'aire de la courbe, par

2Ar, = / y^d:,

4*ar, l'aire étant homogène, M = .\p.

On a donc :

Le volume engendré est égal au produit de Caire par la longueur de la circonférence que décrii son centre de gravité.

11. L'aire engendré par un arc d'une courbe plane (C), tournant autour d'un axe O- de son plan vO-. qui ne la traverse pas, est donnée aussi (n° 371) par une intégrale curviligne, étendue à lare,

yc/.>-.

Les formules (S), donnent, pour l'y du centre de gravité de l'arc de courbe, supposé liomoge:ie, si on désigne par L la longueur de l'arc,

/ ydu

car .M = L'/. On a donc

L'aire engendrJc est égale au produit de la longueur di l'arc de courbe par la longueur -de la circonférence que décrit le centre de gravité de cet arc.

MATH. GÉXtHALEr. — II. 15

IXTEGRALi:S MILTII'LES

Exemple t. — On retrouve ainsi immédiatement, dan* le cas du tore, les formules

V = 7îR2.27Ta, et i: = 2t: H.27;a.

o qui donnent le volume et la surface totale.

Exemple '2. — Centre de gravité d'un demi-cercle. Si on fait tourner le demi-cercle autour de son diamètre, on

a, pour le volume engendré, V^TiitR'. Donc, puisque

~tAV,

d'où

Exemple 3. — Centre de gravité d'une demi-circonférence. On applique, de même, le second théorème de Guldin. Ou a :

i: = 47TR2, L = 7:R.

Donc 47: R2 = - R .27:r,. d'où :