I.NTKC.i; Vl.KS MI I.TII'I.KS

avec

A = ï m(y^ H- :-), H = ï iii{z- -h x-).

D =: il '«y:, K = 1 mzd\ V

C=ïm(x^-l-j/«).

: ï mxy .

On voit que A, B, C sont les motnenls d'iuerlie par rapport aux trois axes de coordonnées.

Pour se rendre compte de la nianièro dont oo inoinent d iiiortio varie avec Taxe considéré Ou, on porte sur cet axe une longueur C>F=:/*, telle que

op=4=.

l.a ft^rmule (4) s'écrit ainsi, en multipliant les deux membres

par/-r=-.

l = A(ra)«4-B(rp)«-^C(rY)«2D(r^)(rv)2E(rY)(r«) — 2F(r«)(r^); ce qui devient

^7) AX^H-BY^^-CZ-— -JDYZ — itZN. — :>l \Y= l.

si on désigne par \, Y. Z, les coordonnées du point figurai if V, qui

sont, en etïet, les lr(.>is projections rx, /-p. ry du vecteur (>F sur les trois axes.

Le lieu du point P est donc une surface du second degré, dont le point 0 est centre, car l'équation ne change pas si on change X, Y. Z, coordonnées d'un point, en — X, — Y, — Z. coordonnées du symétrique de ce point par rapport à l'origine. Le rayon vecteur (IP ne peut devenir nul. car 0,. est tini, et il ne peut devenir inlini, car .">„ n'est pas nul, si on excepte le cas où tous les points matériels donnés seraient sur une droite passant en 0.

D'après l'élude des surfaces du second degré, on en conclut que celle-ci est un ellipsoïde, qu'on appelle ellipsoni^' d'inertie.

Ses axes, Oa,, Oy,. 0:„ s'appellent (wes principaux ii' inertie relatifs au point 0.

Pour un axe quelconque Ou, le moment d'inertie est

donné par ^u=^ — :,> P étant l'un des points, symétriques par rapport

INTEGRALES MULTIPLES

à 0, OÙ Taxe perce l'ellipsoïde. Le moment d'inertie minimum correspond donc au grand axe de l'ellipsoïde d'inertie.

Remm^quc i . — Chaque point de l'espace est ainsi le centre d'un ellipsoïde d'inertie. Celui qui a pour centre le centre de gravité du système s'appelle ellipsoïde central d'inertie.

Remarque .2. — Si on veut comparer seulement les moments d'inertie pris par rapport à des droites d'un même plan, passant en 0, on pourra supposer que ce plan est, dans ce (\u'\ précède, le plan des xij; el il suffira de faire •; = (), cest-à-dire Z=0. L'ellipsoïde d'inertie sera donc remplacé par une ellipse d'inertie, qui est la section de lellipsoïde d'inertie par le plan considéré.

397. Moments d'inertie des solides continus. — Pour définir les moments d'inertie des corps continus, il n'y a qu'à opérer comme on l'a fait au numéro 393, pour les centres de gravité, en décomposant le corps en éléments infinitésimaux, dont chacun a une masse équivalente (au sens de la théorie des infiniment petits), à u.{x, y, z)dv; dans cette formule a est la densité, où masse spécifique, et dv l'élément de volume. Pour la distance o, on peut " prendre celle qui correspond à un point quelconque M (a:, j/, z), de l'élément de volume considéré.

L'expression du moment d'inertie devient ainsi, en écrivant (n° 376, remarque finale) a(M) au lieu de jj.(x, y, z), l'intégrale triple

D=r f f f u.{U)ZHv.

La figure correspond au cas du moment d'inertie par rapport à un axe AA', o = MH représentant dans ce cas, la distance du point M à l'axe.

Pour les moments d'inertie par rapport aux axes de coordonnées, on aura ainsi les formules

x')u.dv,

il) Ici encore, nous ne faisons qu'indiquer la méthode, sans essayer de rendre e raisonnement rigoureux. Nous admettons donc qu'il est lo.s.ble de condenser la masse de chaque fragment du corps en Tun quelconque des po.nls de ce frag"ient el que le moment dinerlie du système des points matériels ainsi obtenus tend vers une même limite quelle que soit la manière particulière dont on opère la fragmentation du corps et la condensation de ses fragments, lorsque le nombre de ce3 fratrments augmenté indéfiniment, de manière que chacun d eux tende vers zéro dans tautes ses dimensions. Cest cette limite qui est. par définition, le moment d'inertie du solide continu considéré.

INTKGRALES MLLTIl'LES

Les moments dinerlie par rapport aux plans de coordonnées seront, de même,

fJ'L^'^'''-' ./'/,(;■''>■'"• fflr^'''''

et le moment d'inertie par rapport à l'origine sera

Comme pour les centres de gravité, ces intégrales triples seront remplacées par des intégrales doubles, ou simples, si une, ou deux dimensions du corps sont négligeables.

Enfin, dans le cas des corps homogènes (|x = constante), on transformera facilement, par la formule de Green, ces intépralos triples en intégrales de surface relatives à la surface qui limite le corps considéré.

De même, le cas du moment d'inertie d'une plaque homogène plane, par rapport à Oj?, par exemple, conduira au calcul d'une intégrale curviligne. Car ce sera

: / / y^.i>..dxdy = d'où, d'après la formule de Iliemann,

JS

^ r y^dx.