Exemples
Exemple 1 . — Moment d'inertie d'un solide paralhHépipédique. — Cherchons le moment d'inertie d'un solide homogène, en forme de parallélépipède rectangle, par rapport à la droite qui joint les milieux de deux faces opposées. Nous prenons celte droite pour axe des z, et les deux droites analogues pour axe des j-, et des y. Soient a, b, c les longueurs des arêtes respectivement parallèles à Ox, Oy, Oz : la masse du barreau sera M = aabc, et le moment d'inertie cherché est
3=\^ j J j\xi-\-y^dxdydz,
puisque la masse spécifique p, étant constante,
sort des signes / / / • Nous intégrons d'abord
le long d'une corde verticale WW du volume : intégration relative à r, dont les limites sont
INTKGllALES MULTIPLES
— 2' +2' '-'''"'^c'""^'^^" suivnute correspond la au déplacement du pied \\ de la corde sur le plan des xy, qui doit se faire, par exemple, le long d'une curde V'V de la section droite du parallélépipède : intépraiion relative à y, dont les liniilcs sont—-, 4-;,- La dernière inléj'Tution correspondra cnlin au déplacement du l>ied P de la corde V'V sur l'axe des x, qui doit se faire de manière que V'V lialaie toute la section droite : intégration relative à .r. dont les limites sont ~~,' +2' ^" délinilive. on doit faire trois intégrations entre limites constantes, (comparez n" 377, remarque I); et on peut écrire, en tenant compte de ce que (x- -{- y-) est une constante, relativement à r,
.-) = !J. / dx / '(T^--{.y'i)dy I d:.
La première intégration (celle de droite) donne
= c. La deuxième est donc
J \{x-^ + y^~)dy = c [x\Y + Çl ' = cJx-^6 + ^j .
Enfin la dernière intégration donne
y'^^"'c(a:26 + ^)rfx=c|^6-| + ^a.j |
Le moment dinertie demandé est donc, en désignant par M la masse totale du solide
t t a- 4- *>- n.a- + b- ,1 = [i.nbc. — T^.^ — = M — r^
Hemarque. — Dans certains cas simples, on peut calculer des monients dinerlie sans avoir à effectuer des intégrations triples. On se rendra compte, sur les quatre exemples suivants, de la méthode à appliquer : on considère le moment d'inertie comme une fonction d'une seule variable, dont on puisse trouver la différentielle; si cela est possible, une intégration simple conduit au but.
Moment d'inertie d^uiw plariue circulaire homoijène par rapport à son axe. — Soit. U
le rayon de la plaijue, ç. sa densité superlicielle (p. 224), M=:-ll-p sa masse. Nous cherchons le moment d'inertie par rapport à son axe (perpendiculaire au plan de la plaque, menée par son centre), ce qui revient au moment d'inertie par rapport à son centre. C'est une fonction /(H) du iay(m seul : cherchons sa dérivée.
Pour un accroissement c/lt du rayon, A/ est le moment d'inertie de la couroinx^ comprise entre les cercles de rayons H et U + dit. Ce moment d'inertie est plus grand que celui qu'on obtiendrait en répartissant la masse do- cette couronne sur la
circonférence intérieure, el plus petit que celui (juon ohtiendrait en rèparlis?anL
cette masse sur la circonférence extérieure.
iNTi:r.HAi,i:s mi ltiim.ks 233
l.a in.T^si' ili- 1.1 iDiiroMiio cLint p.A(zll->, on a donc
p It^ A (r W'-) ' A/< p(R + (/R)îA (7:112).
En pnss.int h I,i limite, pnur Al{=0, les membres extrêmes de celle dnubie
inéiïnlilé tendent li>u> deux vers û Rî — -,,~ , nui est donc la valeur de , ,, ; el on a :
•^ rfU ' - ait
dfz= o\{i.d{r.lV-} = 2-:..R^dl{.
D'où, en intégrant, avec la condition /=:0, pour R = 0.
/•" ni Rî
lieiiKirque. — On écrit souvent 1.' moment d'inertie d'un corps de masse M sous la forme n^M-;-, et on dit alors que y est le rayon de g ira lion.
Dans l'exemple du solide parallélépipédique, le rayon de giration
sera donc y = j) V' — ô — ; dans celui de la plaque circulaire, le rayor> de t'iration serait -'=:-^.
r.xemple 3. — Mo-nenl d'inertie d'une plaque circulaire homogène par rapport à un de 5CS diamètres.
Cela revient nu moment d'inertie par rapport à un plan passant par l'axe du cercle. Or le moment par rapport à l'axe est la somme des moments par rapport à deux de ces plans (rectangulaires), et comme ces derniers sont égaux, par raison de symétrie,
le moment cherché est la moitié du moment par rapport à l'axe, c'est-à-dire M i • f e rayon de giration est ici -^^
Exemple '/. -- Moment d'inertie d'une sphère homogène par rapport à un diamètre. — I'ax raisonnant comme pour le cercle, nous chercherons d'ahord le moment d'inertie pir rapport au centre;' et comme celui-ci est la demi-somme des moments par rapport a trois diamètres, lesquels sont tous égaux, le moment d'inertie ,1 cherché
sera égal à ^J'. J' étant le moment d'inertie par rapport au centre. I On a, en
eiïet. .r=i(.1-f ,T + .1) = |^|.
Pour calculer fi'. nous raisonnons encore comme dans le cas du cercle, en le considérant comme fonction du rayon R.
Donnons à R un accroissement dR: la masse de la sphère s'accroît d'une quantité
éi]uivalente à sa ditlérenticlle, d.M = (j..d( :t n R^ j = 4;:5iR-(iR; le moment d'inertie
s'accroît d'une quantité é<iu.valente au moment d'inertie de cet accroissement de masse, placé à la distance R (couche répartie sur la surface de la sphère). On a donc
dy = 4iiaRî(m.R2 = 4::aR-<iR :
INTEGRALES MULTIPLES
d'où
,T= I 47î(iRMR=gïi(iRs=:
= *.,R3.|R^ = gMR^.
Et par conséquent, |tour le moment d'inertie 0 cherclié, on a :
Le rayon de giration est donc Ri/ff-
Remarque. — Pour une sphère qui oscillerait autour d'un axe horizontal AA', on aurait, d'après le numéro 396, pour le moment d'inertie par rapport à cet axe, 0"i la distance du centre de la sphère à l'axe étant désignée par /, la formule
0" = M I R2 + Mi2 = M (^i2 + 1 R2y
Exemple 5. — Moments d'inertie d'un solide cylindrique homogène.
i" Moment d'inertie par rapport à Vaxe. — Soit II la hauteur du cylindre el R son rayon. Si on considère le moment d'inertie par rapport à l'axe, A, comme fonction de R seul, et si on fait varier R, le moment d'inertie s'accroît du moment d'inertie d'une couche ji.A(-R-H), placée sur la surface du cylindre, à une distance comprise entre R et R + t'R; et la partie principale de ce moment d'inertie additionnel est :
rfA = [j..(i(uR2H).R2 =:27ru.H.R3dR;
on en conclut, par intégration, R*
A^'^rall
ÎTU.HR2
Cette formule ne diffère pas de celle de la plaque circulaire.
Le cas de la plaque circulaire est, du reste, un cas particulier de celui qui vient d'être traité, la hauteur H étant seulement négligeable vis-à-vis du rayon R.
2° Moment d'inertie par rapport au plan (P) de section droite, équidistant des bases. — Soit P ce moment, que nous considérons comme fonction de H seul. Si nous donnons à 11 un accroissement </H, nous devrons supposer, pour que le plan (P) reste plan de symétrie, que chacune des bases est
déplacée de pdH; et, en raisonnant comme
précédemment, nous aurons
dP = jji.d(7iR2H>. /"y = TTixR-^. ^"dll,
d'où, en intégrant :
IP
P = 7:aR2 - = 7t|xR2H — = M
3° Moment d'inertie par rapport à un diamètre de la section équidislanle des deux bases.
Soit D le moment d'inertie cherché. Le moment d'inertie par rapport au centre 0 de la section droite est égal (d'après le n° 396), à
INTKGnALKS MLI.TII'LES
CHT les moments d inerlit' sont les marnes, pnr raison tle symétrie, pour tous les diamètres de la section droite coiisidi-rée. Ce même moment d'inertie par rapport au centre 0 est aussi égal à
d'après uu autre théorème du numéro 390. On à donc
donc :
d'il)
Exemple G. — Moment d'inertie d'un tore homogène, par rapport à son axe. — Nous avons à calculer lintégrale triple :
(JL / / j {x^-{-y^-)dxdydz.
Nous pourrons inlégrer d'aljord / / (x- -\- y-) dx dy , en prenant pour champ
d'intégration la section de la surface par le plan horizontal de cote z. Cette intégrale douLle est le moment d'inertie d'une plaque circulaire annulaire, de densité I, par rapport à son centre; c'est-à-dire
-^ — ^ j , en désignant par Vj et y^ les y
des deux points M, et M, du cercle générateur situes à la cote z.
Car le moment d'inertie de la couronne est la différence des moments d'inertie des deux cercles de rayons v, et v,, qui sont 1 1 . I
gfiy*, et ^-yj, comme on l'a vu dans l'exemple 2.
Il restera ensuite à intégrer par rapport à z, en faisant varier ^ de — R à + R, afin que la section annulaire considérée balaie tout le volume du tore, c'est-à-dire à calculer
■ r.%f (v,-v})c/. = .| yUz+ f yldzL
236 EXKRCIGKS SIH LK CHAPITRE V
On voit ([uo /'i/i /.■';/ raJf à calculer est, en dcftnilive, Vinlégrale curviligne
êlendiie au contour (K) du cerclr gênt'ralcur ''^^'.
En posant OC = (i, on a. comme représentation paramétrique du cercle d'intégration, }■ = a + R cosu. c = Il sin u : et il faut calculer
j = ZiM. / "'(rt + R cosiD'.dsinu.
Toutes les puissances paires de cosu, dans (« -|- R cosu)*, peuvent se remplacer en
fonction de sinu. pour donner une intégrale de la forme / F (sin u).d sinu, où F
est un polynôme. Cette partie de l'intégrale est donc nulle, car l'intégrale indéfinie est un polynôme en sinu, (|ui prend la même valeur aux deux limites de l'intégration; et il reste seulement :
.,7r^ / ""[4a3Rcos^u4-4aR3cos^u](/u.
Or, on a
i^-~ , , /'-" 1 + cos2u .
I cos • u au =: / -^ du=z-.
et
r-' . , /'-'^/ 1 +cos2u\2 , 1 /'-"l, , ., -, , l + cosiul . 3 ./, cos.«rfa = j^. (-^4 ).d"-jj^ p^2cos2u+-^3^^-^ Jdu = jx.
Il vient donc enfin
T o =. n- ( » 1 3n,\ / ,>. 0 ,4a2 4-3R2 ^, 4fl^ -f- 3R2 J=:2T:-a(iR-. I o^ -f - R- | =: (-H-.2-a.a) -^ = M j
Nous avons désigné par M la masse totale du tore, dont le volume est (théorèmer de Guldin), ï:R"-.2îra.
Le rayon de giration est donc v = ^ \ *"- -f- 3H-.
EXERCICES SUH I.E CHAPITRE V
1. — Un prisme dr()ii a pour base le triangle dont les sommets-
ont pour coordonnées (0, 0. 0). (1. 0, 0), [O, ^. 0 j. Calculer le-
volume du solide obtenu en tronquant ce prisme par la surface 2 = a--i- y-\- 1.
2. — Calculer le volume et la surface du solide limité par la surface a:"- -h jy- = a: et le plan : = a.
