INTÉGRALES DÉFLNIES QUI SONT FONCTIONS D'UN PARAMÈTRE
399. Continuité. — Différentiation. — Intégration. — Soit f{x, y) une fonction de deux variables, que nous supposerons continue dans un cliamp rectangulaire limité par des parallèles aux axes
Ce champ (C) sera donc défini par les inégalités (C) fl<a-<«', ^<î/<è'.
Pour chaque valeur de ?/, appartenant à l'intervalle {h, b'), on peut considérer l'intégrale
/ fix,y)dx,
INTÉGRALES DÉFINIES FONCTIONS D"iN PARAMÈTRE 239-
qui est ainsi une fonction
(1) 'i'{y)= l^f(x,y)dx
du paramètre '/, figurant sous le signe / .
On a là un mode important de représentation des fonctions d'une variable y, dont nous allons indiquer, sans démonstration, quelques propriétés fondamentales.
Continuili'. — Si la fonction f{x, y) est continue dans le champ (C), l'intégrale (1) est une fonction continue de y, dans l'intervalle {b, b').
Dérivation. — Si la fonction f{x, y) a, dans le champ (G), une
dérivée ' ' ' ■' continue, l'intégrale (1) a, dans l'intervalle {b, b'), une
dérivée, donnée par la formule
(2) .i>'{y)==£yi£iy)dx.
On obtient donc cette dérivée en différentiant sous le signe j .
Intégration. — Si la fonction /"(a?, y) est continue dans le champ (C), on peut, puisque <!»((/) est continue dans l'intervalle {b, b'), considérer
l'intégrale définie / <P{y)dy. Cette intégrale peut s'obtenir en intégrant sous le signe / . En d'autres termes, on a la formule d'intégration
Remarque. — Cette formule (3) est une conséquence immédiate de la règle de calcul des intégrales doubles. On peut l'écrire, en effet,
(4) r%{y)dy= f"'dx rf{x,y)dy, OU, en remplaçant ^{y) par sa valeur (1),
(5) f dy r f{x,y)dx= f dx f f{x,y)dy.
«'/> l'a l'a 1/ Il
Or, les deux membres sont, d'après les règles de calcul des intégrales doubles (champ rectangulaire), les deux expressions différentes qu'on
obtient pour l'intégrale double / / f{x, y)dx, dy, suivant que l'on
fait les intégrations dans un sens ou dans l'autre.
Le théorème sur l'intégration sous le signe j équivaut donc à Vinter-
240 INTEGRALES DEFINIES FONCTIONS D UN PARAMETRE
versiuii des iuicgrations dans le calcul d'une intégrale double relative à «D champ rectangulaire, de côtés parallèles aux axes.
400. Exemples. — On verra, dans les exemples suivants, comment
la ditTérenliation sous le signe / peut servir à trouver, en partant
•des expressions connues de certaines intégrales, des formules donnant •d'autres intégrales plus compliquées.
Exemple 1. — Parlons de la formule, valable pour /i > 0 in" 303),
dx \
nous en tirons, en diiïtTenliaiit par rapport à /*,
m / -^=-lArc.,-
, 'il r- + /i \ I
r' dx I . . a; . 1 1 —X
— f = rzArcl^- + . =.
Jo {x'- + h}i 2/i^/i \/i \'' I 1 £: 2/i\7i
/t ■ou
[2] / = ^Arclg — ^
Ju {x'- + h)'- 2hs,h ^h 2h{x'^ + h)
/" dx En dj(Térenliant de nouveau, on oMiendrail / ; — r—, — ;— 7, et ainsi de suite.
Ju (J;- + /')■'
Si on ne dévelopiie pas les dérivations, dans le seeond nicmlire, on peut prendre
immédiatement les dérivées n"""'^ des deux membres de [I], ce qui donne
d" (~ Arc tg —\
</"(4Arctg^\
ro, / dx {— D» \\n \hl
Exemple 2. — En opérant de même sur la formule, valalile encore pour /i > 0 <n" 305),
on obt enl
/" dx I . ^ j? — \ /i I
,'i) X' — h 2\k ' X ■\- \Ti \
d" — log 2^ )
r^ dx 1 1 \sli x^s''\'
J„ (x^ — hy-t^~2' \.2.'i...n' dh"
401. Extension aux intégrales multiples. — Les considérations et les résultats du numéro 399 s'étendent aux intégrales curvilignes ot aux intégrales multiples.
Considérons, comme exemple, le potentiel de masses attirantes, réparties d'une manière continue dans un volume (V). Si on désigne par (^/, b, c) les coordonnées d'un point attirant quelconque M, par \t.
INTKGHALKS DKKIMKS FONCTIONS D IN l'AHAMKTRE
la masse s[iécili<juo ou ce point, (|ui est uni; fonclion a(^/, fj, r , If polenliel on un point quelconque l\ (r, ï/, :), de l'espace est donné par l'inlégrale triple
où r désigne la ilistance MP,
(7) r = ^,{x — af-^{^J — bf-^{z — cf
On aura donc, par la rè^'le de dilTéreuliation sous le signe / j / , en supposant P extérieur aux masses attirantes ", ^
'^= /' /' /' ^^Jndbd., ^= C f f J4dadOdr,
.•>-îJ
—-7 = / / / [j. 5 rfa db de ;
d"o(i,enajoutant,etintroduisanllanofation(n"381)AF:=' — 5-f-' — ;+^.
^-^^^^^j^\daibdc=jy£u..sl.dadbdc.
On conclut de là que U satisfait à Véquation de Laplace AU = 0; car
sous le signe j f / , le facteur A- est identiquement nul.
Ou tire, en elle!, de r- ^ {.c — a)'- -h {tj — b)'^-]-{z — c)% en dilieren-
tiant par rappoit a r. I identité r - = x — a; d ou, pour — = n — ,
la formule
(1) On déinonlre que l'ialégiale (6) a encore un sens, si P est intérieur au
volume (V), quoique l'élément différentiel ^ dadbdc soit alors infini lorsque M vient
en P. Mais la règle de diffôrenliation est alors en défaut. On trouve que, dans ce cas, AV = — 47: a (x, y, z). C'est ce (ju'on appelle la formule de Poisson.
