MATH. GKNÉII.VI.ES. — II

242 INTEGRALES DÉFINIES FONCTIONS It'lN PARAMÈTRE

En dérivant à nouveau, on obtient

r-T-, = T — Six — a)— • —

et, en tenant compte de (8),

On trouverait de même

(10) ^; = -i3H-3(^^\ :4'=V3lilZ^;

et, en ajoutant membre à membre les identités (9) et (10), il vient enfin

^1 3 ,^(x — af -+- {y — bf -i- [z — cy 3

.^,j^ -/ -r-VV «^^ -T-V-.— W ^-^3' =0.

402. Cas des limites infinies. — Revenons au cas des intégrales simples

f{x,y)dx,

en supposant que les limites a et a' puissent être infinies; de sorte que le champ (C) sera illimité au moins dans un sens. Nous allons énoncer les résultats relatifs à

(11) f^^f{x,y)dx;

on aurait pour les autres cas, f , f , des énoncés analogues.

Nous dirons qu'une intégrale de la forme (11) est régulièrement converrjenle dans un intervalle {b, b'), s'il existe une fonction o{x), qui satisfasse aux conditions suivantes : 1° on aura

?(^)>l/"(^>î/)| pour /><y<i',

et cela pour toutes les valeurs de x suffisamment grandes, c'est-à-dire supérieures à un nombre c, qui pourra être aussi grand que l'on voudra, mais qui devra être le même pour toutes les valeurs de y consi-

dérées; 2" l'intégrale /. 9(a:)rfa^ sera convergente.

Avec ce mode de langage, on peut énoncer les extensions suivantes des propriétés du numéro 399; nous les admettons encore sans démonstration.

INTEGRALES DÉFINIKS FONCTIONS I) IN l'ARA.METnF. 243

I. L'iiiti}(jral(.' (Il) est foiicllon co)iliiiue de la varinhln ij dans tout intervalle {b, b') où elle est régulièrement convergente; cl on peut lui appliquer, relativement à Pinterralle {b, b'), la règle d'intégration sous

le signe j .

II. On peut, dans linlervalle {b^b'), appliquer à Vinlégrale (11) la

, si V intégrale j \ ' ^-^^

à laquelle elle conduit, est régulièrement convergente dans l'intervalle {b,b').

Il est sous-entendu que, pour renoncé I, nous supposons f{x,y) continue dans le champ (C), illimité vers la droite, détini par a^x, — 6 ^ y ^ 6' ; et que pour Fénoncé II, nous supposons la continuité de

' dans ce même champ.

Exemple. — Si nous faisons x = -j- oo dans la formule [1] de l'exemple 1 du numéro 100, nous obtenons l'i-quation

'+* dx

où h est supposé positif. En différenliaut n fuis, sous le signe / , dans le premier

membre, nous obtenons, à un facteur nutnériiiue prés, la fonction : — ,■ . ■ „ , . . qui

est positive, et au plus égale, pour x>c et /i > 0, à :?(x) = ^—5-— j. L'intégrale

^^^ , j étant convergente, on peut donc appliquer la régie de diiïérentiation

sous le signe / pour prendre la dérivée a>àme de l'intégrale [1]; et cela, pour toute

valeur positive de h.

On a ainsi, en prenant les dérivées n'''""»* des deux membres de [1],

(l)'M.2.3...nX (x^+V+'^l^~^^'4(i+0v(^ + "~O^ ' "'

d'où

jn i^'

dx T. 1.3.5 ...(2n—l)

On a, en particulier, pour /i= I,

r^ "" dx ^ 1.3.5 ... (2n — 1) 7t /^ ^j;î^l)n+i 2.4.6 ... 2n '2'

403. Aire de la courbs en cloohe. Intégrales de Fresnel. — Aire de la courbe en cloche. — Le procédé le plus simple p3ur calculer l'intégrale

(12) A>= f e-'^dx.

INTEGRALES DEFINIES FONCTIONS DIN l'ARAMETIlE

c'est-à-dire. (n° 350'"*), l'aire comprise entre l'axe de symétrie 0: de la courbe en cloche, l'une des moitiés de celle courbe, el son asymptote Oa-, consiste à éi;;aler deux expressions du volume de révolution

engendré par celle aire, quand on la fait tourner autour de Taxe de symétrie Oz de la courbe.

L'équation de la méridienne principale de la surface de révolution qui limite ce volume est z:=e~''\ L'équation de la surface est donc (n" 237) 3 = 6"^'+"''. Considérons le volume tronqué obtenu en coupant par cette surface le prisme droit qui a pour base le carré OACB de côté a. C'est (n° 372) Tintégrale double

(13) ■ S,=Jl^^^e-^-*>'d.dy,

qui peut s'écrire, d'après la remarque faite à la lin du numéro 399, sur les champs d'inlégralion rectangulaires,

,-•(1 ,Ml p,i na

Vj=: / dx I 6-""+"' dxdij = I dx / e-'\e-y'dy;

ou encore, en faisant sortir le facteur e^^'' du second signe / , puisqu'il ne dépend pas de y,

fa /la

e~^'dx / e-'J'dy.

Si nous posons, pour un moment,

'l{z)=z / e^'^'dx, on aura

d'où

INTKGRALKS DKFINIKS FONCTIONS I) IN l'AHAMKTHK

Ainsi on a simplemenl

Pour ohtenir Toxpression du volume illimité qu'il s'a^^it d'évaluer, il suftil lie faire cruilre a au delà de toute limite dans l'expression précédente. Le volume V, tend alors visiblement vers le quart du volume de révolution cherché. Comme •h{n) tend' alors vers l'intégrale (1!2) que nous cherchons, nous avons ainsi

(14) Vr= 'i limV, = .i.l.^

Pour ohtenir une seconde expression du même volume, nous considérons le volume du corps de révolution considéré qui se Irouve au

des'ius du plan MH\ du parallèle de rayon y^r. La méridienne principale étant z = e "'\ ce volume est, (n° 370) ' ,

\\=z- / y-dz, ou. en intégrant par parties.

On a ainsi

c'est-à-dire

Il ne reste plus, pour obtenir V, qu'à taire croître r indéfinimeni, • ar le plan du parallèle considéré tend alors vers le plan des xy. Nous avons ainsi

(16) V = limV, = z.

jl) Il est égal à l'intégrale curviligne - / y^d:, prise le long de l'arc NS; et on peut la calculer en prenant y comme variable i;idépendante : y varie alors de v = ;• à v = u.

246 INTÉGRALES DÉFINIES FONCTIONS d'UN PARAMÈTRE

En ('galant les valeurs (14) et (IG) de Y, on a enfin

/kI"- = 7:, d'où .»' = ^'^.

C'est la valeur de X que nous avions annoncée au numéro 350.

Remarque. — Pour rendre l'analyse piécédenle rigoureuse, il faut prouver que 4Vi et Vo tendent bien vers la niùme limite, dans les conditions indiquées. Nous

allons montrer pour cela que lim Vj = lim-^*-

Remarquons d'abord que la limite du volume Va, qui est représenté en SII.MN sur la seconde Hgure, ne sera jias changée si on ajoute à ce volume celui du (juart de cylindre de révolution dont les bases sont les quarts de cercles OUV, HAIN ; car le

volume de ce quart de ce cylindre est -.Tir-. OU =-7iir^e-^\ et tend par conséquent

vers zéro, pour r infini.

Les deux volumes variables à considérer sont ainsi les volumes Vj et V3 qu'on obtient en tronciuonl par la surface de révolution le prisme droit de base OACB, (!'* figure), et le quart de cylindre de base OUV, (2" figure).

Or, si on suppose a = :j, le premier solide est contenu à l'intérieur du second :

on a donc, dans ce cas, Vi < V3: d'où, pour a = c» , lim Vi .^ lim V3. Si au contraire on prend a=: r, c'est le second solide qui est contenu dans le premier; d'où Vj < Vi, et, à la limite, pour a =: 00, limV3^1imV,. La première inégalité, lim V^ ^ lim V3 indique que limVi n'est pas supérieure à limVs; la seconde montre que limY^ n'est pas supérieure à limVi. Il faut donc bien conclure à l'égalité des deux limites.

Intégrales de Fresnel. — De la valeur de Tinlégrale (12), on peut passer à celles des intégrales de Fresnel (n" 350) :

(17) ÎB r= / Qosx^dx, ^^^ i sinar-rfx.

Pour cela, nous commençons par faire, dans la formule que nous venons de démontrer,

le changement de variable z=/cx, où w est une constante positive arbitraire. Il vient

ou

— v/it

(19) r e^^^^'^'dx — ^-

La théorie des fonctions analytiques d'une variable complexe permet de montrer que cette formule, établie pour ir positif, subsiste pour les valeurs imaginaires wz=u-hiv pour lesquelles w est positif et au moins égal à | u | . On pourra donc y faire

/r^e •= cos-4-ism- = -.^(l -h i); 4 . .4 V2

INTEGRALES DEFINIES FONCTIONS D UN PARAMETRE 2*7

d'où

/r-=:e'-=:cos- H-isin =i, — = e * = cos" — isiD- = ^(l — i). 2 ^2 tr 4 4 v2

La formule (19) donne ainsi

r%--rfar = -^(l — i),

c'esl-à-dire *

Jf** /

(cosa-- — isinx-)(/x= -^(l — i), û 2 v2

ou, en égalant les parties réelles et les parties imaginaires, (20) £ cos.r-r/.r = -, y J, jf smx-d.i= ^y '^'

Ce sont les valeurs cherchées pour iB et (5.

403''^ Étude directe des intégrales de Fresnel.

On peut étudier les intégrales de Fresnel plus complètement, et sans faire appel à la tliéoric dos fonctions de variables complexes. Nous allons démontrer, à cet elTet, pour v :>. 0, la formule

Le symbole imai^inaire i figure dans celte équation; mais il ne sert qu'à condenser, sous forme abrégée, les deux formules que Ton obtient en égalant, dans cette é(iuation [I], les parties réelles et les parties imaginaires. On a, pour cela,

de sorte que la formule [1] équivaut au système des deux suivantes :

,-ip t- cos»- — sinu-

■dt.

Ces formules permettraient d'étudier les fonctions qui figurent dans les premiers membres (comparez n" 350'"% 111), en particulier de les développer en séries suivant les puissances de -. Nous avons dit que ces fonctions se présentaient dans la tbéorie de la diffraction, d'oii l'utilité dune telle étude. Nous nous bornerons ici à établir ces formules, et à en tirer la convergence et la valeur des premiers membres, pour u = oc .

Calcul préliminaire. — Nous aurons, incidemment, besoin de la valeur des intégrales

j. '^ + > ^ jn '* + 1

On pourrait, pour les calculer, intégrer les fractions rationnelles placées sous le signe / . Le calcul a été fait, pour la seconde, au numéro 308 (exemple 2). Mais on arrive au résultat plus simplement comme il suit.

248 INTEGRALES DKFINIES FONCTIONS I) IN l'ARAMKTRE

Si l'on poïsp l = - dans P, on obtient

ce i|ui prouve que P := Q/ Il sulllra dom- df calculer

P + Q = 2P = 2Q=^^^ J^^dt. Or, si on introduit la variable nouvelle « = < — , ii varie de — ce à + >: , i|uand t

varie de 0 à + t» . s' "J" * ''" = ( * + p)'"' ""^='" + 72 — ^' '^'""

du /2 + 1

u^ + 2 ~ <* + 1 On a donc simplement

dt.

c'esL-à-dirc

2P = 2Q= I = — / 1 = -- Arctp -

j-x ui + 2 ^2 / (^) +1 N-L N-' =^

ou enfin

Dcmonslration de. la formule [1]. — Les intégrales

qui figurent dans les seconds membres de [2] et ['i] sont ré<julicieinenl convcrgenUs

(n" 402). car les fonctions sous le signe / sont inférieures en module à ,^ ' . , et l'intégrale / ,^ ; ,dl est convergente, la fonction sous le signe / étant ici éiiui-

valente k , pour l = x (n" 350, page 132). Ces intégrales [G] sont donc des fonctions

cantinues de c, dans tout intervalle (n" 4:i2, 1). Pour u = 0, elles se réduisent, respectivement, aux intégrales Q et P; et prennent, par conséijuent, la valeur commune — ^-

On peut, de plus, pour u > 0. leur appliquer la règle de dilTérentialion sous le

signe / . Pour le montrer, nous allons vérifier que les intégrales auxquelles celte

règle conduit sont régulièrement convergentes fn° 403, II).

Le c.iliul de difTéreiitialion se fait le plus simplement ;-ur la formule [Ij.et donne immédiatement

I — 21)6-»^' ''-''df = — 2 / ' i'e-''*'*(cosu2 + i sini'^)d<. On obtiendrait donc, par le même ca'cul, d.nns [2] ( t '3] respectivement, ■7; ~"2 / ve"^ ' coav-.di, —2 / rt'-'*'' sim.-.di.

trc vers

KQUATIONS Al\ Dl'.ll I VKKS PAKTIKI.LKS 249

Ces iiilcprnles [7J sont bien rt'^ulièrcineiit converj;-eiites dans loul intervalle b<^v<Zb', h (Hanl suppose [xisilif; car, dans cet ititcrvalle, les ronclions sous le

si^ne / smil inferieurt^s en modules à b'e i'''\ et l'inlégrale / b'c (-'''dt est

convergentri.

i>a vérillcalion annoncée elaut faite, nous concluons donc (|ue, pour u > 0, les iiilégraios [0] ont pour dérivées les expressions (7), c'est-à-dire

— 2cosy2 / c'" V(i'<), — 2sinu- / e" "^^d(vl).

Mais, i' étant positif, r/ varie de 0 à -|- <^ . ^" même temps que t, et ces dérivées se réduisent, par suite, / c "'rf» étant é^al à \J^, à

— \Ticosu-, — \7isini'-.

Si donc on i)rend les dérivé(!s des deux iiiemhres de [2], on trouve de part et d'autre le même résultat cosd'-. Ces deux membres ne peuvent donc didérer (pour I' > 0) que par une conslanle additive; et il reste seulement à prouver que cette constante est nulle, lin elTet, lors(|ue v tend vers zéro, le second membre tend vers

-4/ .^ • — r = 0, de sorte que les deux membres tendent l'un et l'au

zéro. Leur dillérencc, i|ui est constante d'après ce qui précède, pour v .;- 0, est donc

nulle: puis(|u'elle doit tendre vers zéro lorsque u tend vers zéro. La formule [2]

est donc démontrée, pour v > 0. lille est, du reste, vraie encore pour i' = 0, les deux

memlxes étant alors nuls.

La formule [3] se démontre de même; et, comme on l'a vu, la formule [I] résulte

de [2] et [3].

Intégrales de Frcsiicl. — Faisons maintenant croître v indéllniment, par valeurs positives, dans les formules [2] et [3]. Les intégrales du second membre tendent

vers zéro; car si on y pose u= -, et si on donne, par déOnition, la valeur zéro aux

fonctions sous le signe / , pour h^û, le raisonnement fait plus haut montre

•lu'elles sont régulièrement convergentes dans tout intervalle de valeurs de u : ce sont donc des fonctions continues de u, et elles tendent vers zéro, lorsque u tend vers zéro, comme nous l'avions annoncé.

Donc, pour y ^ -j- ^' '^^ seconds membres des formules [2] et [3] tendent vers la

valeur commune r,\/r,- H en est donc de môme pour les premiers membres, ce qui prouve que les intégrales / cosv-dv et / smv'dv sont convergentes, et ont pour valeur commune ^^ v^- C'est ce qu'il fallait démontrer.