Applications. — 1. Les erreurs et la courbe en cloche
Supposons que Ion ait fait un grand nombre d'expériences pour avoir la mesure d'une grandeur G. Soient a,, o^, ..., a» les valeurs successivement obtenues. Si on connaissait la mesure exacte : de G, on pourrait classer les valeurs obtenues d'après leur degré d'exactitude, en comptant combien il y en a dans chacun des intervalles de la progression arithmétique
dont la raison h sera prise aussi petite que l'on voudra, et ijue l'on prolongera, des deux cotés, aussi loin qu'il faudra. Soit, en désignant par le un entier positif, N/^ le nombre de celles des valeurs obtenues qui sont dans l'intervalle [z-{-(k — l)/i, :-\-kh], N-A le nombre de celles qui appartiennent à l'intervalle [r — kh, z — (k — 1)/»].
Nous allons imaginer que ces résultats soient représentés par un graphique, formé, comme l'indique la figure, de rectangles ayant pour mesures de leurs hauteurs les nombres N\ et N^ : le rectangle de hauteur N/, sera limité par les ordonnées x-=(k — i)/i, x = kh; le rectangle de hauteur N-a sera limite par les ordonnées x ^ — (k — l)/i, x^ — kh.
Si la répartition des erreurs satisfait à la loi de fréquence définie par la fonction ç(u), on aura, pour N^, en considérant h comme infiniment petit, (voir n°4l2), la valeur approximative
l'HOKAHILlTK DES KUUEL'IIS 277
puisqu'il y a n expi'rieiiees faites, et que ç((fc — l)/i)./i est la prot>abiiiti> (élémentaire) pour les erreurs comprises entre [; + (/c— l)/i] et [: + (/c— l)/i-|-/i;.
Oh 2h 5h 4h
Donc les sommets de gauche des rectangles (bases supérieures), qui ont des coordonnées de la forme x^ A/i, y = N^+i, seront sur la courbe y = n/i.ç(a-) : elle se déduit de la courbe Y = 3(x), par la transformation j = n/i.Y, qui correspond seulement à un changement d'unité pour les ordonnées. On peut donc dire que la courbe obtenue serait, si la loi de fréquence des erreurs est la loi de Gauss, la courbe
en cloclie qui représente la fonction y = -^.e-'-'-'', ou même simplement la fonc-
Nlion y = e-J'-, quand on prend des unités graphiques convenables pour les abscisses et les ordonnées.
Remarquons encore que, si on fait un changement d'origine tel que UjU = c, l'abscisse nouvelle du point x = A/i. deviendra Xi=:-{-kh; et les aires des rectangles seront proportionnelles aux nombres de celles des valeurs mesurées qui tombent dans les intervalles qui servent, respectivement, de bases à ces rectangles.
On pourra, par suite, sans connaître la mesure ;, construire, en partant uniquement des résultats des expériences, une figure qui devra reproduire l'aspect de la courbe en cloche, si les erreurs obéissent à la loi de Gauss.
\ cet elTel, on choisira arbitrairement un nombre x^. qu'il sera commode de prendre au plus égal aux mesures Uy, a^, ... Un données par les expériences. Et on placera.
a:, Jr„-^A J:^*2h x^-^sh
sur un axe x'x, le point d'abscisse a„, ainsi que ceux ([ui ont pour abscisses les termes de la progression arithmétique de raison h,
XQ,XQ-\-h, Xo+2/i, x„ + 3/1
Il sera inutile de figurer l'origine des abscisses; on placera arbitrairement le point x = Xo, et les autres points, x = x„ + li, a: = Xo + 2/i, x = j-o + 3/>, ... s'en dédui-
