Loi de Gauss

Nous allons voir que cette condition suffit à définir la fonction ?(u). Elle contient, en effet, d'abord la suivante : ki dérivée du produit (0) s'annule pour la valeur (7> de r, quels que soient a^, a^. . . ., a~,. 11 en sera de même de sa dérivée logarithmique, qui est la somme des dérivées logarithmiques des facteurs. Si donc nous posons

l'équation

doit admettre la racine (7). Si on réintroduit les quantités (5), l'équation (7) se réduit à

(10) Ui-f uj-f ... -\-u„. =0,

et on voit que l'équation

doit être une conséquence de cette équation (10), quels que soient «,, Uj u,„. ■

Pour m = 2, l'équation ( 10) est Ui + u^ — 0, et on doit avoir l'identité 'l> («,) + -l (u^) = 0 . pour U:, = — u,. Donc on a, quel que soit u,. •!/(",) = — H— "0 ; c'est-à-dire que la fonction -l doit être impaire. Mais cela résultait déjà, d'après la formule de définition i8), de la parité de p(u) ■'.

Faisons alors m = 3; léquation (10) étant a, + Uj-fu3 = 0, on devra avoir l'identité en Ui et u^

■l{u{)-ir'l(u.) + -l{—ui — u.) = 0,

ou, u cause de l'imparité de •!/,

i(ui + u,) = -i:ui) + 'i>(Ui).

(1) De '!'(— U) = "Ku), on déduit 'l>' (— u) = — <^' (u) ; d'où i '!''(— u) , = | <ï>'(u)j, ou o(—u) = f (u). De là ensuite ?' (— u) = — ?' (u) ; d'où •!/ (— u) = — '\> (u).

l'HOBABILITK DKS ERIIELRS 075

Admettons que lu) ait une dérivée, et prenons les dérivées des deux membres de ci'tt^ idt>ntité. par rapport à Uy. Cela donne

et, comme u^ et u, -|- Uj sont deux valeurs de u arbitraires, cette identité signifle tjue Viu) est une constante. On a donc, successivement. A- et k étant deux constantes.

•V(ui = 2fc. •l(u) = '2ku-{-k'.

.Mais -llu) étant une fonction impaire, k' doit être nul, d'où

•l{u) = -Iku.

Cette forme de la fonction -l'ui est la seule qui puisse satisfaire à la condition que (11) soit une conséquence de (10). Et on vérifie immédiatement qu'elle y satisfait; puisque, pour ■lie) = 2A-u. l'équation (11) se réduit à

2k[Ui + u.+ ...+u„.) = 0.

11 reste à remonter de l'expression de -lia) à celle de 3(u). L'équation (8) donne, à cet eiïet.

^^ = 2ku, d'où |og^^ = A-u-\ et :(u) = Ce*"".

La fonction 5(u) est positive: et elle est décroissante pour u > 0, car la probabilité pour une erreur égale à u doit décroître quand u augmente. Donc la constante C doit être positive, et la constante k doit être négative. .Vous poserons A- = — À-; et nous aurons ainsi, > étant une constante positive,

(12) ziu) = Ce-'-'"'.

On détermine enfin la constante G en remarquant que la probabilité pour qu'une erreur soit comprise entre — » et + » est en réalité une certitude. La certitude consiste, en ce que, dans n essais, l'événement attendu se produira n fois : le rapport

dont il faut chercher la limite pour avoir la probabilité correspondante est donc - = 1.

La certitude correspond donc à une probabilité égale à 1.

Or la probabilité pour une erreur comprise entre — h et + " est 2o(u), (n° 411, 6"^. On doit donc avoir 2;;(— 3c) = I, c'est-à-dire, d'après la formule (11. et en tenant compte de 1 12),

(13) 2 / ;(u>du = l, ou 2C / e-"'^'"'du= I.

Pour calculer cette dernière intégrale, nous posons ',u^v: elle devient (n^ 402)

La condition (13) est donc

2C. 1-^ = 1. ou C = 4:- ■/ 2 \-

Portons cette valeur de C dans la formule ( 12i. et nous aurons la loi cherchée pour la probabilité des erreurs :

(li: =(o) = -4e- "''«'. *(-j) = — i: / e-''"'du.

C'est ce qu'on «opelle la loi de ^"'«s.

276 PROBABILITb: DES EnRFARS

Coefficient dr précision. — Il reste à inlerproler le coefllcient ) . Il sufllt pour cela d'écrire, eu posant > u = v dans riiitt'pralc,

(15) «!>(«) = -'- r e-^'dv,

\7Tc'o

ce qui nioulrc (juc la probabilité 2>lMr) pour que l'erreur soit inférieure à . , en

valeur absolue, est la même pour toutes les méthodes (auxiiuelles peut s'app.liquer la théorie précédente); car on a

(IG) 2<I)(-W4 f e-"dv.

Or pour / = 2, le second membre est égal à 1, à r^lO"* près. Donc il y a quasi-certitude que, dans l'application de la inélhode à laquelle correspond le facteur ). qu'on aura

adopté, il ne se produira pas d'erreur supérieure à .-•

Ou doit considérer une méthode conimo d'autant plus précise que les erreurs dont elle exclut la possibilité sont plus faibles. De là le nom de coefficient de précision donné à >.

Pratiquement, si on sait que la méthode ne doit pas, quand elle est bien

appliquée, donner d'erreur supérieure à s, mais quelle en peut donner qui

approcheraient de cette valeur, on pourra, d'après la délinition précédente, prendre

À ^" comme coeffiicenl de précision de la méthode.

Remarque. — Le second membre de la forniuli' (16) est égal à - environ, pour

1=7,- On a alors ~ = — - = r.r, ce qui est le quart de Terreur maxima, d'après ce

qui précède. Donc la probabilité est ,y, ou, comme l'on dit, il y a une chance sur deux, pour que l'erreur ne dépasse pas le quart de sa limite maxima.