II. La méthode des moindres carrés

Soit X|, X.,, ..., .T^ un certain nombre d'inconnues; on suppose que. pour les déterminer, on ait mesuré certaines grandeurs G,, Go, ..., G», fonctions de ces inconnues. Les mesures exactes r,, z^, ... zn de ces grandeurs seraient données par des équations, de forme connue,

(•8) :i=fi{xi.x., x,,\, ..., zn=f,>{xi,x.. ...,x,>),

en nombre n supérieur à p. On a trouvé, par l'expérience, des valeurs approchées a,, ...,«„ des grandeurs Gp ... Gh. Les erreurs ainsi commises sont

"i = -1 — Cl =./'i(-ri. x^, .. ., Xp) — a^, . .., Un = z„ — a» =/,, (x,, Xj. . . ., x,,) — a„.

En raisonnant comme nous l'avons fait au numéro 413, on verra que la probabilité (composée! pour que ces erreurs se produisent simultanément est proportionnelle au produit P = 5(Uj)q)(Uj) ... z>{ui,}. On trouvera donc les valeurs les plus probables des inconnues x,, x^, ..., Xp, en écrivant que ce produit est maximum.

Mais si on adopte la loi de Gauss, ç(u) est proportionnel à e— ""'; et on pourra remplacer P par

On voit alors que pour rendre maxima cette exponentielle, dont l'exposant est négatif, il faudra rendre cet exposant minimum.

On obtiendra donc les valeurs les plus probables des inconnues en cherchanl celles qui rendent minitna la somme u^ + "2 + • ■ • ~f~ "n? c'est-à-dire la somme des carrés des erreurs.

On est ainsi conduit au principe de la méthode des moindres carrés, énoncé au lïuméro 4i0.

Remarque. — Nous avons supposé que les mesures de G,, . . . , G71 étaient susceptibles du même degré de précision. S'il n'en était pas ainsi, et si les constantes de précision étaient respectivement, dans les mesures de ces diverses grandeurs, /,, À^, ..., ).n, c'est la somme '/'ju'j -\- 't'iu'i -{- ... +'■«"« 1^ '' faudrait rendre minima.