V,XV2 = -(V,XV

286 VECTKl lîS ET SYSTÈMES DE VECTElItS

La grandeur V du produit est égale à V,V^,sinO, 0 désignant l'angle

de V, et de V, inférieur à 180°. Pour que le produit soit nul, il faut et il suffit que l'un des vecteurs soit nul ou que leur angle soit égal à 0 ou à ISO". Ainsi : le produit vectoriel de deux vecteurs parallèles est nul. Remarquons d'ailleurs que la direction du vecteur produit n'est déterminée que si les vecteurs ne sont pas parallèles.

/iemarque I. — On ne change pas le produit vectoriel de deu.x. vecteurs en remplaçant l'un deux par sa composante perpendiculaire à l'autre.

En effet, le vecteur O'A, est la somme géométrique du vecteur O'C,

dirigé suivant O'A^ et du vecteur O'B, perpendiculaire à V^. Je dis que

\xvt=(yB,x\\.

La grandeur du vecteur produit est la même dans les deux cas. puisque la surface du parallélogramme construit sur \\ et V., est équi-

valenle à celle du rectangle construit sur O'B, et V^. La direction et le sens du vecteur produit sont aussi les mêmes. Donc le produit est le même.

Remarque II. — Soit un vecteur X porté par O.r et mesuré par X, un

vecteur Y' porté par Oy et mesuré par Y' : le produit X' x Y' qui est porté par 0: est mesuré sur cet axe par le nombre XY'. En effet, la grandeur du produit est bien égale à la valeur absolue de XY'. Si ces nombres sont de même signe, le vecteur produit a le sens 0-, sa mesure est positive, donc égale àXY'; si ces nombres sont de signes contraires, le vecteur produit a le sens :0, sa mesure est négative, donc égalé à XY'.

On a, de même. Z et Z' désignant les mesures, sur 0:, de vecteurs ->— V Z, Z', portés par cet axe,

Y X X' ^ — X' X Y mesuré sur 0: par — YX' — > — ^ Y'XZ' — 0i:par-t-YZ'

~ZxY' — — T><Z — Oxpar— ZY'

ZxX' — Oy par + ZX'

jtx?— — Z^X? — Oî/par— XY'.

Théorème. — Pour rnulfiplier une somme de vecteurs par un vecteur^

VECTKUns KT SYSTEMES DE VECTEURS

il suffît de multiplier par ce. vecteur r/ia(jiie tenue de la Sinnme et de faire la somme des résultats.

Dans cet énoncé, le mot somme a le sens de somme géométrique et le mot multiplier signilie : faire le produit vectoriel.

il faut établir que :

[a -{- b -\- c) X m = a X m -^ h X m -\- c X VI . Démontrons-le d'abord pour une somme de deux vecteurs :

{a-{- b)xm^=aXf'i ~h bxm.

Donnons aux trois vecteurs la même origine 0 et soit (P) le plan perpendiculaire en 0 au vecteur m. Les vecteurs a et b se projettent

orthogonalement sur (P) suivant les vecteurs a et p. Le parallélogramme

construit sur a et 6 se projette suivant le parallélogramme construit

sur a et ^, et la diagonale du premier, c'est-à-dire a-hb a. pour projec-

tion la diagonale a-hp du second. Dans chaque produit, nous pouvons

remplacer le vecteur multiplicande par sa projection sur (P).

Il suffit donc de démontrer l'égalité

(a + fi) X m = z X m + p X m.

Plaçons le plan (P) dans le plan de la figure et supposons le vecteur

m dirigé au-dessus de la feuille. Co vecteur sera représenté sur le dessin par le point 0.

Pour faire le produit axwi, il suffit de faire tourner le vecteur a d'un angle droit dans le sens de Ox vers 0: par rapport à Oy et de multiplier par m sa grandeur a; l'opération est la même pour les vecteurs |i, et 3L-r-^. Or, on peut faire tourner d'un angle droit le premier parallélogramme tout entier et, après la rotation, multiplier ses dimensions par

288 VECTEURS ET SYSTÈMES DE VECTEIHS

711 en gardant le sommet 0. La nouvelle figure est aussi formée par un parallélogramme et sa diagonale.

Donc, le vecteur [x-h p)Xm étant la diagonale du parallélogramme

construit sur les vecteurs xXm et [IX»», on a bien l'égalité géométrique

(a H- fJ) X »H = a X m -h fi X "'.

et la proposition est établie.

Pour passer au cas dune somme do trois termes, nous écrirons :

a-{-b-hc^a-\-b-hc = a-\-a'

en désignant par a' le vecteur b -h c=z /j -hc. On a alors, daprès ce qui précède,

{a^b-+- c)X7n = {a ~ a') X wi = a X nt -4- a' X m. De même,

a' X m = (b -+- c) Xm := bx m -i- c X >n ;

— > —>■donc, en remplaçant a' xm par sa valeur,

On démontrerait la même propriété pour quatre ternies, puis cinq, etc.

Conséquence. — Pour multiplier une somme par une somme, il suffit de multiplier chaque terme de L'une par chaque terme de l'autre et d'ajouter les résultats.

Cette conséquence se démontre comme en arithmétique.

En résumé, le produit vectoriel possède la propriété dislribulive des produits algébri(jues, mais ne possède pas la propriété commutative, celle qui est relative à l'interversion de l'ordre des facteurs.

Application. — Connaissant les composantes X, Y, Z du vecteur V, et les composantes X', Y', Z'»du vecteur V, trouver les composantes du vecteur V x V.

On a : "v ^Îh-Y+T

V'^Vh-Y' + Z' d'où

"v xv = (X -+-"y -h'z) X (X' 4- V + ?),

VECTEURS ET SYSTEMES DE VECTEURS

et, en effectuant,

-+-YxZ'-f-ZxY'

+"xxr+Txr.

Les produits de la première ligne X x X', Y x Y', Z X Z' sont nuls. Les deux vecteurs de la seconde ligne sont portés par Ox et mesurés sur cet axe par YZ' et — ZY'; leur somme est un vecteur mesuré sur Ox par YZ' — ZY'; de même, la somme de la troisième ligne est un vecteur porté par Oj/ et mesuré par ZX' — XZ'; la somme de la dernière ligne est un vecteur porté par 0: et mesuré par XY' — YX'.

Le produit V x V est la somme de trois vecteurs portés par Ox, Oj/, 0: : ces vecteurs définissent ses composantes; ils ont pour mesures

YZ— ZY', ZX — XZ', XY— YX'.

5. Produit scalaire. — On associe à deux vecteurs V et V un nombre que l'on appelle leur produil scalaire et qui est égal à VV'cosO,

0 désignant l'angle de ces vecteurs. On se sert pour représenter ce produit de la notation V.V ou simplement V V. On a donc

^7^=^ V = VV'cos6.

Ce produit est nul quand l'un des vecteurs est nul ou quand ils sont perpendiculaires. Il est positif ou négatif suivant que l'angle des vecteurs est aigu ou obtus.

Projetons orthogonalement V sur V : la projection est le vecteur OH mesuré par V'cosO, et

V V' = V.âH = YProj.r;

donc le produit scalaire est égal au produit de la grandeur de lun des vecteurs par le nombre qui mesure la projection de Taulre sur l'axe qui a la direction et le sens du premier.

MATH. GBNÉRALES. — II.

290 VECTEIRS ET SYSTEMES DE VEI:TELRS

Dans le produit scalaire, on peut inlerverlir l'ordre des deux facteurs :

Théorème. — Le produit scalaire d'une somme géométrique par un vecteur est la somme algébrique des produits, par ce verteur. de chacune des parties de la somme.

On a. en effet, en projetant orthogonalement les vecteurs o, b, c,

sur le vecteur m.

a .nf=z m . Proj.a,

b .tu = m . Proj. b,

c .m=z m . Proj . c ; et, en ajoutant,

a m ~ b m-h c m = m { Proj . a -f- Proj . b -h Proj . c) ;

or. d'après le théorème des projections,

Proj . a -^ Proj . b -+- Proj . c = Proj .a -]- b -h c, donc

a m-\- b m-t-c m = m . Proj . a H- 6 -^ c = (a -h 6 -f- c) m.

Le produit scalaire a les mêmes propriétés que le produit de deux nombres en arithmétique, mais sa définition ne s'applique qu'à deux facteurs.

Remarque. — Le produit scalaire de deux vecteurs portés par Ox et mesurés sur cet axe par X et X' est égal à XX'.

En effet, si X et X sont de même signe, le produit scalaire est positif puisque 0 est nul; il est égal à XX'. Si X et X' sont de signes contraires, le produit est négatif puisque O^t:; il est encore égal à XX' qui est ici négatif.

Le produit scalaire de deux vecteurs portés par des axes rectangulaires différents, Ox et Oy par exemple, est égal à zéro.

Application. — Calculer le produit scalaire des vecteurs V et V, de composantes X, Y, Z et X', Y', Z'.

On a :

v" v = (X -hT-t- zt (? + r + ?) = \ ? -f- y" r -f- z r,

VECTKL'RS ET SYSTKMKS DK VKCTKUUS 291

car les autres termes du développement sont nuls comme produits scalaires de vecteurs orthogonaux. Comme XX'=:XX', etc., il vient

V^V^=XX -hYY '^ ZZ .

On dc(Iiiil (le là «jUR la condition d'ortliogonalité d(; deux vecteurs

est

XX'4- YY'-hZZ' = ().

6. Moment d'un vecteur par rapport à un point. — La notion de

moment, très importante en Mécaniiiue, se rattache à celle de produit

vectoriel.

—y Soit un vecteur AB et un point 0 :

le moiiD'iit du vecteur AB par rapport au point 0 est un vecteur OG, d'origine O, dont la grandeur est mesurée par le même nombre que le produit de la grandeur AB du vecteur par la distance OH du point 0 à ce vecteur. La direction ^

de OG est perpendiculaire au plan O.VB et le sens tel que, si OC est

un vecteur, égal à AB, le trièdre OHCG ait la même orienlation que le Irièdre de coordonnées.

Le produit AB X OH représente la surface du parallélogramme OABC construit sur OA et AB; on voit donc que le moment n'est autre que le

produit 0.\X AB auquel on a donné l'origine 0.

Un moment est un produit vectoriel dont on a fixé l'origine .

Le moment demeure le même quand le vecteur AB se déplace sur la droite qui le porte. En effet, les quatre éléments, origine, grandeur, direction et sens de ce moment demeurent invariables. Nous désignerons le moment de V par la notation .11>' V.

Pour que le moment soit nul, il faut et il suffit que le produit ABxOH soit égal à zéro, c'est-à-dire que AB ou OH soit nul. Ainsi, le moment d'un vecteur par rapport à un point 0 est nul quand le vecteur est nul ou quand le point 0 est situé sur la droite qui porte le vecteur et dans ces de.ux cas seulement.

Vecteurs de même origine. — Théorème. — Soient PA, PB, PC, des vecteurs de même origine P. Construisons au point P la somme géométrique PR de ces vecteurs. Nous allons établir le théorème suivant :

VECTEURS ET SYSTÈMES DE VECTEURS

Le moment, par rapport à un point 0, de la somme géométrique V\{

des vecteui's PA, PB, PC est la somme géométrique des moments de ces vecteurs par rapport à ce point 0.

Appelons. fl, 6, c les vecteurs PA, PB, PC, cl m, le vecteur OP,

on a

Or,

PR = (a H- * H- c),

.lb'PR = mX(a + 6-hc).

ou

Ah' PR = .11' PA -+- Al' PB -h M' PC.

Composantes du mo7nent. — Soit un vecteur V, d'origine A [x, y, z) e. de composantes X, Y, Z. Désignons par L, M, N les composantes du

moment OG de V par rapport à l'origine 0 des coordonnées. Ce sont

les composantes du produit OA X V de deux vecteurs dont les composantes sont X, y, z et X, Y, Z; donc

L = yZ—zY, ^\ = z\ — xZ, 'S = xY — yX. Remai^que. — Les six nombres X, Y, Z, L, M, N s'appellent les €oordo7mées du vecteur V. Elles demeurent les mêmes quand le vecteur V se déplace sur la droite qui le porte. Puisque V et OG sont orthogonaux, on a : LX-i-MY-4-NZ=0,

comme on le vérifie aussitôt par le calcul.

Réciproquement, si on se donne six nombres satisfaisant à celte relation et tels que les trois premiers X, Y, Z ne soient pas nuls tous les trois, ils définissent un vecteur dont l'origine est indéterminée sur la droite qui le porte.

En efîet, supposons que L, M, N ne soient pas tous nuls et menons le

vecteur OG qui a pour composantes