ÉLÉMENTS DE MÉCANIQUE
INTRODUCTlOxN
VECTEURS ET SYSTÈMES DE VECTEURS
1. Vecteurs. Vecteurs égaux; opposés: directement opposés. — Oq appelle ceiteur W) un serment de droite, limilé par les points A et B. sur lequel on a choisi un sens de parcours qui va du point A.
appelé oriijme, au point B. appelé ,---"' ^
extrémité.
Un vecteur est caractérisé par quatre éléments : 1" son origine A; 2° sa direction, qui est celle de la droite qui le porte; 3° son sens, qui est celui d'un mobile allant, sur la droite, de A en B; 4° sa grandeur^ qui est la distance AB.
Nous désignerons un vecteur par la notation V ou AB. La grandeur
sera souvent représentée par V ou par AB. La notation ^V où A- est un nombre positif ou négatif, désignera un vecteur de même direction
— > que le vecteur V et de grandeur /«• V. Si /.• est positif, le sens sera
celui de V et la grandeur égale à kW. Si k est négatif, le sens sera opposé à celui de V et la grandeur égale à — /.V. Par exemple, le vecteur symétrijue de AB par rapport au point .\ sera désigné par — V. Deux vecteurs sont dits égaux ou équipollents quand ils ne diffèrent que par leurs origines : on peut passer de l'un à l'autre par une
translation.
— >- —y Deux vecteurs. V et V sont dits opposés quand ils ne ditlèrent que
VECTEURS ET SYSTEMES DE VECTEimS
par l'origine et le sens. Dans ce cas \" est égal à — V et V est égal
Vecteurs égaux.
Vecteurs opposés.
Vecteurs directement opposés.
Deux. vecteurs sont dits directement o/)/Jo*é* lorsqu'ils sont opposés et portés par la même droite.
2. Représentation analytique d'un vecteur. — Composantes. — Soient Oxyz trois axes de coordonnées. Appelons X, Y, Z, les nombres qui
mesurent sur Or, Oy, 0- les projections
du vecteur V. La projection sur Ox, par exemple, sera faite parallèlement au plan yOz. Ces nombres sont les mêmes
pour tous les vecteurs égaux h V.
Menons par l'origine 0 un vecteur OM
égal à V. Construisons le parallélépipède dont les arêtes sont parallèles
aux axes et dont OM est une diagonale. On a :
ÔP = X, OQ = Y, m = Z.
Les nombres X, Y, Z sont les coordonnées du point M. Si, comme il sera toujours supposé dans la suite, sauf indication contraire, les axes sont rectangulaires, le parallélépipède est un parallélépipède droit à base rectangle et
ÛM- = \' = \' -+- Y2 -h Z-.
Le vecteur .\B est entièrement déterminé quand on connaît son origine A et ses projections ou composantes X, Y, Z. Le point A peut
VECTIU'HS ET SYSTKMKS DF. VECTEURS
t'ire d(!'l('rmiiié par ses coordcmnées x, //, : cl le vecteur AB est alors déleriniué par les six noinijres :
3. Somme géométrique. — Différence. — Soient plusieurs vecteurs ^p ^V ^3» ^\' P^"* "" point quelconque 0 de l'espace, menons le vecteur UA, égal à V,, puis le vecteur ^^^, égal à \,. le vecteur .AjAj
égal à Vj, le vecteur AjA^ égal
à \^. Le vecteur OA, est appelé la soDime géométrique des vecteurs V„ Vj, Vj, V^. 11 en est de
même de tout vecteur V égal à
-'■>- OA^. On écrit :
Si l'on fait la mêiue construction en un autre point 0', on obtiendra —V — >
un vecteur \" égal à V, car la seconde figure se déduit de la première par la translation 00'.
Désignons par X, Y, Z les composantes de V. par X,, Yj, Z,. celles de V,, etc.; en projetant sur les axes le contour O.XiA^AjA. et le côté de fermeture OA^, on aura :
z = z, + z, + Z3 -h z, = s Zi.
Le sens attribué au symbole SX, est expliqué par l'égalité correspondante.
Théorème I. — La somme gêomélrique ne change pas quand on intervertit l'ordre des vecteurs.
En efïet, cela revient à intervertir Tordre des termes dans les sommes qui donnent X, Y, Z. Ces sommes ne changeant pas de
valeur, V demeure le même.
Théorème H. — La somme géométrique ne change pas quand on remplace plusieurs vecteurs par leur somme géométrique.
En ertet, remplacer, par exemple, les vecteurs Y^ et V. par leur somme géométrique dont les composantes sont (X^H-XJ, (Y, -i-Y,),
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(Z., -f-Z.), revient à remplacer, dans les sommes qui donnent \, Y, Z, deux termes par leur somme etFectuée. Les sommes ne changeant pas
de valeur, V demeure le même.
En résumé, les sommes géométriques possèdent les mêmes propriétés que les sommes arithmétiques ou algébriques.
Remarque I. — En se reportant à la figure du paragraphe 2. on voit que la somme géométrique des vecteurs OP, OQ, OH est la diagonale ÔM du parallélépipède. On peut donc écrire :
c7m = ÔP -+- ÔQ -f- 0 R ou encore :
Réciproquement, étant donné un vecteur OM, la construction du parallélépipède permet de le décomposer en une somme de trois vecteurs dirigés suivant trois directions données Ox, 0»/, 0:.
Remarque II. — Le vecteur OB étant la somme géométrique de OA
et de AB, on voit que les coordonnées B de l'extrémité du vecteur AB
sont :
Étant donnés deux vecteurs V, et V.,, on appelle différence de ces
vecteurs, le vecteur V qui, ajouté an second, donne une somme géométrique égale au premier. On doit avoir :
et on écrit :
La figure montre que ce vecteur s'obtient en prenant comme extré-
— > mité, celle du premier vecteur V,, et
comme origine, l'extrémité du second
— > vecteur V^.
Soit un vecteur d'origine A(vC, j/, z)
et d'extrémité B(j?', rj\ z'). Le vecteur
AB est la diiïérence des vecteurs OB
et OA. O étant l'origine des coordonnées; donc ses composantes sont :
VKC.ÏKURS r.T SYSTEMES DE VECTEIRS
4. Produit vectoriel. — Soienl deux vecteurs V, et V^: le ])rodiiii
vi'cto)-irl lie \\ )iar \ , est un vecteur V dclirii comme il suit. Menons
par un point (luclconque 0' le vecteur O'A, égal à V, et le vecteur O'A^
égal à V... La grandeur du produit OA est mesurée par le même nombre que Taire du parallélogramme construit sur les côtés O'A, et O'A.^; la direction de ce vecteur est perpendiculaire au plan A,0'A^; son sens
est tel que la rotation qui amène O'A, sur O'A.^, en balayant le parallélogramme, se fait par rapport à un ol)servaleur dont la tête est en \ et dont les [)iods sont en 0', dans le même sens que la rotation diin angle inférieur à 180" qui amène Ox sur Oy pour le même observateur placé sur' Oa^, les pieds en 0 et la tête en 2.
Nous appellerons ce sens de rotation, le sens de rotation du Irièdre. Ce sens demeure le même pour l'observateur si on remplace, dans sa définition, x par y. y par z, z par x ou bien x par z, y par x, z par y. Nous dirons que le trièdre 0'A,A.^A a le même sens de rotation ou encore, la même orientation, que le trièdre Oxt/z.
Quand le trièdre de coordonnées est orienté comme dans toutes les tigui-es de cet ouvrage, on dit que c'est un trièdre dont le sens de rotation est direct, ou, plus brièvement, un trièdre direct. Pour l'observateur placé le long de 0;, la rotation précédente s'effectue de la droite vers la gauche en passant devant lui. Beaucoup de mouvements
Cr
de rotation que l'on rencontre en Astronomie ou en Mécanique appliquée, ont le sens direct.
Tout vecteur V égal à 0'.\ est égal au produit vectoriel de V, par V , et l'on écrit : v v — v
V = V,xV, en mettant toujours le signe x. ,
La définition montre que le produit vectoriel de V^ par V, est un vecteur OA' opposé à V. On a donc :
