LE PLAN, LA DROITE ET LA SPHERE

Pages.

lies eoordonnées. — PremlèreB fommles. Définition des coordonnées cartésiennes.— Définition générale des surfaces.— Équation générale des surfaces coniques. — Courbes gauches.— Ordre d*une courbe. — Distance de deux points.— Volume du parallèlipipède oblique. — Étude de la fonction Aq.-— Angle de deux directions. \

Transformation des coordonnées. Translation et rotation des axes. — Paramètres directeurs. — Cas des axes rectangulaires. — Formufes d'Euler. — Formules relatives à une section plane. — Invariance de la forme ternaire quadratique sphérique 16

TROISIÈME ET QUATRIÈME LEÇONS

La ligne droite et le plan. Équations d'un segment de droite {premières formules). — L'équation du plan est U == o, U étant une forme linéaire et homogène des lettres x, y, Zy t, — Différentes formes de l'équation d'un plan. — Parallélisme de deux plans. — Équations de la ligne droite. — Forme réduite donnée à ces équations. — Équations d'un segment de droite {secondes formules).^ Rencontre de deux droites.— Parallélisme de deux droites. — Parallélisme d'une droite et d'un plan. — Intersection de trois plans. — Équations générales. — Équation générale des surfaces rapportées à un tétraèdre de référence. — Centre des distances proportionnelles. — Centre des moyennes distances 30

Droites et plans perpendiculaires. Droite normale à un plan. — Problèmes relatifs à une droite normale à un plan. — Perpendicularité de deux droites. — Angles formés par un semi-plan avec les

Il TABLE DES MATIÈRES

plans de coordonnées. — Perpendicularité de deux plans. — Angle de deux droites. Angle d'une droite et d'un plan. — Angle de deux plans. — Distance d'un point à un plan. — Distance d'un point à une droite. — Projection d'un point sur une droite.— Plans bissecteurs.

— Plus courte distance de deux droites. — Aire d'un triangle. — Volume du tétraèdre 51

La sphère. — Équation générale. — Conditions pour que l'équation du second degré en x, y, z représente une sphère. — Puissance d'un point par rapport à une sphère. — Axes et centres radicaux.

— Intersection d'un plan et d'une sphère. — Intersection de deux sphères. — Sphère circonscrite au tétraèdre "îl

PIaii tangent. — Plan polaire. — Équation du plan tangent — Points multiples. — Plan tangent aux quadriques, — Équation de Plûcker. — Cône circonscrit aux quadriques. — Classe des surfaces.

— Normales. — Plan polaire. —Tangente à une courbe. — Cylindre circonscrit & une quadrique 79

Les enveloppes. Surfnces enveloppes. — Caractéristique. — Théorèmes et applications. — Coordonnées taDgentielles. — Équation tangentielle générale des quadriques 91

Génération des snrfaees. Surfaces cylindriques. — Surfaees coniques. — Propriété du plan tangent. — Surfaces conoldes. — Surfaces de révolution. — Conditions pour qu'une quadrique soit de révolution 102

LES QUADRIQUES d'aPRÈS LEUR ÉQUATION GÉNÉRALE

Le centre. — Première elassiflcatlon des quadriques. Définition du centre.— Transport des axes au centre d'une quadrique. ^- Distinction des quadriques en cinq classes. — Propriété caractéristique des quadriques des différentes classes. — Résumé de la discussion 121

TABLÉ DES MATIÈRES m

Division des qnadriqnes en genres. — Rédnetion en axes obliques. Équations réduites qui correspondeut aux différentes classes. — Forme générale des quadriqucs dans les cinq genres qui sont fournis par les deux premières classes 132

Génératrices reetiiignes. ^ C6ne Asymptote. Méthode générale pour trouver les droites situées sur une surface. — Quadrlques qui possèdent des génératrices rectilignes. — Directions asymptotiques. — Surfaces asymptotes. ■— Propriétés du cône asymptote. 149

Plans diamétraux. Recherche du plan diamétral.— Étude du plan diamétral dans les différentes classes. — Plan diamétral singulier.

— Étude de ce plan dans les différentes classes. — Généralisation

des surfaces diamétrales 162

Diamètres, plans, droites et points eonjuffnés. Recherche du diamètre. -- Étude du diamètre dans les cinq classes. ~ Généralisation des diamètres. — Droites et plans conjugués. — Droites conjuguées. — Plans conjugués. — Diamètres conjugués. — Points conjugués sur une quadrique à centre. — Formules relatives à ces points 177

Étude algébriqne de Téquation en S. Définition de cette équation.

— Propriétés de ces racines. — Examen du cas o^ elle a des racines nulles ou des racines égales. — Séparation de ses racines par la méthode de Jacobi et par celle de' Cauchy 191

Plans principaux. — Plans eyeliqnea. Définition et détermination des directions principales. — Il y a toujours trois directions principales. — Cas des surfaces de révolution. — Étude du plan principal. — Plans cycliques. — Les plans cycliques réels correspondent à la racine moyenne de l'équation en S. — Théorème de Hachette.

— Théorèmes divers. — Ombilics 203

DIX-SEPTIÈME LEÇON Invariants. — Réduetion {axes rectangulaires) . Établissement de l'invariance des fonctions - » r- , r- et --. — Invariant particulier

ÙQ Aq Ao ào

au cylindre. — Réduction de l'équation générale pour les différentes classes • 219