NOTIONS PRÉLIMINAIRES SUR LES GRANDEURS GÉOMÉTRIQUES

1. Grandeurs géométriques : Vecteurs et segments. — Une grandeur géo-

métrique ou vecteur est ^^^' ^'

une portion de droite A,B, (Jig. i) ayant une origine A| et une extrémité B,. Un vecteur est défini par les éléments suivants : i" son origine ou point d^appli- 1 cation A< ; 2° sa direc- •j tiorif qui est celle de la *5;j droite indéfinie A|B|; 'v W^ son sens, qui est celui ^S A\x mouvementd'.unmo-

*bile allant de l'origine A< vers l'extrémité B<, et que l'on ^ indique par une flèche placée à l'extrémité; 4° sa gran- ^J^eur P< , qui est la longueur AiB^ .

2 COURS DE IIKCANIQUK.

Analj'tu|iieincnt, ondéfinil un v<Tlcur[)ar les coordoniK'cs (^n ^o -Si)el (x\,y\^ z\) (I(î l'ori^iiH* cl de IVYlréinilé pui* rapport à trois axes coordonnés, on encon» par les coordonnées (x^,y^^ 3,) de rorif^ine et les projeelions (X,, V,, Z, . du vecleur A< B| sur les trois axes, ces projeelions ajant de> signes, suivant les conventions ordinaires de la Géoniétri<' analjticpie.

D'après ces conventions, si Ton appelle «i et 6, les |)ro jetlions des poinls A| et H| sur Taxe Ox, \, csl la valeur alg«'- \)r[(\ui) du segment a^b^, (*'esl-à-dire la ]()n<;ueur t/| &i pré- (•édé(; du signe -h ou du signt* - suivant cpTun mobile, allant de«i en 6|, marche dans hi sens positif ou le sens néf^alif de l'axe.

On a alors, dans tous les cas de figure.

Yi -y, --^'i,

Nous désignerons habituellement un vecleur par une seule lettre P, , nîprésentant sa longueur ou grandeur, el |)laeée à Textrémité.

Pour montrer (|ue les formules donnant Xi, ^ ,, /i st)nr générales, nous ra|)peHerons quelques pro|)iiét<*s élémentaires des segments ipii nous serviront égalemenl à démontrer plus loin le ihéorènu; des projections.

2. Théorème des segments. — Quand des v<;(ieurs son! j)ortés par une même droite indéfinie, comme le sonl par exemple les projections de divers vecteurs sur l'axe 0.r, on Icîur donne plus paiiiculièn^ment le nom de segments; a et h étant deux j)oints sur un axe orienlé, d'après les con\entioiis précédenles, si le segment ab est positif, le segment ba esl négatif.

Nous avons donc

ab — — ba et, par suile,

ab -r-ba — o.

GRANDEURS GEOMETRIQUES. 3

D'une façon générale : Lorsqu^ on place sur une droite x' x ^ n points a^ b, c, . . ., A, A', /, la somme des n segments con^ sécutifs ab^ bc, . . ., AA*, Al, la, déterminés sur cette droite par les points considérés, est toujours nulle, quel que soit l'ordre dans lequel ces points sont placés.

Pour le démontrer, nous emploierons un point auxiliaire placé sur la droite xf x à gauche de tous les points a, 6, c, <f, ..., A', / ijig' '>-)- ^^^' ^*

Considérons d'abord, sur la droite "5 "^ g~

ac' ûc^ les trois points o, a, 6; deux cas

peuvent se présenter suivant que le ° ^ «-

point b est à droite ou à gauche de a.

Supposons, en premier lieu, que le point b soit à droite de a. Nous aurons

( i) oa -\- ab ^= oh.

Si nous supposons maintenant le point b à gauche de <r, nous aurons

ob -h ùa = oa,

d'où

o(i — ha =^ oh

OU

oa -I- ab — ob,

La relation ( i ) existe donc dans les deux cas. Nous pourrons donc écrire la suite d'égalités

oa -\- ab — ob, ob -\- bc — oc,

oc -4- cd =^ od^

ok -\- kl -■ olj ol -^ la = oa,

Si nous les ajoutons membre à membre, nous aurons, en

COURS DE MKCAMQIK.

faisan l disparaître les lerines ('oiniiiiiiis aux deux membres

ab -T- hc -^.- vd -^ . . . ■■- kl -r- ht — <>,

relation qui démontre la propriété énoncée.

Analjtiquemenl, prenons une origine O sur la droite x' œ ([ui porte les segments, et soient or et x' les abscisses des extrémités a et b d'un segment ab\ on a

<tb - x' — x\

en effet, d'après la définition même des coordonnées, les segments O a et 06 sont égaux k x ai x' ] dés lors, en appliquant la relation générale ci-dessus aux trois points O, a, b, on a

c'est-à-dire

aè — 06— Oa,

ab — y — X.

La projection d'un vecteur A, B| sur un axe O^r est donc bien donnée, dans tous les cas, par la formule

En partant de cette expression analytique d'un segment, on vérifie immédiatement que la relation (?.) est une identité.

Fig. 3.

3. Quelques définitions. — Deux vecteurs sont identiques quand ils ont même origine, même direction, même sens et même longueur, c'est-à-dire quand ils §e confondent.

Deux vecteurs sont égaux quand ils ont même direction {fig* 3), même sens et même longueur, mais sans avoir nécessairement même point d'application. D'après cela, pour que deux vecteurs P< et Po de projections respectives X,, Y^, Zi et Xg, Ya, Zg soient égaux.

GRANDEURS GEOMETRIQUES.

il faut et il suffît que l'on ait

Aj — • A2, Il ^:~= Yj,

Zi

iVoiis désignerons Tégalité géométrique de deux vecteurs P< et P2 par la relation

en mettant les vecteurs entre parenthèses :

cette relation unique est donc équivalente à l'ensemble des équations (3).

Deux vecteurs sont égaux et opposés quand ils sont parallèles, de même longueur {Jig> 4)î niais de sens contraires; ils forment alors <::e qu'on appelle un couple de vecteurs. Ce fait est exprimé par les relations suivantes entre les projections des deux vecteurs P| etP.>

Fig. 5.

Al

Xi — - X2, Yj

Zi — - Z2 ;

/Al

Pi

nous l'exprimerons pour abréger par la notation

Deux vecteurs sont égaux et directement opposés quand ils sont égaux, opposés et dirigés suivant la même droite indéfinie {fig- 5).

4. Théorème des projections. — I/étude de la composition des vecteurs nécessite l'emploi du théorème des projec-tions, dont nous aurons d'autre part à faire un fréquent usage. Nous en rappellerons donc la démonstration en l'empruntant, comme celle du théorème relatif à la propriété fondamentale fies segments, au Cours de Géométrie analytique do MM. Imberet Weill.

COURS DK BIECANlQtE.

JC

Théorème I. - - La somme algébrique des projections des vecteurs formant les éléments d^ un contour polygonal fermé, plan ou gauche , est nulle,

Soil le contour polygonal fermé ABC13KFA i fig. 6). IVo-

j<'tons sur Taxe x' j-

Fia;. (\. rn*' »

^ ses (litterents som-

iiiels : soient a, b^ c, r/, e, f CCS proj pelions .

.Nous imaginons que la ligne polygonale est (léerile paiun point mobile partant (le A et rencontrant les (lillérenls sommets dans l'ordre ABGDEFA.

Considérons maintenant, sur Taxe x' x, les segments déterminés par les points «, fe, c, d^ ^i f\ on a, d'a[)rès le théorèm<î général relatif aux segments,

ah -^ bc -^ cd -\- de - - ef -\~fa — o,

mais les segments afe, bc, . . .^ fa sont en grandeurs et en signes les projections des vecteurs AB,]BC. . . ., FA, éléments du contour. La propriété est donc démontrée.

Théorème II. - La somme algébrique des projections des éléments d^un contour polygonal, non fermé, plan ou gauche y est égale à la projection de la résultante.

Considérons le (contour polygonal non fermé ABCDEF {fie' 7^- Nous imaginons, comme j)réeédemment, le contour |)olygoiial décrit par un |)oint mobile j)arlant de A el ren- (iontrant par suite les sommets dans Tordre ABCDEF. On