GRANDEURS GÉOMÉTRIQUES

ilil alors que A est V origine du contour et F son extrémité. Si l'on mène la droite AF qui joint l'origine A à l'extrémité F, on dit que ce vecteur qui ferme le contour est la résultante des éléments <lii contour ; A est son origine, F son oxtrémité.

Si nous considérons le contour polygonal fermé ABCDEFA, nous avons, d'aprèslethéorèmcprécédent,

ab -h- hc -\~ cd -Y- de -^ ef -\- fa = o,

«l'où nous tirons

mais par suite,

ab -i~ hc -^ cd -T- de -T- ef = — fa,

-fa r-.af ab ~ bc -^ cd -\- de -r- ef = af\

la proposition est donc démontrée.

Théorème III. — Lorsque deux contours polygonaux non fermés ont même origine et même extrémité, c'est-àdire ont la même résultante, les sommes algébriques des projections des éléments des deux contours sont égales.

C'est une conséquence immédiate de la proposition précédente, puisque ces sommes sont toutes deux égales à la projection du vecteur qui ferme les deux contours.

o. Somme géométrique ou composition des vecteurs concourants. — Des vecteurs sont dits concourants quand ils ont même origine.

Deux vecteurs. — Soient d'abord deux vecteurs ÀP| cl

Fig. 8.

8 COURS DE BIÉCANIQIK.

APo (l'origine coininiinc A: par l'extrémité P| de Tun des

vecteurs menons un veehuir 1^ R ( fig, 8 ), égal géométri([uemenl à l'autre APo. Le ve<^teur AU (rori<;ine A et d'extrémité W est la somme géométrique ou résultante des deux >eeleurs donnés. On

éeril

(Ri- ( F, 1^1 1*2»,

les j3arenthèses indiquant qu'il s'agit d'une égalité géométrique.

La somme des deux \eeleurs P| et 1*2 esléNidemmenl indtj)endante de l'ordre dans lequel on prend les deux vecleurs : si par l'extrémité Pj du deuxième on menait un vecteur P2K égal géonjélriquement au |)remier P,, on aboutirait évidemment au même point R, car la figurer APiRPo est un parallélogramme; on peut don<î écrire aussi

(R) ^(P, )-+-iP, ..

La grandeur R du vecteur résultant se calcule immédiale-

"' ^^ « ment dans le triangle APiR ; appelons V^ P2 l'angle des deux

vecteurs composants P| AP2; l'angle AP|R est le supplément

de cet angle; on a donc

R2 ^ p2 4 i>| „. .;, Pj p^ cos F, 1*2.

Détermination analytique de la résultante de deux vecteurs. — Prenons trois axes quelconques et appelons X< , Y, , Z| et X2, Y27 ^2 l^s projections des deux vecteurs AP, et AP2, X, Y, Z celles du vecteur résultant AR.

D'après le théorème des projections, si l'on considère le contour polygonal AP| R et le vecteur AR ayant même origine et ujême extrémité, la projection de AR sur un axe est égale à la somme des projections des côtés AP< et PjR du contour;

^'ig- 9-