COURS I)E MÉCANIQUE

somme des moments des deux vecteurs du couple par rapport à 5' 3, étant la [)rojeclion de Taxe BK sur z' z^ est égale à BK cosa ou à aire PP, cosa, c'est-à-dire à Taire du parai- . lélogramme/?/?!, projection du parallélogramme PP| sur le plan II.

8t. Expressions analytiques : 1° Moments d'un vecteur par rapport aux trois axes. — Soient trois axes rectangulaires et im vecteur V^ ap[)liqué en un point de coordonnées X\^y\^ Z\ {fi g* 89). Appelons X|, Yi, Z| les projections du vecteur sur les trois axes !P'S- ^9- et L,, M,, Ni ses moments par rap-

port aux trois axes; nous nous proposons de calculer ces trois dernières quantités.

Calculons le moment N| par rapport à Oz, Projetons le vecteur AiPj en a^px sur le plan des xy\ le moment N| par rapport à O^ est le double de Taire du triangle Oa^p^ précédé du signe -f- ou du signe — , suivant qu'un mobile parcourant a^p^ tourne autour de 0^ dans le sens positif ou le sens négatif des rotations.

Les coordonnées du point rf< dans le plan xOy sont (^o/O^ celles du point />» sont ^2= -^i +X,, y.^=zy^ 4- Y,. 1

D'après une formule connue, établie en géométrie analytique, le double de l'aire du triangle O^i/? 4 avec le signe que nous venons de définir est

on a donc

Ni = a-, (71 H- Y, ) — ji (:r, H- X, ) = a:, Y^ — j, Xi ;

On trouve de même par permutations les moments par

rapport à 0.r et Oy

Li=riZi — ^lYi.

Ml = -^iXi — X\ Z^.

2^ Moment linéaire d'un vecteur par rapport à l'origine» — Soit 0G| le moment linéaire du vecteur par rapport à O. D'après un théorème précédent, la projection de ce moment sur un quelconque des trois axes Ox, Oy^ Oz est précisément égale au moment du vecteur par rapport à cet axe.

Les trois projections de OGi sur les axes Ox, Oy, Oz sont donc les quantités L^, M^, N^ que nous venons de calculer.

Remarque. — Les six quantités X|, Yi, Z<, L|, M^, Ni relatives à un vecteur vérifient l'identité

. (i) LiXi-+-MiYi-H-NtZi = o,

qui devient évidente quand on remplace L| , Mj , N, par leurs ; expressions.

Cette identité signifie géométriquement que le moment [ linéaire OGi du vecteur par rapport à O est perpendiculaire

au vecteur, ce qui est évident par définition même du

nioment linéaire.

Coordonnées d'un vecteur. — On appelle quelquefois les six quantités X^, Y^, Z,, L^, M^, N^ liées par la relation (i)les coordonnées du vecteur Ai P^ . A chaque vecteur correspondent ainsi six coordonnées qui ne changent d'ailleurs pas de valeur quand on fait glisser ce vecteur le long de la droite indéfinie qui le porte.

Réciproquement, à six nombres quelconques X,, Y^, Z^, L,j , M<, Ni vérifiant la relation (1) et tels que X^ -|- Y^ 4- Z*^ le soit pas nul, correspondent une infinité de vecteurs qui se léduisent tous de l'un d'eux en le faisant glisser le long de a droite indéfinie qui le porte. C'est ce qu'on pourra lémontrer à titre d'exercice.