Moment par rapport à un axe. — Soit un axe z'a

lequel on a fixé un sens positif, de z' vers z par exemple, '

Tin vecteur P appliqué au point A ; le moment du vecteufj

:r rapport ù l'axe' est la valeur algébrique du moment M

l64 COURS DE MÉCANIQUE.

linéaire de la projection du vecteur sur un plan perpendiculaire à l^axe par rapport au pied de Vaxe sur ce plan.

Menons, d'après cela {fig, 87), un plan quelconque II perpendiculaire à l'axe, appelons O le pied de l'axe sur ce plan et ap la projection du vecteur AP sur ce plan. Le raoïiienL linéaire de ap par rapport au point O est un vecteur OA

dirigé suivant Oz, Le moment de AP par rapport à l'axe est la longueux Oh précédée du signe -h ou du signe — suivant que Oh est dirigé dans le sens positif de l'axe ou en sen^ contraire. Dans hijig. 87 ce moment est positif.

Remarques sur la grandeur et le signe du moment d'u^ vecteur par rapport à un axe.

Soit 8 la plus courte distance du vecteur AP à l'axe; celt^ plus courte distance se projette en vraie grandeur sur 1^ plan n, suivant la perpendiculaire OD à a/?. La valeur absolue du moment Oh par rapport à l'axe z' z est égale à ap xo^ c'est-à-dire au double de l'aire Oap] quant au signe à donner à ce moment, il est -h ou — suivant qu'un mobile parcourant ap tourne autour de z'z dans le sens positif ou le sens négatif des rotations.

Sll'c

a dt^signe par 9 l'angle du vectour AP a

■ l'as.

lin a évidemmenl ap ^ AP sinO. Le manient du vecteur AP (wr rapport à l'aate est donc aussi ± AP. S.siiiO, où il faut ' l'rendre 4- ou — suivant qu'un nioljile allant de A en luiinie autour de z'z dans le sens posilif ou le sens uégatif lies rotations, ■ Le moment d'un vecteur par rapport à un axe ne ange pas quand on fait glisser le vecteur le long de la oite indéfinie gui le porte. En eflel, cette opération ne jage aucun des trois facteurs AP, S, sin&, ni le signe à Bodre devant le produit.

Si deux vecteurs sont égaux et directement opposés,

oments par rapport à un même axe sont égaux et j signes contraires. lin effet, les trois focteurs sont les bes pour les deux moments ; tes signes seuls sont dilFérents.

Cu où le moment est nul. — >tt, le momenl jiar rapport à u ilïurs ; i" le vcclcur donné; tte; 3° le siniis de l'angle di rôar que le moment soit nul, ifacleurs lesoil, c'est-à-dire on bien qu'il rencontre l'axe ; «e,

ins les deux derniers cas, D avec l'axe; donc pour qii'i rapport à un ase, il faut et ^soit nul, ou bien qu'il scilti

D'après la dernitre cipresa axe est le produit de trois

■i" sa plus courte distance

vecteur avec l'axe. il faut et il suffit que l'un de : i" que le vecteur soit uni; 3° ou bien qu'il soit parallèle

le vecteur est dans un même m vecteur ait un moment nul il suffit : ou bien que te vec-

mc plan avec l'a

L Théorème. — Le moment d'un vecteur par rapà un axe est la valeur algébrique de la projection iet axe du moment linéaire du vecteur par rapport

n point quelconque pris sur l'axe. Soit {fig- 8-) un inl quelconque B pris sur l'axe z'z; construisons le rao-

l66 COURS DE MÉCANIQUE.

ment linéaire BK du vecteur AP par rapport au point B, et projetons ce vecteur enBA' sur l'axe. 11 faut montrer que le moment de AP par rapport à l'axe est égal au segment B/:, avec son signe, c'est-à-dire que Bk = Oh en grandeur et signe. On voit d'abord sur la figure que les deux segments Bi et Oh ont même sens, c'est-à-dire même signe. Il reste à voir qu'ils ont même valeur absolue.

Pour cela, appelons a l'angle aigu de BK avec zfz; on a en valeur absolue Bk = BKcosa. Mais BK est égal au double \

de l'aire BAP; donc J

BX: = 2BAPcosa. ]

D'autre part,

Oh = 'àOap;

le triangle Oap étant la projection du triangle BAP, on a

Oo/? = BAP ces a,

ear l'angle du plan BAP avec le plan de projection II est ]

égal à l'angle a des perpendiculaires BK et Oz à ces deux

plans. On a donc

O/i = -2 BAP cosa, d'où

Bk=zOh,

Le théorème est donc démontré.

81. Corollaire I. — Le moment de la résultante d^ plusieurs vecteurs concourants par rapport à un axees^ égal à la somme algébrique des moments de ces vecteur^ En effet, prenons un point quelconque B sur l'axe; noU avons vu que le moment linéaire du vecteur résultant p^ rapport au point B est la somme géométrique des momen ' des vecteurs composants : en projetant sur l'axe, onvoitqu» la projection du moment linéaire du vecteur résultant cr égal à la somme des projections des moments linéaires d^ vecteurs composants; ce qui démontre la proposition.

iiéctsiQvs.

Corollaire II. — Étant donnés des vecteurs guelues, la somme de leurs moments par rapport à un axe gale à ia projection sur cet axe du moment résultant rapport à un point quelconque de l'axe. En etfet, 3D5 un point quelconque B sur l'axe; par déliiiilion, le lent résullant des vecleuDi donnés par rapport à B est la ne géométrique des iiioments linéaires des divers vec- Lpar rapport à B. La projection de ce moment résullant 'axe est donc égale à la somme des projections des mo- Ls linéaires des divers vecteurs sur ce même axe ; ce qui inlre la proposition.

. Corollaire m. — La somme algébrique des mois des deux vecteurs d'un couple par rapport à un est égale à la projection sur cet axe de l'axe du te.

!ll€ proposition est un cas particulier de la précédente. ans un point B quelconque sur des moments; le moment résul- '^'

BK ou axe du couple est la somme létrique des moments linéaires des vecteurs du couple par rapport La projection de l'axe BK (/i^. 88) luple sur l'axe des moments est égale à la somme des projections toments linéaires des deux vecdu couple par rapport à B, 4-dire à la somme des moments leux vecteurs par rapport à l'axe des moments,

— Appelons a l'angle du plan du couple PPj

un plan n perpendiculaire à l'axe des moments ; l'axe BR

iouple est perpendiculaire au plan du couple cl égal à

du parallélogramme PI',; il l'ait avec z' z l'anj^le a. La