Corps libre sollicité par deux forces. — Soit

I eorps libre sollicilé par di/ux forces P et (J {/ig- yo) app Bouées en deux points A et B. Nous regarderons comme é ^denl que, pour que le solide soit en équilibre, il foulque '^deux forces P ei Q soient égales et directement opposée

est-à-dire égales, parallèles, de sens contraires et dirigées

uivant la droite AB joignant leurs points d'application. Cette condition nécessaire de l'équilibre n'est pas toujours

suffisante.

Par exemple, si aux deux extrémités d'un fil élastique on

applique deux forces égales et directement opposées, dirigées

de façon à tendre le fil, elles ne se font pas immédiatement équilibre : le fil s'al- Pig. 9^-

longe, par conséquent se déforme, et prend, seulement après cette déformation, un certain état d'équilibre ; il peut même arriver, si les forces sont trop grandes, que le fil se rompe.

Une tige métallique soumise à ses deux extrémités à des pressions égales et directement opposées est en équilibre si ces pressions ne dépassent pas certaines limites; mais si ces pressions sont trop grandes, la tige peut

■ fléchir, etc.

Nous admettrons, dans tout ce qui suit, que les forces

; appliquées aux corps considérés sont assez petites et que ces

I corps eux-mêmes sont assez rigides pour qu'il n'y ait pas rupture et que la déformation soit négligeable. Alors la condition d'équilibre indiquée plus haut comnje nécessaire est également suffisante.

En résumé, avec les rectriclions que nous venons d'indiquer, la condition nécessaire et suffisante pour que deux forces appliquées à un solide libre se fassent équilibre est qu^ elles soient égales et directement opposées,

87. Principe* — Nous admettrons comme un fait résultant de ce qui précède que, si un corps solide est sollicité par <les forces en nombre quelconque, on peut, sans changer son ^tat, ajoutet" aux forces qui agissent déjà deux forces égales

ol dirr^rlciiK-nt opposées, on supprimer l'cnsemhle de deu fortes égales cl directeœenl opposées s'il se rencontre

ensemble du ce genre.

88. Opérations élémentaires. — On peut, sans chan^ IVtiiL (l'on corps solide sollicité par des forces en nûmbn| quelconque, leur faire subir les opérations suivantes qne Hppclleroiiii opérations élémentaires :

i" On petit, sans changer l'état d'un solide, ajouter ou enlevei; un système de deux forces égales et directement opposées.

■i" On peut, sans ehangi-r l'cjfi'i il' une force appliquai A un soliilr, lu transporter en un point quelconque de ta ligne d'action, pourvu que ce nouveau point soit invariablement lié au solide.

En cITet, soit entre antres une force P appliquée en point A d'un solide; prolongeons indéfinimenl la PiB-9'- ligue d'action AP de celte force et prenons sur ceH ligne un point B quelconque invariableinenl lié 3<* corps. Nous pouvons, sans changer l'état du corps appliquer en B deux forces égales et directement oj posées dont l'une, P', est égale à P en grajideur, direC lion, sens, et l'autre, — P', égale et directement Ojl^ posée. Mais alors nous pouvons de nouveau, san! changer Fétal du corps, supprimer les deux forces et — P*, égjles et directement opposées; nous avoi donc, sans changer l'état du corps, remplacé li force .\P par la nouvelle force BP' obtenue eu traospM tant AP eu un point de sa ligne d'action {fîg. 91).

3' On peut, sans changer l'état d'un solide, remplace des forces concourantes par leur résultante, ou décom poser une force en des forces concourantes.

MBQANIQUE. 173 '

e fail résulte de la compi-.siliijn i-\. de la dcro m position '

forces appliquées à un point matériel.

pposoQs, pour fixer les idées, que l'on ait, entre autres, re forces P, Q, R, S (./',§'- 92) appliquées en quatre points 1, C, D d'un solide de telle façon que leurs lignes lion prolongées concourent en un même point E. Nous î d'abord, d'après l'opération précédente, transporter

L ligne d'action et .

:U même point et enposantes en un point ■•

de. ces forces mu point E d ainsi les quatre forces en Q', R', S'. Mais alors les quatre jes sont appliquées à un même it matériel E et peuvent être Iplacées par leur somme géomé- r [ue ou résultante F. Inversent, étant donnée une force F iliquée en E, on peut toujours âéqomposer en forces appliquées i 1b transporter chacune de ces coh ilconque de sa ligne d'aclioti.

tmutrque. — Il pourrait arriver que les direciions pro-. gées des forces concourantes,?, Q, lî, S se coupent t point E. ne faisant pas partie du corps : dans ce cas, pour ' ' ivoirfaire le raisonnement, il faut imaginer que l'on place E un point matériel et que l'on relie invariablement ce ffeau point au corps.

9. Invariance de la somme géométrique des forces de leur moment résultant par rapport à un point. — int données des forces F,, F^, - . ., F,, appliquées à un so- ,

ces forces forment un sjsti^me de vecteurs auquel on peut pliquerles constructions géométriques du n" 77.

lisons ehoiï d'un point O et construisons la somme géo-

trique OR et le r

ultiiut OG des foi

' rar

1 à ce poinl. Pour cela, nous in^acroDS par O des v itirs OF',, OFJ, .... 0F„ i^gaui el purallt-lcs aux forces; ['somme OR de ces vecteurs sera la somme géométrîqi I forces. l*uis nous construirons les moments linéaires 0( ^OGJ, ..., OGrt des forces par rapport à O ; leur somme gi {•métrique OG sei-a le moment résultant des forces par Ijporl à O.

Ces définitions rappelées, on a le théorème suivant :

Lrs opérations élémentaires n'allèrent pas ces dti \ vecteurs.

En d'autres termes, si, en employant ces opéralions, I transforme le sjsli^me de forces en un autre, ce nouvea i système a la même somme géométrique OR et le I moment résultant OG que le premier.

Pour le montrer, il suffît de montrer que les vecteurs r et OG ne changent pas par l'effet de chacune des opéi |. élémentaires.

' Quand on ajoute ou qu'on supprime deux forces igïl I et directement opposées, on ajoute ou l'on supprimée cbact I des sjstèuics de vecteurs concourants ayant pour sommes g^ ['inétriques OR et OG, deux vecteurs égaux et directeou ropposésj ce qui n'altt're (■videmmenl pas ces sommes.

' Quand on ti'ansportc une force en un point de sa li{ I d'action, on n'all^renîle vecteur égal et parallèle mené pu li le moment linéaire de celte force relatif au pointO. 3' Quand on remplace plusieurs forces concourantes F Fa, ..-, F* par leur résultante Q, on doit remplacer, dànj L construction de la somme géométrique OR de toutes les IF,, Fi, ..., F*, ..., F„, les vecteurs OF,, OF„ ...,tî ï égaux et parallèles à F), Fj, . , ,, F*, par le vecteur Q^'i (jet parallèle à leur résultante Q; mais, comme OQ' est l-sorome géométrique de OFj, OF^, , . ., OF^, cette opéra!

MÉCANIQUE. iy5

3vieiità remplacer une partie des vecteurs concourants dont à somme géométrique est OR par leur somme, ce qui n'alère pas OR.

De même, quand on remplace plusieurs forces concourantes F|, F2, ..., F^ par leur résultante Q, on doit remplacer, dans. la construction du moment résultant OG de toutes les forces, les moments linéaires 0G|, OG2, ..., OGjt des forces F|, F^, ..., F^ par le moment OH de leur résultante Q; mais comme le moment OH de la résultante de vecteurs concourants est égal à la somme des moments linéaires des composantes, cette opération revient à remplacer une partie des vecteurs concourants dont la somme est OG par leur somme géométrique, ce qui n'altère pas OG. Le théorème est donc démontré.