Réduction à deux des forces appliquées à un corps

solide, — A l'aide des opérations élémentaires, on peut, d'une infinité de manières, transformer un système de forces appliquées à un solide sans changer son état.

On peut alors chercher à réduire, au moindre nombre possible, des forces en nombre quelconque appliquées à un so- , lide. Nous allons démontrer le théorème suivant :

Théorème. — On peut, sans changer Cétat d^an solide, ^Bmplacer des forces en nombre quelconque qui lui sont (appliquées par deux dont Vune est appliquée en un point (arbitrairement choisi.

Pour cela, nous établirons une proposition préliminaire.

Lemme. — On peut toujours réduire des forces appliywées à un solide à trois forces appliquées en trois points \ . (arbitraires du corps non en ligne droite.

En effet, soient A, B, G trois points non en ligne droite

H^rbilrairement choisis rljins li- ciups. *^t F) uni' rji-s foi Kjconsiili'-i'éps {,fig- <)3). En bissant tic cûl^ le ras esceplioi ftjOÙ cette force serait tout entière dnns le plau ABC, un p ■'toujours, en la Lrans|ii)rliiiil en un point de su li^-ne d'acti( la supposer ap)ili<]née en uu point M( di'liors du [ilnn ,\£C. Le» li-nisdirectiG M,A, M,B, M.CfnrinenlalorsuntriM on peut doue difoomposer la force F| i trois autres suivant ces trois direcb'ei et transporter cnsnile les points d'a|^ cation de ces trois composante! il points A, B. C de leurs lignes d'acdo On oliticut ainsi, pour remplacer F|, trois forces Pi, Qiji appliquées respecliveinenl en A, B, C,

Dans le cas exceptionnel où la force F( serait dans lÈp* ABC, elle serait dans un même plan avec les trois diût M, A, MiB? M,C; on pourrait alors la décomposèrent dirigées suivant deux de ces droites. M, A et M, B par eiemft et transporter ces deus composantes en P, et Q, aiuptn' A et B; on-aurail donc le même résultat que dans le cas gét rai, seulement R, serait nulle.

Après avoir fait cette opération pour chacune des foi considérées, on a, appliqués aux points A, B, C, trois B tèmes de forces concourantes. Chacun de ces sjstJïmesp être remplacé par sa résultante, et l'on a finalement trois' fol P, Q, R appliquées aux points arbitraires A, B, C. Lelfi est ainsi démontré.

Démontrons maintenant le théorème eu montrant que < trois forces peuvent se réduire à deux.

Par le point A et la force BQ faisons passer un plan par te m^me point A et la force CR faisons passer un plan Ces deux plans, aynai le point A Cununun, ont en comntul moins une droite SXUJg. Q^).

Sur celle droite, prenons un pt)inl quelcoiupie E disll

Fig. 94-

e A, puis joignoùs BA, BE et CA, CE. La force Q et les leux droites BA, BE sont dans un même plan II; on peut donc décomposer Q en deux composantes dirigées suivant ces deux droites, puis transporter respectivement ces composantes aux points A et E en Q' et Q\

On peut de même décomposer R en

deux composantes suivant CA et CE,

' puis transporter ces composantes a«x

points A et E en R' et R'^ On a alors,

au point A, trois forces P, Q', R' qu'on ; peut composer en une seule F', et au

point E deux forces Q'^ et R" qu'on peut

composer en une seule F", ; Finalement, les forces considérées

ont été ainsi remplacées par deux F' et F^' dont l'une est

appliquée en un point A, pris à volonté. Le point E n'est pas

pris à volonté; une fois A choisi, le point E doit être pris I sur la droite AD, qui varie avec le choix des deux autres

points B et C.

91. Théorème. — Les forces F«, F2, ..., F,i appliquées à un solide, étant réduites à deux, ¥' et F", par les opérations élémentaires, ces deux forces ont même somme géométrique OR et même moment résultant OG par l'apport à un point quelconque O que les forces F<, F2, . . . , F,i d'où elles émanent.

Ce théorème est un cas particulier du théorème sur l'invariance des vecteurs OR et OG par V effet des opérations élémentaires (n° 89).

Conditions géométriques d'équilibre. — Pour qu'un corps solide soumis à des forces F^ , F2, . . . , F^ soit en équilibre, il faut et il suffit que les deux forces finales F' et F*^

auxquelles

«■es forces se fassent équi

Pour cela il faut et il suffit i/ue ces deux forces soient égales et directement opposées.

On peut dire iiii:isi -.pour l'équilibre il faut et il suffit qUt ta somme géométrique OR des forces et leur momi résultant OG relatifs à un point O soient nuls.

En effet, iious venons de voir (jiie OR el OG sont la somam géométrique et le momeat ri.^6ultant des deux forces finales et F".

1° S'il y a équilibre, F' et F" sont égales et directemes opposées : leur somme géométrique OR et leur momea résultant OO sonl nuls ; la condition est donc néeessaire.

2" Si OR et OG sont nuls, les forces F' et F" sont égales ■ directement opposées et l'équilibre a lieu ; d'abord OR élaj nul, les forces F' et F" ont une somme géométrique nalLelles sont égales et opposées et forment un couple de vectenn leur moment résultant OG par rapport à O est l'axe de « couple (a" 78); mais OG est supposé nul, le moment de * couple est nul, donc, ou bien les forces du couple sont ni ou bien le bras de levier du couple est nul el les deui fore sont égales et directement opposées. L'équilibre a donc lie" et la condition est suffisante.

- D'après cela, si la somme géométrique et moment résultant d'un système sont nuls par rapport à 1* point déterminé de l'espace, le système est en équilibre et le mêmes éléments sont nuls par rapport à tous les points fï l'espace.

93. Système de forces éç[uiTalent à zéro. — On dtl qu'un système de forces est équivalent à* zéro, quand 1 somme géométrique et son moment résultant sont nuls, D'après cette définition, pour qu'un système de forces soilei

équilibre sur un solide, il faut et il suflil qu'il soit éqnivaleni