GRANDEURS GÉOMÉTRIQUES

en projetant successivement sur les trois axes on a ainsi les trois équations

qui définissent la résultante.

Examinons quelques cas particuliers. 11 .peut arriver que l'angle des vecteurs P| et P2 soit nul : alors les deux vecteurs composants ont même direction et même sens; le vecteur résultant a également la même tlirection et le même sens et sa grandeur est égale à la somme des grandeurs des vecteurs composants.

Il peut arriver que l'angle des

deux vecteurs donnés soit de 180"; ces deux vecteurs onl

alors des sens opposés {fig. 9). Le vecteur résultant AR a le

sens du plus grand des deux et

pour longueur la différence des

deux longueurs.

Il peut arriver enfin que les

vecteurs P4 et P2 soient égaux

et opposés; alors leur somme

est nulle : le point R coïncide

avec le point A.

Trois vecteurs. — Soient trois vecteurs P<, P2, P3 d'origine commune A. Par l'extrémité P^ du premier vecteur menons un

vecteur P| Q2 égal au deuxième P2, puis par le point Q2 un vecteur Q2R égal au troisième P3 i^fig* 10). Le vecteur AR, (l'origine A et d'extrémité R, est la somme géométrique des trois vecteurs donnés. Ce vecteur est indépendant de l'ordre dans lequel on prend les trois vecteurs donnés, car le point R

Fig. 10.

lo roiRS 1)K .MECAMQl'E.

est le sommet oj)posé au |>oinl A dans le parallélépipède conslruil sur AP4, APa? AP3.

Pour exprimer rpie R est la résultante de Pi, P^, 1^3, on écrit l'égalité géométrique

On peut remarquer (pie, pour obtenir K, on peiU faire d'abord la somme de deux des vecteurs, |)uis (tomjxiser celle somme avec le Iroisième. Par exemple, dans lajig. 10, le vecteur AQ2 représente la somme géométricpie de P^ et P2 et AR est la résultante de cette somme et de P3.

Analjticpiemcnt, a])peIons Xj, Y^, Zj ; X2, Yo? Zr2 ; X3, Y3, Z3 les j)rojections des vecteurs conjposants P|, P2, P:j et X, Y, Z celles du vecteur résultant R. Le vecteur AR fermant le contour polygonal AP1Q2R, sa projection sur un axe quelconque est égale à la somme des projections des côtés du contour sur le même axe. On a donc

A. = A.|— - A.* ~T- A3, ^ =~ Al -r- Zij -f- Aq.

Il peutarriverque la somme géométrique soit nulle; cela aura lieu si le point R coïncide avec A; alors X, Y, Z seront nuls.

Cas général. — 'Soient n vecteurs P|, Po;. . . .. P// d'origine commune A. Par l'extrémilé l\ du premier menons un vecteur P| Q2 i/ig- 1 ' ) ^*giJ «^u deuxième Po, par Qo un vecteur Q2Q3 égal au troisième P3. ... et ainsi de suite, par Q«i un vecteur Q,^, R égal au dernier P„. La droite AR est la somme géométrique ou résultante des vecteurs donnés.

Cette somme est indépendante de l'ordre dans lequel on prend les vecteurs composants pour les porter bout à bout. Cela résulte de ce que l'on j>eut intervertir l'ordre de deux vecteurs composants consécutifs sans en altérer la somme : en efl'et, si l'on interNcrtissait P2 et P3, on aurait à mener

GRANDEURS GEOMETRIQUES.

AT

par P, un vecteur P< Q2 égal à P3, puis par Q^ un vecteur Q2 Q3 égal à P2 ; on

arriverait ainsi au même ^^^' "*

point Q3, car la figure

P^QaQaQi est un parai- / XQn-,

lélograinme. Puisqu'on peut intervertir deux vecteurs consécutifs, on peut les ranger dans un ordre quelconque sans f clianger leur somme géoni étriqué. Ce fait résulte d'ailleurs immé- .

diatement de la détermination analytique de la résultante. Si l'on appelle X|, Y,, Z, ; X2, Y2, Z2 ; . . .; X,;, Y,^, Z,/ les projections des composantes, X, Y, Z celles de la résultante, le théorème des projections donne

Y = Il — - Y2 — . . . -T- 1,1,

Ces valeurs X, Y, Z sont évidenunent indéj)endantes de l'ordre dans lequel on prend les composantes.

On voit aussi que, pour faire la somme géométrique de vecteurs concourants, on peut les j)artager en groupes d'une» façon quelconque, faire la somme des vecteurs de chaque groupe, puis la somme de ces sommes.

Pour exprimer que R est la somme géométrique de P<, P,, . . ., P,/, nous écrirons en mettant des parenthèses

( R) = (P,) -H (Pj) -:-... -a(P^).

6. Différence géométrique ou décomposition d'un vecteur en vecteurs concourants. — Dans certains (?as on décompose un vecteur donné en vecleurs concourants, c'està-dire qu'on détermine des vectcMirs dont le vecteur donné est la résultante. Ce problème n'est pas déterminé sous cette

12 COURS DE UECAMQIK.

forme ^^énéralc, pas plus (pic iio serait en Arithmétique problème de (léeomposer une somme en parties; nous allô en examiner quehpies cas parlieuliers.

i^ Décomposer un vecteur H eu deux composantes^ co

naissant Tune de ses comj sautes. — Soit AR un vc ^ leur {Jig' iî>.;, AP, une ses composantes, l'autre coi posante AP2 sera égale au v< teur P|R. Ce vecteur V.y qi ajouté géométriquement à I donne le vecteur R, s'appe la différence géométrique de R (îtPj et Ton écrit

cette relation peut alors être considérée comme une cens quence de la relation

On peut construire aussi Po en remarquant que P2 est résultante de R et d'un vecteur ( — P, ) égal et opposé à I

'1^ Décomposition d'un vecteur suivant deux directions. Soit un vecteur AR et deux directions différentes Kx et Ky {fi g- i '^) qui sont dans un même plan avec AR. On peut toujours, et d'une seule façon, décomposer AR suivant ces deux directions : [)our cela il suffit de mener par R des parallèles aux deux directions données et de prendre les points P,, P2 où ces parallèles coupent les droites indéfinies Kx et Aj^; les deux vecteurs AP< et AP2 répondent à la question.

iMg. l3.

GBAMDEVBS GKOHIiTHIQUËg. l3

3" Décomposition d'un vecteur suivant troie dIrectionB données. — Soient trois directions AiT, Ay et As, formant un trièdre (Jïg- i4); "n peut toujours décomposer un vecterirAR en trois ■' autres dirigés suivant ces trois directions; pour cela on in^ne par H des plans parallèles respectivement aux trois plans ^As, zAx, xA.y; ces trois plans coupent les droites indéfinies Ax, Ay, Ac en trois points P,, 1*2, PjI les trois vecteurs AP|, APj, Al*j répondent à la question.

COURS I)K MKCANigi'K.

CINÉMATIQUE DU POINT.