LX-hMYh-NZ = o

, Par conséquent

' Si X=-+- Y»>o le sjsléme a une résullanlc uniq' |gée suivant l'axe central

" Si X = Y = o

MECANIQUIf.

ivec N^o, le syslènit se rédui

d" Si \ ^ o, ^' = o, N = o, le sjslème est en équilibre. I

Remarque. — Lorsque N est nul, les forces ont une r^sulniR [inique passant par le point O ou se font équilibre; si ]

□ne la somme des moments des forces par rapport à deux

oints du plan est nulle, la résultante passe par ces points, il y a équilibre; enfin, si celle somme est nulle pour J

:ois points du plan non en ligne droite, il j a nécessaire- J

lent équilibre.

Exemples. — i " Prenons dans le plan des xy un polygone uelconque cl a|ipliquons au milieu de chacun de ses côtés perpendiculairemenl à sa direction une force proportionelle à sa longueur et dirigée vers l'extérieur du polygone; !s forces se font équilibre. Nous allons établir géométrique- It celte proposition. Démontrons-la tout d'abord pour un Igle ABC.

!S trois forces A'(K.BG), B'{K.AC), C'(K.AB)sont conftnles comme étant perpendiculaires aux milieux des : du triangle; de plus, la somme de leurs projections sur te quelconque est évidemment ; ces trois forces se font donc B3Fe(Jig. 102).

Lssons maintenant au cas d'un gone quelconque. A l'aide de maies issues d'un sommet, par- Dns-le en triangles. Perpendicument aux côtés de cbacun des >gles ainsi déterminés et en leurs ux appliquons une série de forces proportionnelles côtés et dirigées vers l'extérieur du triangle correspon- . D'après ce qui vient d'être dit, ce système de forces est Ipiilibre : or, au milieu de chaque diagonale sont applî-

qiléès deux forces égales et opposées; on peut donc les su primer sans troubler l'équilibre, et le polygone reste en éqi libre sous l'action des forces appliquées normalement à s côtés; la proposition est donc démontrée.

2° Soit donné un polygone plan ABCDE {Jig* io3), si lequel nous déterminons un sens de circulation; appllquoi à chaque sommet de ce polygone une force dirigée dans i

Fig. io3.

sens du côté qui y aboutit et proportionnelle à sa longueur Si le polygone est convexe, ces forces se réduisent à ur couple. En effet, la somme des projections de ces forces sm un axe quelconque est nulle, comme égale à K fois la projec tion du contour fermé ABCDE. De plus, la somme des mo ments par rapport à un point quelconque O du plan d' polygone n'est pas nulle ; en effet, c'est

N = ± 2K[surf. OAB h- surf. OBG -h. . .]»

c'est-à-dire

N = zb2Ksurf.(ABGDE).

Il ne peut donc pas y avoir équilibre.

Si le polygone est concave^ il n'en est plus de même ; p nons, en effet, le polygone A'B'C'D'; la somme des momei par rapport à un point O du plan sera, en ayant égan leurs signes.

N = d= 2K(surf. D'IC- surf. B'IA');

aura donc éi[iiilil)Te ^ équivalenls.

inî,'les D'IC, li'IA.'