Mouvement d*un point. — Soient trois axes O^, Oj

CmÉMÂTlQUE DU POINT. ï >

i^Zy absolument fixes et un point mobile M, dont les coordonnées (Jlg- II)) Xj^j z sont des fonctions continues données du temps ^,

La courbe décrite parle point est la trajectoire du mobile :

ses équations s'obtiennent

en éliminant t entre les ^^* *^*

équations qui définissent x,

y, jz^ en fonction de t et

c[u'on appelle les équations

iiii mouvement. On peut

âiussi définir le mouvement

de la façon suivante : on

donne la trajectoire, puis,

prenant sur cette trajectoire un point Mo comme origine des

arcs, un sens MqS comme sens des arcs positifs, on donne en

fonction du temps la valeur algébrique s de l'arc Mo M qui

sépare le mobile du point Mq, a]:)pelé origine des espaces.

9. Mouvement rectiligne. — On dit que le mouvement est rectiligne quand la trajectoire est une droit«j. Si l'on prend cette droite pour axe des ^, les deux modes précédents de définition du mouvement se confondent et le mouvement est défini par l'expression de l'abscisse du mobile en fonction du temps,

qu'on djpi^eWe Y équation du mouvement.

On prendra sur la droite un point fixe O qui sera l'origine des espaces, et à partir duquel on portera, à droite ou à gauche, les espaces suivant que x sera positif ou négatif.

10. Mouvement uniforme. — • Le mouvement recliligni; le plus simple est le mouvement uniforme. C'est un mouve-

l6 COLRS DE MKCAMQL'K.

meiil dans lequel le mobile marche toujours dans le même sens de telle façon <jue les espaces parcourus soient proportionnels aux temps employés à les parcourir,

l. n cjclisle suivant un(î route droile à une allure régulière donne l'image du mouvement reelilignt^ uniforme. S'il fait, par exemple, -j"' à la seeondi;, il fera \\^ en deux secondes. '11^ en trois seeondes, ,'i™,r)o en une demi-seeonde, etc.

Équation du mouvement. — Soient Xo Tabseisse du mobile à l'origine des temps t --- o, x son abscisse à l'instant t : le rapport

est, en valeur absolue, égal au rapport du eliemin parcouru au temps employé à le parcourir; ce rapport a donc une valeur absolue constante. Nous allons voir, en outre, (|ue le signe de ce rap|)ort est constant et que ce signe indique le sens dans lequel se meut le mobile.

1° Le mobile se meut dans le sens positif de Ox; alors,

quand le temps croît, x croît également; si donc ^ est positif,

X — Xq l'est aussi et le rapport est positif; si t est négatif,

X — Xq l'est aussi et le rapport est encore |)ositif; on a donc

dans ce cas

^ — ro

/: désignant une constante positive,

'jP Le mobile se meut dans le sens négatif de Ox. Alors, quand le temps croît, x décroît; si donc t est positif, x — Xo est négatif et inversement; le rapport est donc négatif et l'on a

T — .To

k désignant une constante négative.

tQUK DD P0II4T.

lé, l'équation du uiouvement uniforme csi dans

S.éciproquemenL, LouL mouvement iléliiii par une équatiuii l premier degré entre :r et / de la tonne ci-dessus est iinitme : en effet le mouvement défini [tar

lissède, quehquesotent^roet A', les deux propriétés qui caracrisentle mouvemenl uniforme. D'aLord, le mobile marche rujours dans le même sens, car, l croissant, x augmente pand fc est positif et diminue quand k est négatif; ensuite les paces parcourus sont proportionnels aux temps employés â 9 parcourir, car, en appelant \x la variation subie pur l'al>- Ksse quand l crok di? \t, on ii

X =Jra + A-!, JT-H Aj; = 3^u+ i((-i- i(),

ix = A- A^ ^ = /,■,

qui démontre la deuxième propriété.

Vitesse. — Soit M la position du mobile à l'inslant l, M,

i position à l'instant /-i-A(, Ai étant positif; la grandeur

■ëomélrique MM) a pour valeur algébrique, estimée suivant

e Ox, ^x. Si dans le sens MM, on portC) à partir de M,

longueur MV égale à -tt^' ^^ grandeur géomé-

rtijue MV {fig- i6) est la vitesse du mouvement uniforme.

On appelle valeur algébrique v de cette vitesse la longueur segment vitesse MV, précédée du signe -+- ou du

COURS DE UÊLAMulK.

signe — , suivant que ce segment est dirigé dans le sens positif ou le sens aégutif de l'axe. On a uliirs, en grandeur et en signe,

cai' la valeur absolue de MM, est égale à celle de A^ et le 1 signe de v est le même que celui de Az.

D'après l'équation du mouvement, lu vitesse du mouvement rectiligne uniforme est constante en gi-andeur, direction et sens, car on a, quels que soient t et i/,

Si A( = I , on voil que t' := Aj" ; on peut donc dire < vitesse dans un mouvement reclUigne uniforme t grandeur, direction et sens, l'espace parcouru • l'unité de temps.

Signification physique des constantes. ^ La constat représente lahscisse du mobile ù l'origine des temps. L|j| slante k est la vitesse v du mobile. On peut donc écrire l'-g lion générale du mouvement imiforme

OÙ la signification des constantes est en évidence.

En particulier, si l'on convient de prendre pour originj espaces la position du mobile à l'instant t ^ fy, Xt, est c l'équation du mouvement prend la forme simple

1 1 . Mouvement rectiligne varié. — Tout mouvement qai

n'est pas uniforme est dit varié. Soit un mouvement rectiligne^, varié défini par l'équation .r ^'5 (/). Le déplacement MM, que

Bsî^^^^^^^i^^^B

^^■abit le mobile quand C croit de \t

eal une grandeur géomér ^M

^^frique doDt la valeur algébrique est Aj.'. ^I

^H Vitesse, — Si dans le sens JMM

{fis- '") "" roi^te unfi H

^Bongueur MW égale à ^, le vec

tcur MW, dont la valeur ^|

^^Klgëbrique esl -^, s'appelle vitesse

moyenne du mobile dans ^|

^^Vintervalle de Leiups A/. C'est la v

tesse que posséderait un ^|

^^Hnobile fictif animé d'un mouvement uniforme et allant de M ^|

^^KnM, pendant le même temps \t

Si A( tend vers zéro, le

^^Brecleur MW tend vers un vecLeur

limite MV dont l'exprès-

^^Kion algébrique v est la dérivée x\

^^Ktppelle vitesse An mobile à l'insla

lit.

^H Exemple. — Il esl évident que

dans un mouvernenl uni-

^■Yorme

^L, nous devons, en appliquant U rè^le

générale, retrouver pour

^Hû« valeur algébrique de la vitesse à

un instant le nombre A-

^^■gue nous avons appelé vitesse de

ce mouvement. On a, en

^^HbGTet, eu prenant la dérivée de x pa

r rapport à /,

^^M Réciproquement, nous pouvons maintenant démontrer que, ^|

^^^Bi dans un mouvement recliligne la

vitesse à cbaque instant H

^^^Est constante, ce mouvement est un

forme. En effet, la vitesse H

^^BtaQt égale à une constante k, la dé

ivée de x par rapport à i ^|

est légale

Xçàésigm

une constante. Le raouvemenl est doi

nifurme,

Accélération. — L'n mouvement rectiligne uniforme peut être caractérisé |iar ce faîl que sa vitesse à chaque inslaol est constante eu grandeur et direction. Dtins un mouvement rectiligne varié, la vitesse est variable et il est utile de se rendre compte, d'une façon précise, de la variation de la vitesse auTt divers instants du mouvement. On est ainsi conduit à la notion du vecteur accélération.

Imaginons un mobile M parcourant l'axe Ox et possédant à l'instant ( la vitesse représentée par le vecteur MV dont la valeur algébrique est u(y(^. i^). Quand; varie, la vitesse MV conserve la même direction, mais varie en grandeur e sens. Prenons une origine fixe O' et menons â partir de cette origine im segment O'M' égal et parallèle àMV; quand avarie, les points M' se trouvent tous sur un axe O'x' parallèle à Ox et l'abscisse x' du point M' sur cet axe est évidemment égalée la vitesse v du point M : x'^^ v.

Si la vitesse du point M était constante, le point auxilîaïrfl M' serait immobile ; la vitesse du point M étant variable avec tj le point M' se déplace et cela d'autant plus vite que la vitesse de M varie plus rapidement.

On appelle' accélération du point M à l'instant t uQ vecteur MJ égal à la vitesse M' J du point M'. La valeur algébrique -y de ce vecteur est la valeur algébrique de l'accéléralion : OQ a doue