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CIN'EMATIOt'E IlL 1>01.\T,

' CDcore, comme r est la dérivée première de x \y.ir rapporl

" -~^'- rf,i ■

En résumé l'accélération est, comme la vitesse, un vecleur MJ (ionl la valeur algébrique ^ esl lu dérivée de v par rapport à /, c'esUâ-dire la dérivée deuxième de x par rapport

Exemple- — Dans un mouvement rectiligne el uniforme vecteur vitesse esl couslanl en grandeur et direction, ^conat.; l'accéléralion est donc nulle. Réciproquement, si i mouvement rectiligne est tel que son accélération soit nstamment nulle, il est uniforme. En effcl, dans celte hypothèse on aurait

'''' dï ""'

donc V

:rait c

mie elle r

lenl uniforme,

Mouvement rectiligne accâléré ou retardé. — On dit qu'un

nouvemeni esl accéléré quand sa vitesse croit en valeur

ilisolue; il est retardé quand sa vitesse décroît en valeur

absolue. En d'autres termes le mouvement est accéléré ou

lardé suivant que le carré c^ augmente ou diminue.

Donc le mouvement est accéléré quand la dérivée

(Vm

l positive, il esl retardé quand celte m^me quantité est ^gatîve. On peut dire aussi que le mouvement est accéléré piandcety ont le même signe, c'est-à-dire quand les vecteurs ^tesse et accélération ont le même sens ; il est retardé dans le

s contraire.

CDtiis iiii MËcAMiji'i:.

là. Mouvement reotiligne uniformément varia* Nous avons vu, plus haut, que le niLHivemenL iiniformcj caractérisé par ce fait que son accélération est nulle. Le I vemenl rectiligne qui se présente couime le plui après le mouvement uniforme, est alors un mouvement i lequel l'accélération aurait une valeur constante différente a aéro. Un tel mouvement est Jil uniformément varié.

Équation du mouvement, — Soit y la valeur constante de l'accélération ; on aura, en appelant v la valeur algébrique de

la vitesse,

d'où, en prenant la fonciion (ininitive.

Va désignant la vitesse ilii mobile à l'ini

nt ( = o. Mais

d'où, en prenant la for ety sont constants,

étant une constante qui représente la valeur de as pour i^=o, c'est-à-dire l'abscisse du mobile à l'origine du temps. Cette équation (2) est l'équation du mouvement uniformément varié.

On voit que, dans l'équalion du mouvement, x est une fonction du deuxième degré en (. Inversement, toutes les fois que X est une fonction du deuxième degré en t

ONEllATIIJIii: DIT POINT.

mouvement est uniformément varié, car en jirena Bérivée premîèreon a la vitesse

et en prenant encore une fuis la di^rivtîe on a Taccéiérali

Théorème. — Dans un mouvement uniformément varié

i variation Af de la vitesse pendant un intervalle A( est

^proportionnelle à Ai et le rapport — est égal à l'accélé-

'Ration constante ■( du mouvement. En eli'el l'ëquatiun (i)

■donne imméfliateraeni, si l'on fait croître t de Ai et v de \v,

Rinverscment si, dans un muiivement rectiligne, la vliessc

; proporlionnellemenl au temps, le mouvement est uni-

Wformémept varié; en elVet, par hjpotht''9e, — est constant, la

mmite de ce rapport -tj. c'est-à-dire l'accélération, est donc

ionstanle, ce qui est la définition même du mouvement cuii-

Ibnnément varié.

DistmsBion. — Un mouvement uniformément varié est à nsertains instants retardé et, à d'autres, accéléré. Pour le montrer considérons, suivant la règle générale, le produit

Rce produit s'^mnule à

s'annule. Il est négatif quand i <.t, et positif

'Dl est relardi' pour t <^t, ol accé

1 quand ' > t,; le n léré pour (>■ /|.

Pour discuter complètcmenl le niouveinenl on est ramené à discuter la variation d'un Irinome du deuxième degré. Supposons, pour fixer les idées, y >■ o et reprenons les équalionft'a

la variable indépendante t va tiiujuiirs en eroissanl, I

s^annule à l'instant i,^ -; tant que ^<;(i la vitesse est

négative, x va en décroissant, le mobile M marche dans le aens négatif; pour t'>t, la vitesse est positive, accroît ei le mobile marche dans le sens positif. A l'instant t^f,, j; prend sa valeur minimum

cl le moliile occupe une position O,, qui esL la plus à gauche de toutes les positions qu'il peut prendre {^^. 18). En résumé

quand y est positif, / variant de — 00 à -t-00, le mobile vient de l'infini à droite jusqu'au point O,, qu'il atteint pour i =^ ï,, puis retourne de 0|, à l'infini à droite; dans la première phase le mouvement est retardé, dans la deuxième il est accéléré.

Si l'on prend un point déterminé M d'ajjscisse x plus grande que X,, le mobile passe deux fois en M, une fois en marchant vers O), et une fois en s'en éloignant; il est à remarquer que les deux vitesses correspondantes sont égales elde signes contraires. C'est ce que l'on voit immédiatement en

|irimant c en fonctui i on peut écrire

'. En élevanl l'expression de. c an

Cette formule donne pour c Ition cpie

ndilion veriiiéi-; Ifs ileiis v;ilriirs de c soni fl'aillenrs ;ales et de signes contraires.

[ Dans celte discussion, nous avons suppose y positif; on lÎLerait de même le cas de y négatif.

Formeréduite de l'équation. — Remarquons, d'une manière Générale, que l'on peut toujours cliercher à simplifier l'équa- Jlion d'un mouvement recliligne en choisissant convenable- FaoeaL l'origine des temps et l'origine des espaces. Actiiellenent, prenons comme origine des temps l'instant où la vilesse ^annule et comme origine des espaces la position corresponlante du mottile. Dans ces condilions la vilesse (■„, corresiondant a / ^ o, est nulle et l'abscisse correspondante x^ est piille. Les équations donnant œ et i' prennent altjrs les formes ■éduites

Avec ce choix d'origines on a deux formules correspon- Bant à des énoncés très simples qui résument les lois de la eliute libre des corps sans vitesse initiale et dans le vide :

Les espaces parcourus sont proportionnels aux tarrés des temps employés à les parcourir;

u' Les vitesses sont pioportiontiellifs pitiés à les acquérir.

13. Mouvement vibratoire 8implB. — Considérons i aouvemeiil rcclilifine lionl rrciuiilioii rsl

a, (oct o étant des constantes: c'est un mou veiueal périodique, puisque le mobile repasse aux mêmes points à des intervalles de temps égaux; en effet, sî nous augmpnlons t de — > l'are (D/ 4-S aiigmenie de an; les sinus de deux arcs qui diffèrent de 2tt étant égaux, x reprend la même valeur.

Soit O l'origine des espaces (Jig- 19); prenons comme

origine des temps l'instant où le n d'abscisse — n; on aura, pour i^o, .

L'équation du mouvement s'écrit aloi

.oint Al rad.

Les pointsAet A' correspondent aui positions extrêmes ■ et — a du mobile qui dans son mouvement vibratoire oscille autour du point O.

Appelons T le temps d'une oscillation double ou complète, c'est-à-dire le temps que le mobile met à aller de A' en A el à faire retour en A', T sera ce qu'on appelle la période; elle

De T il aT, X, f el y repassf raient par les mêmes vali et ainsi de suite.

De M et) O, le mouvemenl est accéléré; il est retardé de en A, puisque, la vitesse élanl posilive, l'accéléra lion e négative; de \ en O, le mouvemenl est accéléré, la vitesse l'accélération étant à la fois négatives; enfm, de O ea A.', I mouvement est retardé, la vîlesse est danscel înlervaUe n< tive, alors que TaccélératioD est posilive.

On appelle aussi fréquence F le nombre N des oscilla lions complètes à h seconde ; c'est, par conséquent, l'invei de la période

Expressions de la vitesse et de l'accélération en fonctioi de l'élongation. — Duns le mouvement oscillatoire que nou venons d'étudier, le mobile passe une infinité de fois pi

1 M d'absc

-}- a. Il y passe toujours avec la même vitesse en valeur àj solue. Eu elTet, en éliminant t entre les expressions de ae de I', on a immédiatement

l' égales et d

CtKÉMATIQUE im POINT. ij"

nés contraires, l'une correspondant au cas où le mobile fesse en M en marchant dans un sens, cl l'autre au cas où passe en M en marchanl en sens contraire. Quant à l'accépalioQ, elle est dirigée vers le centre de vibration O et varie poporUonuellemenL à la dislance du mobile à ce centre; on Éen eflet

f est donc de signe contraire kx et proportionnel à jr.

Formule générale. — Si Pon avait pris un cosinus ;m lieu

B un sinus

B^n ïurail eu un mouvement identique, avec les mêmes conlosions, sauf un cbangement dans l'origine des temps; on peut en effet écrire celte dernière équation

'i en comptant le temps à partir de l'iostant -

Il est évident qu'un mouvement défmi par une équation Be la forme

i A et B sont constants, rentre dans le précédent; car, ( BéterminaDt deux constantes a et S par les équations

1 i. Mouvement représenté par un sinus ou un cosinus îlTperboIique ; loi de son accélération. — On sait que,

par définition, on appelle sinus ou cosinus hyperbolique d'une variable a les deux fonctions

sha = y

ch3 =

On vérifie immédiatement les propriétés suivantes qui font ressortir l'analogie de ces fonctions avec les fonctions circulaires cosa et sina,

cli( — a) = cil a, sh( — a) = — sha, cil*-! — sh*a = I,

— ; — = sha, «a

cil a H- slia = ^^,

^sha

= cha.

(It.

cha — sha = e**.

Quand a varie de o à 4-c» la fonction cha croît constamment de I à +Q0, et la fonction sha croît constamment de o

Fig. 20.

à 4- ûo. Quand a varie de — oo à o, cha décroît de -h oo à i et sha croît de — c» à o.

Les courbes représentatives des fonctions

y = Q\\Xy y = sha?"

ont la forme indiquée sur la fig, 20. Les deux courbes sont

CINEMATIOUE nu POINT.

asympioles l'une à l'autre à droite et tendeut à devenir symé- Iriques l'une de l'autre quand an s'ëloigne à l'ialîni vers ia gauche.

i" Cela posé, prenons d'abord le mouvenienl détinî par

r<s, <i>eL S étant des constantes dont nous supposerons les deux bremières positives.

Coninae un cosinus hyperbolique a pour t est toujours supérieure a, sauf à l'instanl

k, JB devient égal à {>.

I Soit A le point d'abscisse a {fig. ^ i). Écrivons l'équation

Bn en déduit pour la vitesse, en prenant la dérivée,

Quand «<;'(. i'<o, le mobile placé en M à droite de A

barche vers A avec une vilcsse décroissante en valeur absope (mouvement retardé); pour ( = (, le mobile est arrivé \ A avec une vitesse nulle; pour (>■(,, c >■ o, le mobile ■éloigne vers la droite et quand t augmente îndéliaiment il Vëloigne indéfiniment, avec une vitesse indéBniment croisnle (mouvement accéléré), I Pour terminer, exprimons comme dans la question précé- BDle la vitesse et l'accélération en fonction de x. D'abord, en

élimimml t entre les expressions de X et de i', on a jï = o', V =r±i m^x*— a';

quand jt eslsiip«frieur ii a, i:elU' formule donne pour v deuu

valeurs égales et de signes conlraires correspondant, l'une i

l'aller, l'autre un retour.

L'accéléralionest

elle est dirigée dans le sens CM et est piiipurLionnelte à \A distance OM,

2° Prenons niaintenanl un mouvonient défini par ud sinun h^perboliijue

OÙ noussupposeroQs encore « et w pusilil's. Dans ce mouvement. X s'annule à l'instant

donc, à cet instant, le mobile passe en O, Ecrivons l'équatîoœ

nous avons |iour la vitesse

Celte vitesse est positive el a pour minimum la valeur <id qu'elle atteint pour ï ^ (, au moment où le mobile est ea C Le mobile marche dans le même sens de l'infini à gauche | l'infini à droite avec une vitesse d'abord décroissante ju qu'à O (mouvement relardé), puis croissante du point Oa l'infini (mouvement accéléré).

CINÉMATIQUE DU POINT. 33

En fonction de a?, la vitesse est ici

1* accélération est

Y = <3ta)'sh(o(^ — <i),

l'accélération est encore dirigée dans le sens OM et est proportionnelle à la distance OM.

3** Les deux mouvements précédents peuvent être regardés comme des cas particuliers du mouvement défini par une équation de la forme

A et B désignant des constantes, ou en faisant

A-hB . A — B

\ et \K étant deux nouvelles constantes.

Deux cas principaux sont à distinguer suivant le signe du produit )v|jL.

Si X et [ji sont de mêmes signes on peut déterminer deux constantes a et S par les relations

•^ Cl Si ^ «

qui donnent

a = 2/Xp!, 28 = Log--;

l'équation du mouvement devient alors

Si X et [JL sont de signes contraires, on pourra déterminer AC. 3

a et par les oijuations

a ^ rt * A — - c^, |JL — e-^,

l'équation du niouvemenl est alors

Enfin il pourrait arriver (|ue A ou [x fiU nul. Si X = o, on a l(; niouvenient

.r - jjLt'

<pii présente cette cir(M)nstance particulièpc que, t variant de — 00 à + 00, le mobile s'avance constamment vers le point O, .dont il s'approche autant qu'on le veut sans jamais y arriver. Va\ même teni|)s, sa vitesse r= — \nùe~^^= — tùx tend vers zéro.

Pour [JL = o on a

quand t est négatif et très grand, le mobile est très voisin de l'origine et sa vitesse p = À(oe"'= o)^ est très petite; t augmentant, le mobile s'éloigne de plus en plus avec une vitesse croissante.

Dans tous ces mouvements l'accélération est

15. Composition de plusieurs mouvements rectilignes dirigés suivant la même droite.

A. Deux mouvements uniformes. — Supposons une droite Ox sur laquelle se meut d'un mouvement uniforme, avec une vitesse constante v^ un mobile M; il parcourra dans le temps A^ un espace MM'= v ^t] mais imaginons que,

GIndilATIOrE DV POIl^. S^

en même leinps, la droite Ox glisse (/(g-, au) sur la droite XX' m mouvemeiH uniforme (le vitosse i^, tel qu'au IkiuI du ■nps ii le poiiil M' de cette droite occupe la position M"

définie par M'M"^ c'A(, Le moLile sera, eu réalité, en M" el clans le temps àl il aura parcouru

MM" = MM' + M'W =(v + v') M.

Toul se passe donc comme s'il n'j avait qu'un seul raouirement, dont la vitesse constante serait détinie par

B. Deux mouvements variés : i " Composition des vitesses.

- Supposons que les déplacements priïcedents MM' et M'M."

lient été effectués d'un mouvement varié; l'espace parcouru

pendant le temps ii sera toujours MM" tel que l'on ait