TZ O
Cette durée est indépendante des conditions initiales.
Le temps que met le mobile à aller de A en O est 6= — •
En particulier,- supposons que l'on abandonne le point sans vitesse initiale. Alors
(^0=0, Xq= a, a = -
et l'équation du mouvement devient
X = â7oCOSb>^.
vTsr^ '
Le temps qiiè met le mobile à arriver en O est
il est indépendant de la distance à laquelle le point est abandonné sans vitesse; on exprime ce fait en disant que le mouvement est tautochrone .
Mouvement rectiligne ; cas de la répulsion. — L'équation <Iu mouvement est évidemment
~di>
Multiplions les deux membres par 2 -j-; il vient
d'^x dx ^ dx
dt^ di dt
et, par suite,
Si le mobile est placé au début en une position P© à
distance x^ du centre {^fig- 62) et si nous le supposons
animé d'une vitesse initiale i^©, nous avons ^ig- 62.
(7) v\ — iù'^x\-^ h, *^ill 11:^,
Actuellement h est, suivant les cas, positif, négatif ou nul. Posons A = o>2a; nous pouvons écrire
— T- = zi: u) y/ÏM-X.
dt
Nous allons exprimer x en fonction de t en supposant que l'on prenne le signe -f- ; le calcul et les résultats seraient les mêmes avec le signe — .
COURS DB MECANIOUE.
On a alors
Ir
dx
— = (o /j-* 4- A, x\ = To = w /.rj -♦- À;
dt
en écrivant
Si '
dx
on voit que le premier membre est la dérivée de
Log(a7 -h/:rî-h X)' par rapport à ^ et le deuxième la dérivée de o)/. On a donc
pour donc
Log(ar-f- v^.r*-H X)= w/ + a;
» — Oj JC — •3'*0f
Log{iro-l-/j™3-hX)= a;
remplaçant a par cette valeur, on a
Log
d'où, en passant des Logarithmes aux nombres,
a? 4- /ar* H- X = (.ro -h /a^J -f- X) «<*>'.
De cette équation on déduit la suivante
X — v/a7*H- X =( JTo — >J^\ -+- X ) e-««>' ;
en effet, en multipliant ces deux relations membre à membre, on a une identité.
En ajoutant ces deux relations^ on a.
X = Xa h V J^o ■+" X
ikr
c'est-à-dire, d'après la valeur ci-dessus de x^=. i'^,
X — QCii
g(ùt i.g~(ût Çq gWf « g— W/
CO
Telle est l'équalion du mouvement; il serait facile, de * vérifier que cette valeur de x satisfait à l'équation du mouvement et que pour t= o cette fonction se réduit k x = Xq et sa dérivée à ^q= ^'o» vitesse initiale.
La notation des sinus et cosinus hyperboliques fait ressortir l'analogie avec l'équation trouvée dans le cas d'une attraction proportionnelle à la distance; en effet, l'équation que nous venons de trouver peut s'écrire
x^=Xochiot-] sno)/,
entièrement analogue à l'équation étudiée au n® 14.
Discussion. — Nous pourrons toujours supposer j?q > o ; cela revient à choisir OP© comme sens positif de Ox, Supposons d'abord Çq>o; le mobile s'éloigne constamment du centre attractif et sa vitesse croît indéfiniment avec x. Supposons maintenant (^o< o; au début, la vitesse sera négative; il faudra donc prendre le signe — devant le radical. Supposons A>o; à mesure que le point s'approche de O, sa
vitesse diminue en valeur absolue jusqu'à y/A; le mobile dépassera le point O avec cette vitesse et s'éloignera avec une vitesse indéfiniment croissante en valeur absolue. Si h est négatif, on peut poser A = — (o^a^ et l'on a
-j^ = — oj s/x^—a^y
où a est nécessairement moindre que Xq, car pour x = XqIa vitesse Çq est réelle; le mobile arrivera donc au point A d'abscisse a {Jig* 63), sa vitesse s'y annulera, changera de
r,*jzr^
.-^it.
signe et le mobile s'éloignera indéfiniment de A avec une vitesse toujours croissante. H est intéressant d'étudier le cas intermédiaire ro< ^ ^^ ^= ^- Dans cette hypothèse on a
(1) 77" ~ — /lo* x^ = — ttix.
La vitesse diminue constamment à mesure que le point se
rapproche de l'origine, le mobile ^^^' ^^' se rapproche indéfiniment du
,-jto-,, point O mais sans pouvoir l'at-
pT teindre dans un temps fini; ce
temps peut, en effet, se déduire • de la relation (i), qui s'écrit
dx ,
et par suite
Log a? = — {.mI ^n p\
la constante p est déterminée, puisque pour x = Xq on a
par suite
p — Logj^o»
et
or cette expression croît indéfiniment lorsque^ tend vers zéro. Le point O se distingue par cette particularité que c'est une position d'équilibre instable; le mobile placé en O sans vitesse initiale resterait au repos; mais, si on l'écartait un peu, la répulsion l'écarterait indéfiniment; le plus souvent, lorsqu'un mobile s'approche d'une position d'équilibre instable avec une vitesse qui tend vers zéro, il s'approche indéfiniment de cette position sans jamais l'atteindre.
MÉCAMQLK. 12J
L'équation ('i) peut s'écrire
X = Xoe
tat
c'est l'équation du mouvement; dans ce cas particulier, la loi des vitesses est alors
et la loi des accélérations
ce qui est bien conformée à l'hjpo thèse initiale.
On peut aussi déduire ce cas de l'équation générale (7); h étant nul, on a
Mais ^0 est supposé positif et s^q négatif, donc (^0= — tox^ ; en portant cette valeur de (^q dans (8) on aura
X = Xoe~*^'.
Mouvement curriligne; cas de rattraction. — Remarquons tout d'abord que, si un point est attiré ou repoussé par un centre fixe O suivant une loi quelconque, sa trajectoire est une courbe plane située dans le plan déterminé par O et la vitesse initiale. On peut regarder le fait comme évident par raison de symétrie ; on peut aussi le vérifier par le calcul.
En effet, prenons le point O comme origine : la force appliquée au point mobile P de coordonnées x, y y z étant dirigée suivant OP, l'accélération du mobile est aussi dirigée suivant OP et les projections de l'accélération sont proportionnelles à celles de OP, c'est-à-dire à ^, y, 5; on a donc
d^ X d^y d* z IF ~dn ~dt^ X " y " Z '
on en déduit
~dii
dt* -^
dt^
d^z 'dï^
d*x ~dÔ
Mais ces équations donnent les trois suivantes
dz dt
dx
"*. dt
dt
dy
dt
dz dt
dx "dt
A, B, C désignant des constantes, car le premier membre de chaque équation (i) est la dérivée par rapport à < du premier membre de l'équation correspondante (2). Ajoutons ces dernière^ équations après les avoir multipliées respectivement
par x^y^ s; nous aurons
o = A ar 4- B^ -H G z,
équation d'un plan passant par l'origine; la trajectoire est* donc .
dans un plan passant par O et, comme la vitesse initiale lui est tangente, elle est dans ce plan.
Cela posé, revenons à notre problème. Soit Po la position initiale du mobile, Vo le vecteur vitesse initiale. Prenons pour axe Ox\^
droite OPo {fig* 64) et pour axe Oy une droite parallèle à V©
et de même sens que Vo.
Le mobile étant en P est sollicité par une force F dirigée
suivant PO et égale à K^ OP ; ses projections X et Y sont donc égales aux projections ^ et ^ de OP changées de signes et multipliées par K^ : •
X= — K^Xy Y=— K2jK. Les équations du mouvement sont donc
OU, en faisant comme plus haut — = co^,
Il s'agit de trouver des fonctions :r et jk de t vérifiant ces équations et satisfaisant aux conditions initiales suivantes qui résultent du choix des axes. Comptons le temps t à partir de TiDStant initial ; alors pour / = o on doit avoir
a désignant la distance OPo- En outre, la vitesse initiale étant parallèle à Oy, sa projection x^ sur Ox est nulle et sa projection y'^ sur Oy est égale à PoV^= ç^^ : les dérivées de x et de y par rapport à t prennent donc pour ^ = o les valeurs o:'^ t== o, /^ = ^o-
Or nous avons vu que la fonction x vérifiant la première
des équations (3) d^ telle façon que pour ^ = o elle prenne une \aleur ^o et sa dérivée une valeur x\ est
37 = a^o cos oj ^ -i ~ sin w t.
La deuxième des équations (3) est identique à la première, sauf le changement de ^ ^^y\ l^^ fonction y vérifiant cette équation de telle façon que pour ^ = o elle prenne une va- AC. 9
l3o COURS DE MÉCANIQUE.
leur y ^ et sa dérivée une valeur y'^^ est donc
y z=jrQ cos mt "h ^^ sin (i> t.
Mais actuellement
^0 = Cly yà = O,
Le mouvement demandé est donc défini par les formules
X ^ acosoit, r= — sino)^.
La trajectoire est une ellipse
rapportée à des diamètres conjugués; si Ton appelle 61a longueur du demi-diamètre OQo parallèle à la vitesse initiale, on a
(4) b = —, Po= w6.
La durée de la révolution du point sur l'ellipse est la période qu'il faut ajouter à t pour que x et y, c'est-à-dire sinco^ et coswf, reprennent la même valeur; elle est donc
Elle est indépendante des conditions .initiales. Le cas du mouvement oscillatoire rectiligne apparaît alors comme le cas où cette ellipse est infiniment aplatie.
Comme un instant quelconque du mouvement peut être regardé comme initial, on voit que, le mobile étant dans une j
position quelconque Po sur l'ellipse qu'il décrit, pour avoir sa vitesse Po Vq en ce point il suffit de prendre le demi-diamètre OQo conjugué de OPo ; la vitesse Po Vo est parallèle à OQo et
MÉCANIQUE. l3l
égale à wOPo [équation (4)]î l^i vitesse est donc maximum à l'extrémité du petit axe et minimum à l'extrémité du grand.
Mouvement curviligne d'un point repoussé par un centre fixe proportionnellement à la distance. — Prenons les mêmes axes que pour le problème précédent. Les équations du mouvement ont la même forme au changement de signe près qui provient du changement de sens de la force. On a donc
-- f.tS
dt^
= ixi^y.
Les conditions initiales sont les mêmes : pour f = .o (2) Xo=a, J^o=o, a?ô = o, y^ = Po-
Mais la fonction du temps vérifiant la première des équations (i) et prenant, ainsi que sa dérivée, des valeurs initiales Xq et x'^ est
X ■=. XnCYHiim ^ Sh 0) <.
La seconde équation ayant même forme donne de même
y = Va ch u) ^ -h ^^ sh co t.
Actuellement, d'après les conditions initiales (2), on aura pour les équations du mouvement
Va
En éliminant t à Taide de la relation
ch*a)^ — sh*(i)^ = I,
on a la trajectoire
l32 COURS DE MECANIQUE.
C'est une hyperbole rapportée à deux diamètres conjugués (yî^^. 65),
OPo=a et OQo=6 = ^
Le mobile décrit une des branches de la courbe. La rela-
tion {fo = <i^b = toOÇlo s'interprète comme dans le cas de l'ellipse. Un instant quelconque pouvant être regardé comme initial, on voit que pour avoir la vitesse en un point Pq il suffit de prendre le diamètre conjugué OQo de OPo ; la vitesse est parallèle à OQo et égale à w.OQo. Cette vitesse est minimum au solnmet de l'hyperbole; elle augmente au delà de toute limite quand le point s'éloigne indéfiniment.
Le cas du mouvement rectiligne apparaît comme le cas où cette hyperbole serait infiniment aplatie.
62. Vitesse aréolaire d'un point dans un plan. — Soit un point M décrivant (Jig. 66) une courbe plane. Joignons un point fixe O du plan au point M et considérons l'aire A du secteur MqOM balayé par le rayon vecteur OM quand le mobile passe de la position initiale Mo à la position M.
Fig. 66.
Cette aire est une fonction de ^ : la dérivée --rr s'appelle vitesse
aréolaire du point.
Prenons un axe polaire O^ et appelons r et 8 les coordonnées polaires du point M à l'instant t. Quand t croît de Af , le point prend la position M' de coordonnées r + A/' et 6 -h A8, l'aire A croit de :
AA = secteur MOM'.
Décrivons de O comme centre les arcs de cercle MH et M'K de rayons respectifs /• et r-i- Ar; l'aire AA est évidemment comprise entre les deux secteurs MOH, M'OK :
ir2 Ae< AA< i(r-h Ar)î A6.
Divisons par A^
I AO ^ AA ^ 1 , , „ AO 1 ^t A^ 2 A^
Quand A^ tend vers zéro, ~ tend vers la dérivée 9'^ ou -j-
de 9 par rapport au temps, Ar tend vers zéro, et ^ tend vers
la vitesse aréolaire -r- • On a donc
dt
AA
dt ^ 1 dt
En coordonnées cartésiennes, on a
en efiet,
dA
dt
i\ dt -^ dtj'
Y r^ = x^-hy^, 6 = arctang— ;
l34 COURS DE MÉCANIQUE.
donc
dy dx
dt "" iF»-f-7« ''
en substituant dans (i) on a la nouvelle formule (2).
Théorème. — Si V accélération passe constamment par un point fixe O, la vitesse aréolaire autour du point, dans le plan de la trajectoire, est constante.
En effet, supposons que l'accélération passe constamment par un point O pris pour origine. Les projections de l'accélération seront proportionnelles à celles de OM; on aura donc
df*^ -^ dt^
Mais le premier membre de cette expression est la dérivée de
dv dx
dt -^ dt
par rapport au temps ; on a donc
dy dx ^
c'est-à-diré
dk. G dt a
On conclut de là
en supposant que îq soit l'instant où le mobile est en M©. Donc, si V accélération passe par le point O, Vaire balayée par le rayon vecteur OM est proportionnelle au temps. Ce fait se présente, par exemple, dans les deux pro-
MÉCANIQUE. l35
blêmes {u? 61) : mouvement d'un point attiré ou repoussé par un centre fixe proportionnellement à la distance.
Ainsi, dans la composition de deux mouvements vibratoires rectangulaires de même période (n** 36), la vitesse aréolaire est
-j— = abta sin(3 — a),
de 1 ^^ ''
expression qui montre, comme nous l'avons vu autrement, que le mobile tourne dans un sens ou dans l'autre suivant le signe de sin(p — a).
63. Composition des forces. — Lorsque plusieurs forces agissent simultanément sur un point matériel, on admet que l'accélération qu'il prend est la somme géométrique des accélérations que chacune des forces lui imprimerait si elle était seule.
On en déduit immédiatement la composition des forces appliquées à un point matériel.
U accélération imprimée à un point à un instant quelconque par des forces F| , Fa, . . . , F^ e/i nombre quelconque est la même que si le point était sollicité par une force unique F égale à leur somme géométrique. Considérons des forces qui, agissant successivement sur le même point M, lui communiqueraient respectivement des accélérations ^i, Y2> •••? Y/ï* Les valeurs de ces forces à l'instant t sont en grandeur, direction et sens
(FO=/n(Yt), (F,)=/n(Y.), ..., (F„)=m(Y«).
Lorsque toutes ces forces agissent en même temps sur le point M, elles lui communiquent une accélération y égale à la somme géométrique de y^, ya? •••j Y/i
(ï) = (Ti)-^(ï2)-+-...-h(T«).
La valeur F à l'instant t de la force unique qui communi-
l36 COURS DE MÉCANIQUE.
querait au point cette même accélération y {^fig- 67) est
Les figures formées par les points F|, F2, ..., F,,, F
d'une part, et les points yi, y2) •••? Y/??
y d'autre part sont donc homothétiques par rapport au point M, le rapport d'homolhétie étant m ; comme y est la somme géométrique de yi, Y2î •••) Y/ij la force F est la somme géométrique deFj, F2, ..., F„
le théorème est donc démontré.
Cette force unique F qui produit la même accélération que les autres agissant simultanément s'appelle la résultante des forces F<, F2, ..., F;,, les forces F<, F2, ..., F,^ elles-mêmes étant les composantes.
On peut alors, toutes les fois que plusieurs forces agissent simultanément sur un point, les remplacer par leur résultante. Cette opération s'appelle composition des forces appliquées • à un point.
Comme elle est identique à celle qui consiste à faire la somme géométrique des vecteurs représentant les forces, on voit qu'on peut lui appliquer tout ce que nous .avons dit de la composition des vecteurs.
La résultante de deux forces est la diagonale du parallélogramme construit sur ces forces.
La résultante de trois forces est la diagonale du parallélépipède construit sur ces forces; etc.
La projection de la résultante d'un nombre quelconque de forcer appliquées à un point sur un axe est égale à la somme des projections des composantes.
Inverseineot il- peut être utile de remplacer une f unique F appliquée à un point par d'autres F,, Fj, .... dont elle serait la résultante ; cette opération, appelée déc position d' une force- en forces concourantes, est identi à l'opération de la dtîcomposilion d'un vecteur. On poi donc lui appliquer tout ce qui a été dit à ce sujet (n" 6).
64. Équations du mouvement. — Soit un point >: masse m sollicité par des forces représentées à l'insta par F|, Fa, ..., ¥„• Appelons X, y, z les coordonnées point M, {X., Y,,Z.), (X„ Yj, Z^), ..., (X„, Y„, Z„) projections des forces sur les axes; les projections X, ^ de leur résultante F sont
(F) X = SX,, Y = ZY,. Z = 2Zr,
les projections de l'accéléralion sont
d^x rfV- d^
'dt'' dt^' dt*'
La relation géométrique (F)^m(f) donne donc, pour projections sur les trois ases, les relations
= SX,-,
qui sont Xes'équations du mouvement.
La notation SX, signifie qu'il faut faire la somme projections de toutes les forces appliquées sur O^, ei même pour les deux autres.
65. Equilibre. — Plusieurs forces appliquées à un p matériel se font équilibre lorsque, le point étant au rej ces forces ne lui impriment auctm mouvement. La son géométrique des accélérations dues à ces forces est a nulle; donc la somme géométrique des forces, c'est-àleur résultante, est nulle. Cette condition i
