I08 COURS DE MÉCANIQUE
Un fait analogue a lieu pour tous les problèmes dans lesquels on cherche le mouvement d'un point sous l'action d'une force donnée. On peut placer le point dans des conditions initiales arbitraires; mais, une fois ces conditions choisie^, le mouvement est entièrement déterminé.
Analjtiquement, on résoudra ce problème à l'aide des équations du mouvement (i) dans lesquelles la loi de la force X, Y, Z est donnée. En outre, les conditions initiales sont supposées connues; à l'instant initial t = t^^ le mobile devra occuper une position donnée arbitrairement ayant pour coordonnées Xq^ j^oî ^0) et il devra avoir une vitesse Vo donnée arbitrairement ayant pour projections des quantités x\^
Il faudra alors, pour obtenir le mouvement correspondant du point, trouver des expressions de x^ y, z en fonction de t^ vérifiant les équations du mouvement (i), de telle façon que pour t = Ûq ces expressions prennent des valeurs ^r©, jKo? ^o données à l'avance et que leurs dérivées par rapport à ^(projections delà vitesse) prennent, également pour t= ùq, des valeurs données x^, y\^ z\,
La détermination effective de ces expressions de x^ y^ z en fonction du temps s'appelle V intégration des équations du mouvement. Nous allons l'effectuer dans quelques cas particulièrement importants.
Il peut se faire que le mobile reste dans un plan, celui des xy^ par exemple; alors les équations du mouvement se réduisent à deux,
et il faut trouver pour x el y des fonctions de t vérifiant ces équations, se réduisant à des valeurs données ^q, j^o? pour
^ = ^0 et telles que leurs dérivées -^> -^ prennent des valeurs données x'^^ y\ pour ^ = ^o-
MÉGANIQUE. IO9
Enfin, dans des cas encore plus particuliers, le point peut rester sur une droite fixe (mouvement rectiligne). On a alors,
en prenant cette droite pour axe Ox, une seule équation
et il faut trouver pour x une fonction de t vérifiant cette équation, se réduisant à Xq pour t =>to et telle que sa dérivée -^ prenne une valeur donnée x'^ pour t =z t^.
60. Mouvement d'un point matériel soumis à Taction d'une force constante. — Imaginons un point matériel de masse m soumis à une force constante, c'est-à-dire à une force dont la grandeur, la direction et le sens sont invariables. Appelons my l'intensité de cette force; nous pourrons dire que le point est mobile dans un champ d'intensité constante y. La pesanteur, dans une petite étendue, offre l'exemple le plus simple d'un champ de cette nature. Le problème que nous aillons traiter est donc analogue à l'étude du mouvement d'un point pesant dans le vide sous l'action de son seul poids ; dans ce dernier problème, la direction du champ est la verticale descendante et y est égal à l'intensité g du champ de la pesanteur au lieu considéré.
Le mobile, quelles que soient les conditions initiales, prendra un mouvement dans lequel l'accélération sera en grandeur, direction et sens, égale à y.
Deux cas sont à distinguer suivant la nature des conditions initiales : i" le point est lancé suivant la direction du champ, dans le sens du champ ou en sens contraire ; le point décrit alors une portion de droite parallèle à la direction du champ ; son mouvement, est rectiligne et uniformément accéléré ou retardé ; 2" le point est lancé dans une direction quelconque * diff'érente de celle du champ; il décrit alors, comme nous le verrons, une portion de parabole dont l'axe est parallèle à la direction du champ.
I lO COUBâ DE JIEGANIQUE.
Premier cas : .Mourement jrectiligne. — Le jxK)bil€ •étant plâoé dans une ipositîon P,o., >on lui donne une vitesse initiale 'diri^^e suivant la divection constante dut^haoïip. Il <est évident, par raison de symétrie, que le mobile décrit une portion de la parallèle ^'^S' 59. P^x à la direction y
dm champ. Prenons, sur cette parallèle (Jlff- 59) «m point fixeO co'mme origine des •espaces et comme sens positif O^ le sens du champ. Dans ces «conditions, la valeur . algébrique X de la force appliqjj^e au point est X==jt7ZY, puisqu'eUe est dirigée dans le sesis positif. Dès lors^ les équations du mouvem^t se réduisent à l'équation unique
dt*
les <ieux au'b'es «équations du mouvement (1) étant identiquement 5aa;isfaites, carj^, Zy Y, Zsont nuls.
domptons les temps à parûrde l'instant initial, de façon que • pour ^ = oie mobile soit.au point P^, -d 'abscisse x^^; appelojas i'o la valeur algébrique delà vitesse initiale estimée positive- . meint dans le sens Ox;pq sera positif ou n^atif suivant que le mobile sera lancé dans le sens du diâJiip ou ea sens oontraire.
En divisant par rfw, on ^rit l'équation du motivemient
id£^
Le premier membre est la dérivée de ^, le deuxième de y/;
•ces deux fonctions ayant toiême dérivée diffèrent par une constante ; on a donc
dx ,
jr «
la (Constante 'A* «est (égale à «o puisque pour t = o>on<a
donc
de
, V tlx
le premier membre est la dérivée de x par rapport à ^ et le
second membre est la dérivée de Vf^t H — y^^ pat* rapport à' la • même variable; on. a donc
la constante A*' est égale à j;©? puisque pour ^ = o on a
Fëquation du mouvement est donc
(3) ^ = ^o-+- vsit-^ - Y^';
c'estTëquation flu^mouvement uniformément varié étudié précédemment (n** 12).
i^ Si la vitesse initiale v^^^sX positive ou nulle (c'est le cas d'un pointipesantJancé vers le bas ou abandonné à lui-même), V t\,x augmentent constamment et indéfiniment; le mouvement est uniformément accéléré ;
2® Si Ko 'eî>t7ie^a^(/'( c'est le cas d'un point pesant lancé vers Iç haut), le mouvement est d'abord uniformément tctardé : la vitesse v^ d'abord négative, diminue en valeur absolue et s'annule au bout du temps /| = — — ^ •
Dans cette première période, x va en diminuant, le mobile s'éloigne de Po dans le sens contraire à celui du champ et à l'instant t^ arrive à son élongation maximum P| avec une vile^e ooEulle. Arpaittirde ce moment, Je :nidbile:fte<tFOuve dans les mêmes conditions que :s^iliétait;abandonfné sans ^île&seeh
Pi : il revient en sens contraire d'un mouvement uniformément accéléré.
Relation entre la variation de vitesse et le chemin parcouru.
— En éliminant / entre les équations (2) et (3), on a
(4)* v^'-vl='iy{x — Xo),
qui donne la variation dti carré de la vitesse en fonction du chemin positif ou négatifs — Xq parcouru depuis la position initiale. Cette équation résolue par rapport à ç>
montre que, lorsque le mobile passe par une position déterminée, sa vitesse est la même en valeur absolue, qu'il marche dans le sens du champ ou en sens contraire : il repasse alors par une même surface de niveau ; en particulier, pour x = Xq. V prend les valeurs H- ^o et — v^ ; le corps repasse donc au point d^oîi on Va lancé avec une vitesse égale et de signe contraire à celle qu'on lui avait donnée.
Ce sont bien là les faits d'expérience qui résultent de l'observation du mouvement qu'imprime la pesanteur à un corps lancé de bas en havit suivant la verticale avec une vitesse Vq, Dans ce cas particulier, pour pouvoir appliquer les équations précédentes, on prend la verticale dans le sens de haut en bas et on remplace y par g.
En remarquant qu'un instant quelconque du mouvement peut être considéré comme instant initial, on peut énoncer la relation (4) de la façon suivante :
La variation du carré de la vitesse, lorsque le mobile passe d'une position quelconque Vq à une autre position P, est égale au produit de 2^ par la valeur algébrique PoP du chemin parcouru estimé positivement dans le sens du champ.
Par exemple, dans le cas de la pesanteur, le chemin parcouru doit être estimé positivement vers le bas.
MÉGANIQUE. Il3
Gomme application , cherchons la vitesse acquise par un point "pesant abandonné à lui-même dans une position Pô et tombant d'une hauteur A : on aura
pQ = o, X -^Xq=^ h.
Inversement, cherchons la hauteur h à laquelle s'élève un point matériel lancé vers le haut avec une vitesse Vq] dans ce cas, la vitesse initiale est Po î ^^ vitesse ^, au moment où le mobile arrive au point le plus haut P^ , est zéro ; le chemin parcouru PoPi? estimé positivement vers le bas, est — h et l'on a
Le point retom^)e ensuite et quand il repasse au point de départ il possède la vitesse i'o> ainsi qu'il résulte d'une remarque précédente. On le vérifie immédiatement à l'aide des formules actuelles, car le mobile étant monté à- la hau-
leur A = — îî- , quand il retombe ensuite de cette même hauteur
il prend d'après (5) la vitesse ç^= ^^A, d'où \?^=ç^. Cette équation (i> — Çq)(ç ^ ç^) z='o comporte deux solutions, dont l'une correspond à l'instant initial et l'autre à l'époque où le mobile passe au point d'où on l'a lancé.
Donc la hauteur à laquelle s' é lève un mobile pesant lancé, de bas en haut suivant la verticale avec une vitesse v^ est telle que^ si le corps tombait sans vitesse initiale de cette même hauteur j il prendrait précisément cette même vitesse Vq.
L'équation (4) peut d'ailleurs être obtenue directement en dirigeant autrement les calculs ; multiplions les deux
dx
termes de 1 égalité (i) par 2 —
d^x dx
dt* dt
^ dx 7/7 ~" ^ï"^
dt
Il4 COURS DE MECANIQL'E.
Le premier membre est la dérivée de ( ~ j et le second celle de n'^x; on a donc
k est déterminé par les conditions x = x©, i^ = ^oà l'instant initial; d'où
A: = t'J — 273^0 et
Second cas ; mouvement curviligne. — Nous supposerons maintenant le mobile lancé à l'instant ^ = o dans une direction oblique par rapport à celle du champ avec une vitesse ^o* Un premier fait, évident par raison de symétrie, est que la trajectoire est dans le plan mené par Vq parallèlement .à la direction du champ; par exemple, pour un point pesant, elle est dans le plan vertical mené par i^o-
On peut vérifier. ce fait par le calcul; en effet, prenons un axe Oy parallèle à la direction du champ,; les projections de la force sur les axes O^ et Oz seront nulles,
Les équations du mouvement donnent alors
* dûc dz
on en déduit que -r et ^ sont constantes,
dx ^ dz
Ces équations signifient que^ dans toute la durée du mouvement, les projections de la vitesse sur Ox et Oz sont constantes. Les quantités A et G sont donc les projections de la vitesse initiale Po sur ces axes.
MËCANIOUE. Il5
Les deux membres de la première des équations précédentes sont les dérivées de x et At; on a donc
X == Xt -+- .Tq,
j?o désignant une constante égale à Tabscisse du point à riïistant o; on a de même
d'où, en éliminant t,
C'est l'équation d'un plan fixe parallèle à Oy et contenant la vitesse initiale. Le mobile reste dans ce plan puisque, quel que soit /, les coordonnées du mobile vérifient l'équation de ce plan.
Ceci posé, il reste à trouver les équations du mouvement dans ce plan; c'est ce que nous allons faire en prenant, pour fixer les idées, le champ de la pesanteur.
Prenons, pour origine O, la position initiale du mpbile, pour axe Oy la verticale dirigée vers le haut (en sens contraire du champ) et pour axe Ox l'horizontale du plan qui contient la vitesse initiale, c'est-à-dire du plan de la trajectoire, prise positivement de façon à faire un angle aigu avec la direction de la vitesse initiale. On aura
X =: o, Y = — ni^
et les équations du mouvement seront
Appelons a l'angle de la vitesse initiale OVo avec Ox^ cet angle étant considéré comme positif quand la vitesse est audessus de Ox (cas de la figure 60) et comme négatif quand il est au-dessous. Les projections de la vitesse initiale sur les
I I<3 COtRS DE MËGAMQt»:
axes seront
To cosa, i'o sina;
les coordonnées initiales dn mobile sont
doc La première des équations du mouvement montre que --j- est
constant et égal à la projection 'de la vitesse initiale sur Ox : on a donc
dx
(i) -y- =-- i^ocosa,
( •>, ) , X ^ K\ / cos % ;
la deuxième équation donne de même
(l'y ^^- =-î>jr< -hPosina, -
(2') r = hi^o^sina.
Les équations (i), (i') donnent la vitesse (3) t'«= t>îcos»a-h((^o^ina — ^0*= ^'%—'>gy\
la valeur numérique de la vitesse à chaque instant est la même que si le mobile tombait sans vitesse initiale dé la
hauteur — ^ à la hauteur y.
Entre les équations (2), (2'), éliminons le temps; nous obtenons l'équation de la trajectoire
C'est une parabole d'axe verticale (Jig* 60) qui tourne sa concavité vers le bas, car le coefficient de x^ est négatif.
Si a était négatif, -^ serait, d'après (i'), toujours négatif,
donc y irait constamment en décroissant et le mobUe ne passerait pas par le sommet de la parabole.
Supposons maintenant * >" o, -^ commence par être positif
et le mobile monte; ii Aïonte jusqu'à ce que -j- s'annule ; ce qui se produira au bout d'un temps t' donné par l'équation
— ^/ -f- t^osina = o, t = ~ ;
le mobile étant arrivé à sa hauteur maximum, sa vitesse est
Fig. 60.
^"'"^^r;"2i:ls
bW a^
minimum en vertu de la relation (3). Les coordonnées du point le plus haut S, sommet de la parabole, seront
X •=-v\t cosa = -^
Après cetinstant^', -j- devient négatif et le mobile redescend.
Lorsqu'il repasse à la même hauteur, la valeur numérique de la vitesse redevient la même. En particulier, il repasse au point A au niveau de O avec la vitesse v^, La portée horizontale O A est double de l'abscisse x^ du sommet
OA
Pour que OA soit le plus grand possible avec une vitesse
Il8 COURS DE MÉCANIQUE.
initiale donnée, il faudra quesin 2 a soit maximum, c'est-à-dire que a soit égal à y Supposons que Ton veuille atteindre un
point B de Ox d'une abscisse moindre que — ^ l'inclinaison du tir sera donnée par
sin^a = -^ OB.
TZ
On voit qu'il y a deux solutions également distantes de -
On atteindra donc le point B par deux paraboles ; on verrait aisément que c'est par la parabole inférieure qu'on y arrive dans le temps le plus court.
On peut déterminer géométriquement la position de la parabole correspondant à un angle donné a; pour cela, nous allons d'abord établir que toutes les paraboles obtenues en faisant varier a ont pour directrice la droite D,
En effet, le paramètre de la parabole décrite par le mobile est
çl cos*a
l'ordonnée du sommet étant y'= — -> l'équation de la
directrice sera
C'est donc bien la droite D située à la hauteur à laquelle monterait le point s'il était lancé verticalement avec la vitesse Çq,
Cela posé, supposons donnée la tangente à l'origine Oi>o ; le fojer devra se trouver sur la droite OF telle que 0(^o soit bissectrice de l'angle FOD ; il devra aussi se trouver sur le
cercle décrit de O comme centre avec OD comme rayon ; il est donc à l'intersection de ces deux lignes.
On peut, comme exercice, en supposant Vq donné, chercher sous quel angle a il faut lancer le projectile pour atteindre un point déterminé M I du plan. On trouve que, pour que l'on puisse atteindre le point Mi, il faut qu'il soit à l'intérieur de la parabole ayant pour foyer O et pour sommet le point D ; cette parabole, tracée en traits ponctués sur la figure, s'appelle la parabole de sûreté; elle est l'enveloppe des trajectoires obtenues en laissant Vq constant et faisant varier a.
61 . Mouvement d'un point attiré ou repoussé par un centre fixe O proportionnellement à la distance. — Soit Po la position initiale du mobile ; deux cas sont à distinguer suivant que la vitesse initiale est : soit nulle, soit dirigée suivant OPo dans un sens arbitraire, ou suivant qu'elle fait avec OPo un angle différent de zéro.
• Dans le premier cas, il est évident que, par raison de symétrie, le point restera sur la droite OP© et que son mouvement sera rectiligne. Dans le deuxième cas, son mouvement sera curviligne. Nous étudierons d'abord le cas simple du mouvement rectiligne.
Mouvement rectiligne; cas de l'attraction. — Prenons pour origine le point attirant O et pour axe Ox la droite décrite par le point. Appelons Xq l'abscisse initiale et r© la valeur algébrique de la vitesse initiale (/^. 61). ^''^' ^'•
. Soit à l'instant t, x Tabscisse du mobile P, la force F appliquée au mobile est dirigée dans le sens PO et proportionnelle à la distance OP; sa valeur algébrique X est donc de signe contraire à ;r et
-•ci:
no COURS DE llÉCANIQtE.
proportionnelle à Xy et Ton a
K.^ étant une constante. L'équation du mouvement est donc
m —rz = — K*.r et en posant
Cette équation convient, que le point mobile soit à droite ou à gauche du centre attractif O.
Multiplions les deux membres de cette égalité par 2 -1-*
d^x dx ^ dx
(dx\* -^ j > le second est
celle de — to^x^; ces deux fonctions primitives ne diffèrent que par une constante k, puisque leurs dérivées sont égales; on a donc
dx Or gr est la valeur algébrique v de la vitesse ; à Finstant
initial, x =z Xq, ^' = <'o; on a donc, pour déterminer h^
l'équation
vl = — iii'jrj -f- h
qui donne pour h la valeur
A = pj -f- oj^xj.
h est une quantité essentiellement positive et supérieure k (ù^xl : nous pourrons donc poser h égal à un carré tù^a^y
avec a >■ x^. L'équalion du mouvement s'écrîl encore
Si nous supposons le mobile lancé avec une vitesse initiale c^ positive, il faudra prendre au. début le signe + devant le radical; lorsque x augmente, la vitesse diminue et s'annule au point A d'abscisse x = a.
A ce moment le punt revient sous l'effet de la force attractive, et il faut prendre le signe — devant le radical qui donnée; le mobile, dans celte nouvelle phase, va jusqu'au point A', x=^ — a, où sa vitesse s'annule de nouveau, etc.
L'équation (2) peut s'écrire
t ■ dx -
le premier membre est la dérivée, par rappori à (, . de arc sin -> le deuxième de bit: on a donc
a. étant une constante arbitraire ; d'oii
On a ainsi l'équation du mouvemeni.
C'est l'équation du mouvement vibratoire simple étudié au n- i3.
Si l'on veut exprimer les constantes a et a en fonction des coniditions initiales, on pourra compter le temps t à partir de l'instant initial; alors, pour f =: o la fonction x doit prendre une valeur a:,,, abscisse initiale, etsa dérivée -j unevaleurx^ égale à la valeur algébrique c» de la vitesse initiale. On a donc
formules déterminant a et a.
, -^nr?!
Si Ton développe le sin((o^ 4- a), qui figure dans Téqua lion (3) du mouvement, on a
(5) X = asinoLCOSbit -h a cosoisintot] d'où, en vertu des relations (4),
(6) X = Xq costat -\- — sintat.
Durée d'une oscillation. — La durée d'une oscillai ion simple est le temps que met le mobile à aller de A en A'. Or, à Finstant t^ ,
to^i -f- a = —>
on a
le mobile est au point A, et à l'instant t.2y
on a
le mobile est en A/ : la durée de l'oscillation simple est donc
