KM
moindre que ç, ou, comme a et (p sont aigus, tant que,
taDga^tangC'.
Or le triangle mN/?, dans lequel mN = N et fip donne
ta„ga=J.
Donc le glissement ne se produit pas tant que '
il se produit quand
- ^tang<p;
^ >tangcp.
La quantité tango s'appelle coefficient de froUement du
point matériel sur le plan. On désigne ordinairement ce
coefficient par/,
/= tang^.
Ce coefficient étant connu, on voit que le glissement ne se
produit pas tant que
On a ainsi les conditions d'équilibre d'un point pesant sur un plan incliné avec frottement.
Réaction du plan. — Nous avons dit que le plan produit
une résistance ou réaction qui est une force R appliquée au point en équilibre égale et opposée au poids.
Cette force R fait donc avec la normale également un angle moindre que <p. Si on la décompose en une composante normale N' (Jîg- 70) et une composante T' située dans le plan, N' est égale et opposée à N, T' égale et opposée à T. On a donc dans l'équilibre
MÉGANIQUE. l4l
67. Équilibre d'un point sur un plan sous l'action de forces quelconques. — Soit un plan fixe, un point m pouvant glisser sur ce plan, ce point étant sollicité par diCFérentes forces F|, F2, . . . , F;,, parmi lesquelles se trouve 'le poids; soit F la résultante de ces forces. Pour que le point supposé immobile ne glisse pas sur le plan, il faut et il suffit :
1° Que la force F soit dirigée de façon à appliquer le point contre, le plan;
2® Qu'elle fasse avec la normale au plan un angle moindre que l'angle de frottement cp du point sur le plan. Fig. 71.
Supposons qu'on décrive un cône de révolution {^fig^ 71) ayant pbur sommet m, pour axe la normale /nN au plan et pour demi-angle au sommet l'angle cp. Pour que le point m soit en équilibre, il faut et il suffit que la force F soit dans V intérieur de ce cône. On appelle ce cône le cône de frottement.
Si l'on décompose F en une force N normale au plan et une force T parallèle au plan, pour qu'il y ait équilibre il faut et il suffit que
Quand l'équilibre a lieu, le plan produit sur le point une réaction R égale et opposée à F : en décomposant cette réaction en une force N' normale au plan et une force T' parallèle au plan, N' est égale et parallèle à N, T' égale et parallèle à T; donc, dans l'équilibre, les deux composantes de la réaction du plan vérifient l'inégalité
T £/iY
l42 COURS DE VÉCANIQCE.
Ces inégalités expriment ce qu'on appelle les lois du /'rottement à l'état d'équilibre.
Remarque. — Comme cas limite, on considère quelquefois le cas idéal où il n'y aurait pas de frottement, c'est-à-dire le cas où le plan serait parfaitement poli; dans ce cas, le coefficient de frottement /"et l'angle cd sont nuls, et pour qu'il y ait équilibre, il faut et il suffit que la force soit dirigée de façon à appliquer le point sur le plan et normale au plan; les composantes T et T' sont nulles dans l'équilibre.
Application
Fig. 72.
Équilibre limite d'un point pesant sur un plan horizontal sous l'action d'une force horizontale. — Soit/7 le poids du point, q la force horizontale appliquée au point (Jig. 77).
Ces deux forces ont une résultante F : pour que le point reste en équilibre, il faut et il suffit que F fasse avec la normale un angle a
moindre que (f ; on a évidemment
g tanga = — ,
Donc, pour l'équilibre, il faut^et il suffit que l'on ait
^tang(p, qâfP' f désignant le coefficient de frottement.
68. Loi du frottement de glissement à l'état de mouvement* — Nous venons de voir suivant quelles lois s'exerce la réaction d'un plan sur un point pouvant glisser sur le plan, lorsque ce point est en équilibre.
Quand le point glisse sur le plan, les lois de la réaction sont changées. Soit m le point mobile, V sa vitesse {fig» 78) à l'instant t] cette vitesse est un vecteur du plan. La réac-
lion R du plan sur le point est une force oblique au plan; décomposons cette force en une force normale N' el une force parallèle au planT*; la force normale est située par rapport au plan du côté où est placé le point; elle a une grandeur quelconque; la force tangentielle T' est dirigée en sens contraire ' ' '
de la vitesse V du point et sa grandeur est donnée par la relation T' = /N',
/ étant le coefticient de frottement du
point sur le plan. On voit que quand il y a équilibre on a,
T'^/N'; au contraire, quand il y a mouvement,
Application. HouToment rectiligne d'un point pesant sur on plan horizontal sous l'action d'une force constante. — Soit un point matériel de poids /> posé sur un plan horizontal et sollicité par une force constante en grandeur et en direction g parallèle au plan. Nous supposons qu'à l'instant ( = o le pointsoit abandonné à lui-même ou lancé avec la vitesse Vq dans la direction de g, soit dans le sens de q, soit en sens contraire. Le mouvement est alors rectilîgneet le point décrit une portion de droite parallèle à q.
T cas. — Le point est abandonné sans vitesse. Si q%/p, 'le Tpoinl reste immobile(comme nous l'avons vu). Si q'^/p, le point se met à glisser dans le sens de q : prenons sa position initiale comme origine O et la droite qu'il décrit comme axe Ox{Jig. 74)1 1^ sens positif étant celui de q. La vitesse v du point à un instant quelconque est dans le sens Ae q; le plan exerce sur le point une réaction R qu'on peut décomposer en une force normale N' el
Fig. 74.
une force tangentielle T'; la force T' est de sens contraire de la vitesse et égale à /N'.
Cela posé, remarquons d'abord que N' ==./>. Le point mobile m est sollicité par les quatre forces q^ /?, T', N'. Comme
il décrit une droite, son accélération Y est dirigée suivant cette droite, et par suite aussi la résultante my de toutes les.
forces qui lui sont appliquées.
La force N' doit donc être égale et opposée à /?.
La force T' égale à fW est donc égale à fp. Comme q est supposé s-upérieur à //?, les deux forces q et fp se composent en une seule q — fp dirigée dans le sens O^ du mouvement. Comme q est constant par hypothèse, on voit qu'on est ramené au mouvement rectiligne uniformément accéléré d'un point sous l'action d'une force constante, le point partant de l'origine sans vitesse.
L'équation du mouvement est
On en déduit ,
sans ajouter de constante, puisque la vitesse initiale est supposée nulle; puis
sans ajouter de constante, puisque le mobile part de O.
Deuxième cas. — Le point est lancé dans le sens de q avec une vitesse Pq? la vitesse variant d'une façon continue est, au commencement du mouvement, dans le sens de q\ donc T'
'IIV'
MÉCANIQUE. t45
est en sens contraire et l'équation du mouvement est encore
\^ Si q<,fpt le mouvement est uniformément retardé, on a
m — ={q—fp)t-hmvoy la vitesse s'annule au bout du temps
fp-q'
tx =
A cet instant le mobile occupe une certaine position m^ {fig- 75.) facile à obtenir par la formule
mx = - (q — fp)t^-3^ mvç^t
qui donne le chemin parcouru ; il se trouve alors dans les
Fig. 75.
V„ T' rw g nv^
mêmes conditions que s'il était abandonné en m^ sur le plan, sans vitesse initiale, et il reste immobile en /nj, car q <^fp.
En résumé, le mouvement est uniformément retardé, et au moment où la vitesse s'annule le point s'arrête et reste immobile. C'est là le fait qui se produit, par exemple, pour q = o\ si on lance une pierre sur un plan horizontal, elle décrit une droite avec une vitesse décroissante et finit par s'arrêter.
2® Si q>fp^ le point se meut sur Ox d'un mouvement uniformément accéléré.
3® Si q =p fq^ l'équation du mouvement-est
le mouvement est rectiligne et uniforme.
l4& COURS DE MÉCANIQUE.
Troisième cas. — Le point est lancé en sens contraire de q. Prenons le sens de la vitesse initiale v^ comme sens des x positif. Dans une position m, la vitesse du mobile est dans le sens positif {^fig* 76), donc T' est dans le sens négatif comme q\ les deux forces T' z=zfp et y s'ajoutent alors pour
Fig. 76.
TTLi
donner une force q +/p dans le sens négatif. L'équation du mouvement est
dt*
= -(9-^fp)^
elle définit un mouvement d'abord uniformément retardé; on en déduit
dût/
Le point arrive au bout du temps
dans la position m< où sa vitesse s'annule. A partir de ce moment, il est dans les conditions du premier cas ; il se. comporte comme s'il était abandonné sans vitesse initiale sur le plan sous l'action de la force q»
Si q =//>, il reste immobile en /Wi ;
Si q ^fp-i il revient sur ses pas d'un mouvement uniformément accéléré d'accélération ^ JP
Cas où la force q cesserait d'ag^ir à un certain instant. — Si, à un instant où le mobile a une vitesse v^^ q devenait nul, l'équation du mouvement serait
= -fP\
MÉGAI^IQUE. l47
et le mobile, après avoir pris un mouvement uniformément retardé, s'arrêterait dans la position où sa vitesse devient •mille; c'est, comme nous l'avons déjà dit, le cas d'une pierre lancée sur un plan horizontal. Si, en même temps, le frottement était nul, on aurait
le mouvement serait rectiligne et uniforme. Oïl peiit approcher de ce cas idéal en lançant un morceau de glace sur un plan de glace horizontal; le mouvement est sensiblement uniforme, carie frottement, sans être entièrement nul, devient très faible.
69. Mouvement d'un point sur un plan incliné sans frottement. — Quand un point se meut sur un plan incliné sans frottement, /= o; la composante tangentielle T' de la réaction du plan sur le point est nulle, et cette réaction se réduit à sa composante normale N'
Soit alors un point pesant m de poidsjt? mobile, sans frottement, sur un plan incliné, faisant un angle a avec l'horizon. Soit N' la réaction du plan sur le point; décomposons p en deux composantes, l'une T = /?sina située dans le plan et dirigée suivant
la ligne de plus grande pente, vers le bas, l'autre N=/7 cosx normale au plan. Le point se meut sous l'action des trois forcer T, N et N'. Comme il reste dans le plan, son accélération Y est dans le plan : la résultante des forces qui lui sont appliquées, étant égale à my, est donc aussi dans le plan. On a donc
N'= N =/>cosa,
i^S COURS DE MÉCANIQUE.
et la résultante des forces agissant sur le point est la force
T =/> sina,
constante en grandeur, direction et sens,
,,■ On pourra alors appliquer au mouvement produit par cette
S; force tout ce que nous avons dit du mouvement d'un point
sous l'action d'une force constante. Si le point est lancé ^^ suivant une ligne de plus grande pente, vers le haut ou vers
î le bas, ou abandonné à lui-même, il prend un mouvement uni-
. formément retardé ou accéléré d'accélération = ^ sina.
S'il est lancé dans une autre direction dans le plan, il prend
un mouvement parabolique.
