Pression totale ; Pression par unité de surface

Gomme application de ce principe général, nous pouvons,

MÉGANIQUE. l49

dans les exercices précédents relatifs au mouvement d'un point sur*un plan, déterminer ce qu'on appelle la pression totale du point sur ce plan ou force pressante.

Nous avons vu que, quand un point est en équilibre ou en mouvement sur un plan, la résistance du plan sur lui ou la réaction du plan sur lui est une force R ayant une composante normale au plan N' et une composante parallèle au plan T'. Nous avons douné successivement les lois de ces forces dans l'hypothèse de l'équilibre, puis dans celle du mouvement.

D'après le principe de l'égalité de l'action et de la réaction, puisque le plan agit sur le point en produisant une force R . appliquée au point, celui-ci doit agir à son tour sur le plan et produire une force — (R) égale et opposée à R et appliquée au plan.

C'est cette force qu'on appelle pression totale du point sur le plan.

Cette pression totale pourra comme R se décomposer en deux forces, l'une — (N) normale au plan, égale et opposée ' à N', l'autre — (T') parallèle au plan, égale et opposée à T'.

On pourra appliquer ces considérations à chacun des pro- • blêmes précédents.

Par exemple, pour un point pesant en équilibre sur un plan incliné avec frottement (66), l'angle a étant au plus égal à cp, la pression totale du point sur le plan est égale et opposée à la réaction R du plan sur le point. Mais, comme R est égal et opposé au poids du point, la pression totale du point sur le plan est précisément égale au poids.

Si un point pesant de poids/? glisse sur un plan horizontal, sous l'action d'une force constante q parallèle au plan (68), la réaction R du plan a une composante normale N' égale et opposée à/? et une composante tangentielle T*=fp opposée à la vitesse V; la pression totale du point sur le plan a donc une composante normale égale au poids et une composante tangentielle égale à fp dirigée suivant la vitesse V. La près-

l50 COURS DE MÉCATilQUB.

sion totale est donc

^ ^ '' COSçp

%■ Enfin, si un point pesant glisse sans frottement sur un plan

fo^' incliné faisant l'angle a avec l'horizon, /est nul, T est nul,

la réaction du plan se réduit à la composante normale N'=/?cosa et la pression totale du point sur le plan, égale et opposée à N', est normale au plan et égale à p cosa.

Quand un corps de dimensions finies est en repos sur un plan horizontal qu'il touche par une surface plane S, on appelle \^ pression par unité de surface ro le quotient de la pression

U totale, c'est-à-dire du poids P du corps par S,

La pression par unité de surface n'a pas, comme la , pression totale, les dimensions d'une force ; on voit, d'après

l'équation (i), que ses dimensions sont L"*MT~^. ^ L'identité complète des termes par lesquels on désigne, % ' dans l'usage courant, ces deux grandeurs de na'ture si difle-

|, rente, tend à créer une confusion que les considérations

d'homogénéité devront toujours permettre de dissiper facilement dans les calculs algébriques; dans les applications numériques, on distinguera les pressions totales et les pres- \-. sions par unité de surface par l'indication exacte des unités

servant à les mesurer.

72. Pendule simple, petites oscillations. — Considérons un point pesant de massç m rattaché à un point fixe O par un fil inextensible et sans masse. Supposons que ce point soit lancé dans un plan vertical passant par O ; il décrit alors un arc de cercle de centre O. Pour étudier son mouvement, appelons O' le point le plus bas de la circonférence, et 9 l'angle que fait, à l'instant ^, le rayon Ont avec le rayon

Tttg

MÉCANIQUE. l5l

vertical 00', cet angle étant regardé comme positif à droite et comme négatif à gauche (^fig- 78).

Prenons le point O' comme origine des arcs s sur la circonférence et comptons ces arcs positivement vers la droite, dans le sens O'^. On aura évidemment

/ désignant la longueur du pendule.

La masse m se meut dans le champ de force uniforme de la pesanteur d'intensité g\ elle est donc sollicitée par une force m g qui est son poids /?, et qui est parallèle à O O' ; au même point matériel est appliquée la tension du fil N' dirigée suivant le fil, c'est-à-dire de m vers O ; il est évident, en effet, que le fil doit tirer sur le point avec une certaine force pour l'empêcher de s^éloigner du centre.

Nous allons chercher l'accélération tangentielle y^ du mobile estimée positivement dans le sens m T de la tangente menée dans le sens des arcs positifs.

Décomposons le poids mg en deux forces, l'une

N = mg cos6

normale au cercle, l'autre

q =5 mg sin 6

tangente au cercle, et remarquons que cette composante est dirigée en sens contraire de /wT. Les deux forces normales N et N' ont une résultante N| normale au cercle, de sorte que, finalement, le point est sollicité par une force tangente q et par une force normale N< dont la valeur estimée positivement dans le sens /nO est N4 = N' — N.

L'accélération est égale à la résultante des forces agissant

lit OOCU ME «ÉCISKKC

>ur le point divi&ée par m : elle a donc une composante ' tangeoiielle égale eD graDdeur â — • avant mêmes direction et sens que y. et nne composante normale égale à — -

Ld valeur de la composante tangentielle de raccélératiou estimée positivement dans le sens mT est alors — — ; d'antre

part, cette valeur est dans un mouvement quelconque ^j ■ on a donc Péquation

ou, en remplaçant s par li et q par m^sin^

rfï* ■

il faudrait tirer de cette équation d en fonction de t, de telle façon que pour / = o d ait une valeur donnée correspondant à l'écart initial et que

dt ,^ *' ~ dt~ dt

prenne une valeur algébrique donnée c* égale à la vitesse initiale imprimée au point.

Le problème ainsi posé dépasse les limites d'une analyse élémentaire, siTon veut le traiter rigoureusement. Mais, dans les applications à la Physique, on suppose ordinairement qu'à l'instant t^o, H prenne une valeur très petite Sg et que la vitesse initiale soit nulle ; -r. ou Q', est donc nul pour t^o. Le pendule oscille alors en s'écartant très peu de la position d'équilibre 00'. L'arc 9 restant très petit, on peut remplacer, avec une grande approximation, sinS par S et l'équation du mouvement devient (•,^ '^'^~ ^a

Celle équalion est de la forme

Or, nous avons vu ( n" 61 ) que la solulion de celle dern: ëqualion, qui pread la valeur x^ pour ( = o et dont la déri prend la valeur x\ pour ( = o, est donnée par la formule

On aura donc, en remplaçant x par 6, Xg par et remarquant que 6|, est supposé nul,

C'est là l'équation des petites oscillations d'un pent simple, l'amplitude des oscillations étant 0,. On voitqu'

époques o, «t/-i •mil - , ■•■i\a. valeur de 9 est alternat ment Qoi — Oa, .... La durée de l'oscillation simple est d

•vl-

-En se plaçant dans le cas général, on peut terminer rigoureusement la vitesse dans un mouvement ^ dulaire, comme il suit. Multiplions les deux membres de (i)

2t-. nous aurons

^ dl dn

Sous cette formç, le premier membre est la dérivée de ( par rapport à ( et le deuxième de a ^ cosO. Ces deux foucti ayant des dérivées égales difi'èrent par une constante, don

l54 COURS DE MÉGANIQUE.

la vitesse v du pendule étant

ds , rf6 dt dt

cette formule équivaut à

p« = 2^/ cos ô + A, •

h étant une constante.

A rinstant initial = Oo? ^ = ^o> donc

h=vl — 2^/cos6o;

la formule qui donne v est alors

P« — pj = a^/(cos6 — cosôo),

et si la vitesse initiale est nulle,

p« = a^/(co'sô — cosôo).

Dans le courant d'une oscillation simple, 9 varie de Oo à — Oo) ^ part de zéro et revient à zéro en passant par un maximum pour == o, c'est-à-dire au moment où le pendule passe par la verticale.