COURS D£ MÉCANIQUE

122. Balance. — " La balance se compose d'un levier horizontal ovi fléau ^ ayant un a-xe fixe en son milieu {fig* i^S); un prisme triangulaire O appelé couteau est implanté perpendiculairement au fléau, et repose par son arête inférieure sur un plan poli et dur; c'est cette arête qui constitue l'axé

Fig. 125.

de rotation. Il y a de même aux extrémités A et By deux •petits prismes placés en sens inverse du précédent et sur. les arêtes desquels s'appuient les pièces, crochets ou plans a, p, auxquelles sont fixés les plateaux de la balance. Une aiguille a reliée au fléau se déplace devant une graduation et se trouve au zéro quand le fléau est horizontal.

Projetons sur un plan perpendiculaire à l'axe du couteau et appelons points de suspension du fléau et du plateau les projections des points ou arêtes de suspension sur ce plan.

Supposons les points de suspension en. ligne droite. Si ïe centre de gravité du fléau. était exactement au point de suspension, il serait en équilibre indifi'érent; pour lui donûer un équilibre stable, il faut que son centre de gravité soit au-dessous du point d'appui.

Il est facile, dès lors, de calculer l'angle dont s'inclinera le fléau sous une surcharge déterminée^

La balance étant en équilibre, les plateaux se placent de façon que leurs centres de gravité respectifs viennent dans la verticale de leurs points de suspension.

Soient P les poids égaiMt appliqués aux extrémités du fléau et qui comprennent le poids du plateau et des corps qui y sont placés, w le poids du fléau appliqué en son centre de gravité G. Désignons par / la longueur commune OA = OB des braâ de levier d\\ fléau supposés égaux, et par d la dis--

tance OG; ajoutons une surcharge /? à droite : le fléau s'iilclinera d'un aixgle 6 (Jiff- 1 26) et nous aurons, en appliquant le théorème des moments par rapport à l'arête du couteau

P/cos6 -hwdsin^ = (P -^p) /cos6,

d'où l'o^ tire

lang6 =

On voit que la sensibilité de la bafance, c'est-à-dire l'angle dont elle s'inclinera pour une surcharge égale à i^^y par exemple, sera, toutes choses égales d'ailleurs :

, I® Proportionnelle à /, et en raison inverse de rzr; mais il ne faut pas oublier- que ns est fonction de / et c'est au

ïnfïi

constructeur à voir s^il n'y a pas avantage, pour d'autres raisons, à construire des balances à courts fléaux ;

2** En raison inverse de d;

3^ Indépendante de la charge 2 P.

La formule montre que, toutes les fois que l'angle est assez petit pour qu'on puisse confondre la tangente avec l'arc, l'angle dont s'inclinera la balance sera proportionnel à la surcharge quand cette dernière sera fort petite.

La position d'équilibre est stable, car si le fléau fait un angle 0| inférieur à celui qui convient à l'équilibre, le moment />/cos&i est supérieur au moment me/ sinO|, la force p fait tourner le fléau vers la position d'équilibre, et inversement si cette position a été dépassée, l'angle Oa étant plus grand que 0, c'est le moment md sinOa qui est le plus grand et la force cr ramène le fléau à la position d'équilibre.

Supposons les trois points AOB non en ligne droite. Dési-

Fig. 127.

gnons par / et l' les longueurs OB et OA et appelons'^ et ç' les angles que font ces droites avec la droite OG.

Soit l'angle d'inclinaison de la balance pour une surcharge déterminée p (Jiff- 127), nous aurons, en appliquant comme ci-dessus le théorème des moments,

(P4-/>)/sin(cp — O) = P'/'sin((ï)'-+-0)-+-Tïjrfsine,

UÉCANIQUE. 1)39

d'où nous lirons

tango - (p j^^ ^ ^^^^ ^ P'/'cos<p'-+- wrf'

Si, pour simplifier, nous supposons 1= C^ o = (p'^ P = P'^ nous obtenons la formule

(P -H/>) / sin (<p — 6) = P/ sin(<p -H 6) -4- wû?sine,

d'où nous tirons

/ X /» p/ sin 9

(2) tange = ^-î5 ^— ï — ^^^ :i

° (aP-h/?) /coscp -f-wa

si l'on y fait (p = -; on retrouve la formule (i). Cette formule

montre que la sensibilité n'est pas indépendante de la charge totale.

123. Méthodes de pesée. — Une balance est dite juste quand son fléau reste en équilibre à la position zéro si on charge ses plateaux de poids égaux; la balance est soumise alors à l'action de trois forces, les deux poids P égaux et son poids ny; à l'équilibre, cette dernière force est appliquée au point G qui doit venir se placer dans le plan vertical passant par le point O. On doit donc avoir comme condition d'équilibre, en appelant / et /' les bras de levier du fléau,

P/ = P/', c'est-à-dire

Pour qu'une balance soit juste, il faut et il suffit que ses deux bras de levier soient égaux.

On ne peut admettre que cette condition est remplie que s'il s'agit de pesées commerciales; mais s'il s'agit de [pesées faites dans le laboratoire de recherches scientifiques, s'il faut par exemple peser i''^ avec une approximation de i™6^ l'erreur

f r ^vrv

relative admise est de — r > et il est évident que le construc-

teur ne peut pas répondre que l'égalité des bras de levier ne comportera pas une erreur relative plus grande.

On ne peut donc admettre que la condition de justesse soit remplie.

La méthode de double pesée imaginée par Borda consiste à placer le corps à peser dans l'un des plateaux et à l'équilibrer par une tare placée sur l'autre plateau ; on enlève ensuite le corps et on le remplace par des poids marqués dont' la somme fait connaître le poids cherché ; mais quand on charge la balance, on doit admettre que les trois points de suspension ne restent pas en ligne droite, et alors la sensibilité varie avec chaque pesée ; pour éviter cet inconvénient on pèsera par la méthode dite à charge constante qui est une méthode de double pesée à sensibilité constante.

Supposons qu'on opè^e avec une balance capable de peser i^^ avec une sensibilité de i"Sj on met dans l'un des plateaux un poids unique de i^^ et dans l'autre toute la série des poids divisionnaires dont la somme fait également i''^. Si la balance est juste, elle reste au zéro, sinon on l'y ramène par une tare placée du côté convenable ; on place en second lieu le corps du côté des poids divisionnaires et l'on enlève un certain nombre de ceux-ci jusqu'à ce que l'équilibre soit rétabli; la somme des poids enlevés représente le poids du corps par double pesée. Les pesées successives doivent se faire sans changer ni le poids de i^^, ni la tare; elles se font donc à sensibilité constante puisque (2P +/?) est une constante.

124. Balance romaine. — La balance dite romaine se .compose d'un levier du premier genre assujetti à tourner autour d'un point fixe B {Jiff* 128). Qn suspend à l'extrémité A, à l'aide d'un crochet, le fardeau à peser, on lui fait équilibre par un poids constant/? soutenu par un anneau que

Ton fait glisser le long du bras BG. Appelons / le bras AB, d la dislance GB du centre de gravité du levier au point B et Ts le poids du levier. L'équation d'équilibre est

^l^Tsd=^px BG'.

Appelons G le point où il faut placer le poids mobile/?

pour obtenir l'équilibre quand il n'y a aucun fardeau attaché en A, l'équation d'équilibre se réduludans ce cas à

xsd= pBC\

retranchons les. égalités (i) et (2), membre à membre,

d'où