Corps s'appuyant sur un plan fixe

I® Cas d'un seul point d'appui. — Considérons d'abord le cos où le corps ne s'appuie que par un point sur le plan fixe ; le plan exerce sur le corps une réaction normale, si nous supposons que le corps peut glisser sans frottement. Le corps peut être considéré comme libre, mais soumis aux forces F|, F2, ..., F«, qui agissent directement sur lui, et à cette réaction Q. Pour que le corps soit en équilibre, il faut que les forces F aient une résultante unique égale et directement opposée à Q(Jig' 117)7 c'est-à-dire que les forces données

aient une résultante passant par le point d'appui, normale au plan et dirigée de façon à appliquer le corps sur le plan. Ces conditions sont évidemment suffisantes, car, lorsqu'elles sont remplies, la résultante ne peut déterminer aucun glissement et est détruite par la fixité du plan qui développe une réaction égale et opposée à Q. Il serait aisé de retrouver analytiquement ces résultats.

2^ Cas de plusieurs points d'appui en ligne droite. — Admettons que le corps s'appuie sur le plan fixe ûs Oy par des points A|, A2, . . ., A^ de la droite Ox. En tous ces points, le plan exerce des réactions normales Qi, Q2, . . ., Qp, toutes dirigées dans le même sens (Jiff- 118). Ces forcés ont une

■', ^C^m*Ty.^J

résultante Q normale au plan, dirigée dans le même sens, et dont le point d'application tombe sur Ox entre les points extrêmes A|, A^,.

Pour que l'équilibre ait lieu, il faut que les forces données fassent équilibre aux réactions du plan, c'est-à-dire qu'elles aient une résultante unique, normale au plan, dirigée de façon à appliquer le corps sur le plan, et dont le prolonge*

Fig. 118.

ment rencontre O^ en un point situé entre A| et Aj^. Ces conditions nécessaires sont suffisantes, car cette résultante peut alors être décomposée en deux autres j normales au plan et appliquées en deux points d'appui; ces forces seront détruites par la résistance du plan.

Pour exprimer analytiquement ces conditions, nous prendrons pour axe des x la droite Oj?, l'axe des z normal au plan et situé du même côté que le corps par rapport à ce plan. Toutes les réactions Q<, Q2, ..., Q^ sont alors positives ou nulles. Les équations d'équilibre sont

X:^o, Y = o, Z-+-Qi-i-Qi-h...-hQp = o; L = o, M — «iQi — ajQj... — apQ^=o. . N = o,

en désignant par ai, aa, . . ., (Zp les abscisses des points d'appui. Quatre de ces équations X = o, Y = o, L = o, N = o, qui sont indépendantes des réactions, expriment des conditions nécessaires d'équilibre; elles montrent que les forces données doivent avoir une résultante unique normale

228 COUtiS DE MÉCANIQUE.

au plan des icy et rencontrant l'axe des x, La troisième équation nous montre que Z doit être négatif, c'est-à-dire que la résultante doit être dirigée de façon à appliquer le corps sur le plan. Soit x l'abscisse du point où la résultante rencontre Ox^ Son moment par rapport à Oy sera M = — ^ ;rZ; on devra donc avoir

ipZ -h ai Qi M- aj Qj -f- . . . H- a^ Q^ = o, d'où l'on tire, en remplaçant Z par sa valeur,

AiQi-t-«jQî

Qi^-Qï-f-

et cette quantité est, comme on sait, comprise- entre les deux valeurs extrêmes a^ et a^,, car les quantités Q^, Q2, . . ., Q/, sont positives; le prolongement de la résultante renoontre donc Ox entre les points d'appui extrêmes.

Les réaction§ du plan doivent maintenant vérifier les deux équations

Z -H Q|+ Qi-f-...-!- Qp=:0.

M -r- «1 Qi — «j Qî — . . . — ap Qp =«= o.

S'il n'y a que deux points d'appui, elles donnent les deux réactions. S'il y a plus de deux points d'appui, les réactions ne sont pas déterminées par ces deux relations* On les déterminerait en introduisant des considérations d'élasticité.

3® Cas génôraL — Supposons que le corps solide repose sur le plan fixe par une série de points A^, A2, . . .,'A^ non en. ligne droite. Le plan exerce des réactions normales Q,, Q2, ..., Q;?, qui ont une résiiltante unique Q, car elles sont toutes dirigées dans le même sens et, d'après ce que Ton* a vu sur la composition des forces parallèles, le point où cette résultante perce le plan est situé à l'intérieur de tout polygone convexe qui renferme tous les points d'appui ; en particulier, il est à l'intérieur du polygone de sustentation^

polygone convexe dont- les sommets sont des points d'appui et qui renferme tous les autres points d'appui dans son intérieur. Pour qu'il y ait équilibre, il faut que les forces données fassent équilibre à la résultante Q ; il faut donc que les forces F aient une résultante unique normale au.plan, dirigée de façon à appliquer le corps sur le plan et qui le traverse à l'intérieur du polygone de sustentation. Ces conditions sont suffisantes, •car,^ dans ces hypothèses, on pourra toujours décomposer . cette résultante en trois forces normales au plan et appliquées à trois des points d'appui, forces qui seront détruites par la résistance du plan*

Prenons, comme plus* haut, le plan fixe pour. plan des xy*^ le corps pouvant être considéré comme libre, mais soumis à l'action des forces F<, F2, . . ., F^, Q^, Q2, .. ., Q/>, les conditions d'équilibre seront, en désignant par ai, 6| , a^^ b^] . . les coordonnées des points d'appui,

Les équations (i), étant indépendantes dès réactions, expriment une condition nécessaire d'équilibre : c'est que les forces données aient une résultante unique normale au plan; en effet, la quantité LX + MY -|- NZ est nulle, et l'on ne ne peut avoir Z=:;o, sans qux)i toutes les réactions seraient nulles, puisqu'elles ne peuvent être que positives ou nulles. Dans ce ca§ particulier, où toutes les réactions seraient nulles, Z, L et M seraient nuls, il y aurait équilibre entre les forces directement appliquées. En écartant ce cas d'équilibre évident, on voit que les forces F^^ ..., F« doivent avoir une résultante normale au plan; il faut, en outre, que Z soit négatif, comme il résulte de la première des équations (2), et que la résultante unique perce le plan des ûcy à l'intérieur du

Ql-

Qi-^

ôtQj

.-f- bp

Qi-

. — dp

Qp =

a3o COURS DE MECANIQUE.

polygone de susientlaition, condition que l'on déduirait des deux dernières équations (2)- S'il n'y a que trois points d'appui, non en ligne droite, les équations (2) permettent de déterminer les trois réactions. S'il y en a plus, il faut tenir compte de l'élasticité des corps.

118. Machines simples. — Les machines simples sont constituées par un corps solide non libre, ayaht un point fixe ou un axe fixe. Ces machines sont destinées à transformer l'action des forces; elles servent à équilibrer, au moyen de forces nommées puissances, d'autres forces nommées résistances.

Le premier type de machine simple est le levier formé par un corps solide mobile autour d'un point fixe.

Le second type de machine simple est le treuil constitué par un solide qui tourne autour d'un axe fixe.

Les balances, les poulies et les moufles sont des machines constituées par des solides articulés les uns aux autres par des points ou des axes. Quoique ce ne soient plus à proprement parler des machines simples, nous donnerons leur théorie qui découle immédiatement de celle des *deux machines simples.

119. Levier. — Soit une barre AB ayant un point fixe O {Jig* 119); en B est appliquée une résistance Q et

Fig. 119.

en A une puissance P ; négligeons le poids de la barre et cherchons la condition pour que ces deux forces se fassent équi-

•-rfr,^-

libre ; il faut et il suffît qu'elles aient une résultante unique et qui passe par le point fixe; pour cela il faut et il suffit :

1° Que la puissance et la résistance soient dans un même plan contenant le point d'appui.

2® Que la somme des moments des composantes par rapport au point fixe soit nulle, ce qui donne l'égalité

P X 0/> = Q X Oy.

Op etOq sont les bras du levier; la puissance et la résistance doivent être inversement proportionnelles aux bras du levier^

Il existe trois genres de leviers :

Premier genre, — Le point d'appui O {fig* 1 20* ) est compris entre les points A. et B d'application de la puissance et de la résistance ; la pince des tailleurs de pierre, le gouvernail des bateaux en sont des exemples ; les ciseaux sont des leviers doubles du premier genre, ainsi que les tenailles.

Deuxième genre, — Le point d'application Bde la résistance est placé entre le point d'appui O et le point d'applica-

Fig. 120.

tion A de la puissance {fig» 120^); la brouette est le tjpe de ce genre de levier.

Troisième genre. — Le point d'application A de la puissance est placé entre le point d'appui O et le point d'application B de la résistance ; c'est le cas de la pédale du rémou-

292 COOKS DE liECAMQUE.

lear{^g. 120*); les pincettes sont formées d'un levier double de troisième genre.

Dans les deux premiers genres, la résistance est dans la pratique plus grande que la puissance; dans le troisième elle est toujours plus petite.

Dans la pratique, le point fixe est remplacé par une petite surface ou par un axe fixe; la théorie se rapproche alors de celte du treuil et les conditions d'équilibre se simplifient; il n'est, en, effet, alors pas nécessaire que la puissance et la résislance soient exactement dans un même plan avec le point d'appui; il suffitde passer en revue les divers exemples qu'on donne le plus souvent des leviers des trois genres pour reconnaître l'exactitude de,cette remarque.

120. Treuil. — Quand un solide mobile autour d'un axe fixe est sollicité par deux forces, il faut et il suffit, pour qu'il

Pîg. n..

j ait équilibre, que la somme algébrique des moments des deux forces par rapport à l'axe soit nulle : il suffit donc de projeter les deux forces sur un<plan perpendiculaire à l'axe

. MÉCANIQUE. t;i33

et d'écrire que la somme des moments des deux projections par rapport au pied de l'axe* est nulle. Le treuil est un corps solide assujetti à tourner autour d'un axe fixe, permettant de transformer un mouvement circulaire en un mouvement rectiligne.

Il se compose d'un cylindre en bois ou en métal, Varbre du treuil (Jig. 121), terminé à ses extrémités par des tourillons reposant sur deux supports ou coussinets. Sur ce cylindre est enroulée une corde fixée par une de ses extrémités au cylindre même et soutenant par l'autre bout le fardeau Q à élever; nous supjposerons l'axe de rotation Koricontai.. Ce cylindre porte une roue d'un plus grand diamètre à laquelle est appliquée tangentiellement la puissance P.

La condition d'équilibre est que la somme algébrique des moments des forces qui agissent sur le tour ou treuil, par

Fig, 122.

rapport à son axe, soit nulle (Jig- 122). Si donc on appelle r le rayon du cylindre et R le rayon de la roue, on doit avoir

PR = Qr.

La puissance est à la résistance comme le rayon du cylindre est au rayon de la roue.

On peut agir sur la grande roue au moyen d'une corde ; on peut la remplacer par une manivelle, ou par une ou plusieurs barres traversant le cylindre normalement.

334 COURS DE yÉCANIQDE.

Dans le treuil des carriers {fig. i a3) la grande roue porte des chevilles sur lesquelles un homme se déplace; en passant d'une cheville à celle qui est au-dessus, le bras de levier de la puissance augmente. Il arrivera un instant où le mouvement de la puissance l'emportera sur celui de la résistance, le fardeau s'élèvera ; mais l'homme devra alors passer sur la che-

Fig. ia3.

ville suivante de façon à conserver une position^ immobile dans l'espace'; sans quoi, entraîné parla roue, il reviendrait à une position telle que, le moment de la puissance étant égal à celui de la résistance, le fardeau cesserait de s'élever.

Le cabestan est un treuil à axe vertical manœuvré par des barres fixes horizontales; iajlg. 124 suffit à en faire comprendre la disposition. La seule difTérence vient de ce que la

corde n'est pas fixée à l'arLre du treuil, elle fait seulement quelques tours sur le cylindre et le brin libre est tiré par un

homme ; l'expérience montre que la traction ainsi exercée et l'enroulement de la corde déterminent une adhérence suffisante pour s'opposer à tout glissement.

121, Bemarque sur les systèmes dèformables. — Les machines que nous allons examiner maintenant sont formées pour la plupart de plusieurs solides articulés les uns aux autres par des points ou des axes, ou reliés par des cordes : ces machines forment donc des systèmes matériels déformahles. Pour qu'un système de ce genre soit en équilibre dans une certaine position, il faut que les forces extérieures qui lui sont appliquées remplissent les six conditions d'équilibre d'un système de forces appbquées à un corps solide. En êfTet, si ce système déformable est en équilibre sous l'action de certaines forces, il restera, a fortiori, en équilibre si on le solidifie, c'est-à-dire si on lie invariablement entre eux les corps qui le constituent de façon à former un seul corps solide. Dès lors, les forces appliquées au système doivent vérifier les conditions d'équilibre d'un système de forces appliquées à un solide.