I -H :;^ sincp
Il y a donc équilibre entre ces deux limites et les conditions d'équilibre sont en définitive exprimées par des inégalités.
127, Poulie mobile. — La poulie repose par sa gorge sur une corde, dont une extrémité est liée à un point fixe A,* l'autre, B, étant tirée par une force P, la puissance {Jig» i35). Le fardeau, qui constitue la résistance, est attaché à la chape et peut être figuré par une force Q appliquée au centre de la poulie.
La réaction du point fixe A sur la corde est une tension T
HÉCANIOUE. X49
dirigée suivant A) A {fig- i36); l'équilibre doit donc avoir lieu entre ces trois forces P, T et R que l'on peut supposer
Fig. -35.
appliquées en A, B et O; il faut pour cela qu'elles soient dans un même plan, qu'elles concourent en un même point et
s'y fassent équilibre. La résistance Q doit donc être dans le plan de la poulie ; les forcée P et T doivent se rencontrer en
25o COURS DE MÉCANIQUE.
un point M sur OQ ; elles font donc des angles égaux avec
cette droite et, comme leur résultante doit être égale et
opposée à Q, qui est dirigée suivant la bissectrice de
l'angle BMA, il en résulte que l'on doit avoir P = T-; la tension
est donc la même tout le long de la corde.
. Si l'on appelle 2 a l'angle des cordes, on a donc, comme
dans le calcul de la pression totale sur l'axe de la poulie
fixe,
Q = 2 P cos a
ou
2 COS a
Quand on tire sur la corde B, la poulie s'élève, a augmente, la puissance augmente également, et il faudrait une puissance théoriquement infinie pour amener la poulie à reposer sur vme corde tendue horizontalement. On doit donc 'chercher à s'éloigner, autant que possible, de ce cas limite si désavantageux; si, au contraire, les cordes sont parallèles et verticales, on a
la puissance est moitié du fardeau à soulever.
128. Combinaison de poulies. — On peut combiner des poulies fixes et des poulies mobiles; on. obtient ainsi des appareils qui peuvent élever de très lourds fardeaux :
I® Première combinaison. — Le fardeau est attaché à une première poulie mobile A, dont la corde est fixée par un bout à un point fixe a et par l'autre bout à la chape d'une deuxième poulie mobile B ^fig- 137) qui est à son tour embrassée par une corde dont une extrémité b est fixe, tandis que l'autre est attachée à la chape d'une troisième poulie mobile G, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'enfin la corde d'une dernière poulie
mobile vienoe passer sur une poulie fixe de renvoi servant à transmettre Teffort dans la direction de la puissance P.
Fig. 187.
D'après la théorie de la poulie, la tension de chaque cordon qui soutient A est
or cette tension joue le rôle de résistance pour la poulie suivante et par suite la tension des cordons de la deuxième poulie est
T =Ii = 5 = ^
* 2 4 a* et ainsi de suite ; la tension du /i**™« cordon étant la puissance P,
on aura
l5^ COURS DE MÉCAMloeE.
Si donc n est le nombre des poulies, le rapport de la résistance à la puissance est a".
2° Moufles. — Les moufles sont formées de deux s;)rstèmes
de poulies réunies en nombre égal dans une. même chape;
l'une des cbapes est fixe et l'ensemble de ses poulies constitue
la moufle fixe, l'autre est mobile et soutient les poulies qui .
Fi g. i38.
forment la moufle mobile, La résistance est attachée à la moufle mobile; la corde unique,. attachée au bas de la chape fixe, s'enroule ensuite alternativement sur une poulie de la moufle mobile et sur une poulie de la moufle fixe pour se terminer par le garant, où est attachée la puissance P (fig. i38). ■
Comme il n'j a qu'un cordon, la tension est la même sur
tous les courants et égale à P ; l'une quelconque des poulies est donc sollicîlée par deux forces parallèles et égales à P qui donnent une résultante sP que l'on peut supposer appliquée en son centre, c'est-à-dire à la chape. Si l'on appelle n le nombre des poulies montées sur la chape mobile, le nombre des cordons est 2 n et ta chape mobile sera sollicitée par une force 2rtP; l'équilibre aura lieu si
Le rapport entre la résistance et ta puissance est égal au double du nombre des poulies de la moufle mobile ou au nombre 2n des cordons qui embrassent les poulies,
3" Palan. — Les poulies placées les unes au-dessous des
autres forment un appareil de grande longueur; aussi pré- ■
Fig. .39.
fère-t-on le plus souvent monter le.s poulies de chaque moufle, Gxe et mobile, sur un même axe, La yî^. iSgfaitcomprendre ce dispositif dont la théorie est d'ailleurs identique à la précédente.
2^4 COt'RS DE MECANIQUE.
129* Cas où ces machines sont mises en mouvement, les forces étant supposées en équilibre A chaque instant.
1^ MouTement sans frottement* — Les machines que nous venons d'étudier sont des systèmes matériels, assujettis à certaines liaisons, sur lesquels on fait agir deux forces, la puissance V et la résistance Q, appliquées respectivement à deux points matériels A et B de la machine.
En supposant qu'il n'j ait pas de frottement, nous avons donné les conditions nécessaires et suffisantes qui doivent, dans chaque position de la machine, lier P et Q pour que la machine soit en équilibre dans cette position. Mais, à l'exception des balances, les machines servent rarement à l'état d'équilibre : on les utilise à l'état de mouvement pour vaincre certaines résistances.
C'est en se plaçant à ce point de vue qu'on est conduit aux considérations suivantes.
Imaginons qu'il n'j ait jpas de frottement et que la machine se mette en mouvement,^ ce qui arrivera évidemment si l'on donne pendant un court instant à la puissance une valeur un peu supérieure à la valeur P qui convient à l'équilibre : une fois la machine lancée^ nous supposerons que^ dans chaque • position considérée, P et Q remplissent les conditions d'équilibre. Appelons V la vitesse que possède le point matériel A où est appliquée la puissance P, et W la vitesse- du point matériel B où est appliquée la résistance Q; enfin appelons (P, V) et (Q, W) les angles respectifs de P avec V et de Q avec W i/lg' i4o)-
On a alors le théorème général suivant :
Si les conditions de V équilibre sans frottement sont remplies, on a à chaque instant,
(i) PV cos(P, V) -+- QW cos(Q, W) = o.
Cette relation fondamentale, que l'on peut vérifier pour
chaque machine, rattache ainsi à un principe unique les conditions de fonctionnement des machines sans frottement.
Avant de faire cette vérification nous mettrons la. relation (i) sous deux autres formes équivalentes. .
i^ Appelons Vp la projection de la vitesse V du point
Fig. i4o.
matériel A sur la puissance P et de même Wq la projection de W sur Q : on a
Vp = V cos(P,V), • Wq=Wcos(Q,W);
donc la relation (i) peut s'écrire
(2) PVf + QW^ = o,
ou
Q" Vp *
Cette relation montre immédiatement que Vp et Wq sont de signes contraires : ainsi dans la fig, i4o Vp est positif et Wq négatif. En outre, on peut énoncer la relation (3) comme il suit :
Si les conditions. d'' équilibre sans frottement sont remplies y le rapport de la puissance à la résistance est égal au rapport inverse des vitesses des points d^ application de la puissance et de la résistance estimées respectiçement suivant les directions de ces deux forces.
rri^i
l56 COURS DE MECANIQUE.
C'est ce fait général que Ton énonce sous une forme concise en disant :
Ce qu^on gagne en force on le perd en vitesse.
2° On peut obtenir une forme purement géométrique de la relation fondamentale (i) et (2) de la façon suivante.
Supposons que, pendant le temps très court ùlI la machine subisse un déplacement très petit amenant A en A' et Ben B' {fie' ^4o)' Alors la vitesse V est en grandeut*, direction et
• sens, la limite de -—■ quand Af tend vers zéro, et Vp est la limite de '^ — â/ ' ^^ appelant (AA')p la projection de AA' sur P : de même W est la limite de -— et Wq la limite
de ^—rr^' Il en résulté que :,,, est la limite de T-rrrr ' et la
A^ ^ (V)p (AA..)p
relation (3) s'écrit sous la nouvelle forme •
(4) - Q=-'"»-(ÀA>-
On peut donc dire aussi :
Ce qu^on gagne en force on le perd en chemin parcouru.
Remarque. — Les propositions précédentes sont générales. Dans la pratique, il arrive ordinairement que pour utiliser la puissance tout entière, c'est-à-dire pour rendre maximum le
terme
PVcos(P,V),
on la dirige dans le sens même de V, alors le cosinus devient
égal à I .
Si en outre Q est dirigé en sens contraire de W, on a
cos(Q, W) = — I et la relation fondamentale prend la forme
simple
' PV-iQVV = o .
OU
