P ,. BB

c'est ce. qui arrive par exemple pour le treuil.

Treuil. — Le treuil (n° 120) est un corps solide mobile auteur d'un axe fixe et sollicité par deux forces P et Q appliquées en des points A et B. Ces forces sont dans des plans perpendiculaires à l'axe et sont, en outre perpendiculaires aux rayons GA et DB aboutissant aux deux points d'application.

Pour qu'il y ait équilibre il faut et il suffit que la somme des moments des deux forces par rapport à l'axe soit nulle. Supposons cette condition remplie et faisons tourner le treuil avec une vitesse angulaire to de façon que la vitesse V du point A soit dans le sens de P et, par suite, la vitesse W de B en sens contraire de Q. Comme les points A et B décrivent avec la vitesse angulaire to des cercles perpendiculaires à l'axe ayant pour rayons C A =:R et DB = r, on a (n® 129) V = R(o, W5=rw, cos(P,,V) = -4-i, cos(Q, W) = — I.

La quantité (i) devient donc

PVcos(P, V)-l-QWcos(Q,W) = a)(P.R — Q.r)

= a)(Mom. P -4- Mom. Q)

en appelant Mom. P et Mom. Q les moments des forces P et Q par rapport à l'axe.

On voit que cette quantité est nulle quand les forces se font équilibre.

Par exemple, supposons qu'il faille avec un treuil élever un poids de loo^s suspendu à une corde enroulée sur le treuil. Si la puissance P est dix fois plus loin de Taxe qi^e la résistance Q = 100^^, on pourra avec une puissance de 10^8 seulement équilibrer Q. Mais quand le treuil fonctionné, pour que le fardeau s'élève de i"", il faut que le point d'application de la puissance parcoure un chemin de 10*", AC. 17

puisqu'à chaque instant la vitesse du point A est dix fois plus grande que celle du point B.

Corps solide mobile autour d'un axe fixe et sollicité par deux forces situées d'une façon quelconque. — Soit un solide mobile autour d'un axe O^. Considérons une force P appliquée en un point A de ce corps {^fig- 141). Faisons tourner le corps aVec une vitesse angulaire w, nous allons montrer qu'on^

Fig. i^i.

a, dans tous les cas, PVcos(P, V) = w Mom.P^ où Mom.P désigne le moment de P par rapport à l'axe O-s.

Supposons, pour fixer les idées, w positif : le point A du corps décrit en tournant une portion de circonférence dont le plan est perpendiculaire à l'axe et dont le centre C est sur l'axé. La vitesse V de ce point est tangente à cette circonférence dans le sens positif des rotations et donnée par

V = ci>GA.

Décomposons P en trois composantes rectangulaires /?, /?^, /?2 dirigées respectivement suivant la direction V de la vitesse, suivant la parallèle AE à l'axe et suivant le rayon GA. Appeloùs en particulier p la valeur algébrique de la première composante estimée positivement dans le sens de V : en écrivant que la projection de P sur V est égale à la somme des projections des trois composantes, on a

Pcos(P, V) = /?,

car les projections de pi et /?2 sur V sont nulles. Donc

PVcos(P, V) = a>./>.GA.

Mais le moment de P par rapport à l'axe est égal à la somme des moments des trois composantes/?, P\, P2 • les composantes Pi et /?2 étant dans un même plan avec Taxe ont des moments nuls, et l'on a

Donc enfin

Mom. P=./?.GA. l

PV cos(P, V) = w Mom.P.

Gela posé, imaginons qu'on fasse agir une deuxième force Q sur le corps solide, cette force étant appliquée en un point B : quand le corps tourne, ce point B prend une certaine vitesse W et l'on a de même

Donc

QW cos(Q, W) = 10 Mom. Q.

(i) PVcos(P, V)H-QWcos(Q, W) = a)(Mom.PH-Mom.Q).

Pour que les deux forces se fassent équilibre, il faut et il

suffit que

Mom. P -h Mom.Q = o; i

la quantité (i) est donc nulle, quand les forces considérées se font équilibre.

Levier. — Le levier est Un solide mobile autour d'un point fixe O sollicité par deux forces P et Q. On peut lui imprimer un mouvement quelconque laissant le point O fixe. Pour cela, il. suffit, par exemple, de le faire tourner avec une vitesse angulaire w autour d'un axe quelconque Oz issu de O.

Dans ce mouvement, on a, d'après ce qui précède,

(1) PVcos(P,V)-4-QWcos(Q,W) = a>(Mom.P-hMom.Q), les moments étant pris par rapport à l'axe choisi Oz.

■^?rv

Si les forces P et Q se font équilibre, elles ont une résultante passant pai' le point fixe ; la somme de leurs moments par rapport à l'axe 0-s étant égale au moment de cette résultante est nullçy car la résultante rencontre l'axe en O. La quantité (i) est donc nulle pour ioiis les mouvements que ' peut prendre le levier.

Si, en particulier, on fait touri^er le levier autour d'un axe O^ perpendiculaire au plan du point O et des deux forces, la vérification est immédiate : elle est identique à celle qu'on a faite pour le treuil.

Poulies. Moufles. — Dans les combinaisons de poulies que nous avons étudiées la même proposition est facile à retrouver; dans la première combinaison, si la poulie A et, par suite, le point d'application de la résistance Q s'élèvent de A, la poulie B s'est élevée de 2 A; en effet, si le centre est passé de O en O' {fig* i4î^)) tel que 00'= A, la corde est

Fig. 142.

passée de la position àCmDB à la position aC'/n'D'B', a étant fixe ; la longueur comprise entre a et B a donc diminué de CC'-f-DD'=2A et comme la longueur totale de corde n^a pas changé, le point B s'est élevé de BB'= 2 A, . La poulie G s'est alors élevée de 2 {2 h) = 2'^ h et la poulie de rang n de 2" h ; le point d'application de la puissance a

donc décrit un chemin 2'* A; l'appareil* permet de vaincre

une résistance 2" fois plus grande que la puissance employée,

' mais à condition que le point d'application de la puissance

parcoure un chemin 1^ fois plus grand que celui parcouru

• par le point d'application de la résistance.

Daiis les deux autres combinaisons, si la. résistance s'élève de /i, chacun des. 2 n cordons parallèles est diminué de A, et par suite le point d'application de la puissance est déplacé de 2/iA; ici encore, ce qu'on a gagné en force on le perd eh 'chemin parcouru.

1? Mouvement avec frottement. Frottement dans la poulie.

— La proposition précédente n'est exacte que si l'pn fait abstraction du frottement et, pratiquemen-t, on gagne moins en force qu'on ne perd en chemin parcouru; prenons • pour le démonlrer l'exemple de la poulie O fixe, la puissance et la

résistance étant verticales. Ces deux forces sont égales s'il y a

Fig. 143.

équilibre; de plus, si le point B vient en B', A vient en A' et les déplacements sont évidemment égaux {^fig* i43), on a