i)S llïNAAlliJliK
318. Ciiitè do Lravïiil dans les iiiiicliiiica. — - 1.0 tnivai] produit par une force ou par un systÈme de forcets ne dépend que de ces forces et des déplacements de leurs points d'application : il est indépendiinl, par définilion, iln temps employé à obtenir C(!S déplacements. Toulefois il est indispensable, pour connaître la valeur d'une machine, de pouvoir évaluer le Iravail qu'elle prodiut en un temps donné. 11 est clair en effet que le mécanisme sera d'aulant plus parfail qu'il emploiera moins de temps pour effectuer iin travail donné.
On a été ainsi conduit, pour évaluer le travail des machines, h prendre une unité de travail dépondant du temps : cette unité do triivail, c'est le Khi:val~-aapr,ur . Lorsqu'une machine produit un travail de 73 kilofrrammètrea il la seconde, on dit qu'elle est do la force do 1 choval-vapeur. Le travail d'un cheval ordinaire n'est en général que le cinquième d'un eheval-vapeui'.
Comme application, iiroposous-iiouï- de féaoudre \o ^jvobléme suivant ;
Um: rhiilr il'r.n,,!/:!)!!!- &'<'•' fl/eaui) la miimle cl iumhv. d'une kuuliMir (/(; 5'" stir inir, rime qui produit un travail; livuvcr <:ii ch>:o(n\a--i;iipriir Irinicnl muUiur du lamachine.
Puisqu'il tombe 6000 lilres d'eau en une minute, il en tombera 100 litres on une seconde. La force motrice est donc égale ix lOO^e et le déplacement de son point d'ai)plication est égal à 5'". Il en résulte que le travail produit pendant une seconde
est de SOO kilogramme très , e"est-ù-dire de -^ chevauxvapeur. On trouve 0,00, de sorte que la lorce de la tuachiiiu est de 6 chevaux-vapeur, 60 centièmes,
310. Mouvemuiil d'un in)inl. sur un plan Incliné en tenant compte du Iroilement. ~ Pour teiuiiner, proposons-nous d'étudier le mouvement d'un point matériel pesant placé sur un plan incliné, en tenant compte du frottement. Appelons P le poitls du point matériel, ^ l'angle du plan incliné
[nposanles du poids T suivant la ligne de pli\s grande pente el, suivant la normale sont respcelivcnient
= P s in 5.
= F cos '-
,uLre part, la force de froUonienL est l^' = fN:^ fp cos «.
l'ar conséquent, si l'on siippose d'abord que le mouvement ait lieu vers le bas, la force qui produit le mouvement et qui esÈ ilgalc à 2'' — ^ ^ 1"*"'' «expression P(sin(x — /'cosï).
Soit o l'angle de frottement ; on a
/ ^ tg ?.
el, on remplaçani. dans l'cxiiression précédcmlc, on ohticnl, pour ia forcfi qui produil. le iiKnivcmeul, la nouvelle oxpres-
P (sin a ~ cos a tg q) =
Psin(cc-
COS ti
L'accélération du mouvement s'en déduit en divisant par la
p masse m, et comme ——S, on voit ([u'ellc csL égale à
(/ sin (a — 9) cos ■= II en résulte que si l'on appelle f„ la vilcsse inilialo, les équations du mouvement sont
Elles monirent iiue si l'on a « !> ç, le mouvement est uniformément accéléré ; que le mouvement est uniforme si " = 0, el enfm qu'il est uniformément relardé si « < ?■
Supposons maintenant que le mouvement ail lieu vers le haut ; alors la force de frottement est dirigée vers le bas et s'ajoute à p ; elle retarde le mouvement, et la force totale qui
2oO DYNAMIQUE
s'oppoBO au JiioiivcmfiiiL a pour expression
' COS !i
Il en résulte que los équations du mouvement sont
et que le inouyeiiient est uniformément retardé. Le moliiln s'arriMe au bout du temps
«n(^-Hçr quand il est au repos, il y reste si l'on a « < ip (227) ; sinon il redescend d'un mo^iYcment uniformément variÉ donné par les premières formules.
On peut ajouter ([ue los deux mouvements, le mouvement ascendant et le mouvement descendant qui lui succède, ne sont pas symétriques ; par un calcul simple on trouve en effet que la vitesse du mobile quand il repasse par la postillon initiale n'est plus égale à »„. Pour cela on fait
r/ sin(a-l-<f) LUS la première formule (2), qui donne alors
" 2.7 sin (et + çr) On porte cette valeur de x dans la ])rem)cre formule (l), y avoir fait v„ — 0, et l'on en tire
Y sin(a — o) sin («-t deur de ( = 0, et
on porte cuftn cette valeur de ( dans la deuxième formule (1), où l'on a fait aussi v. = 0, et l'on obtient (inaleuieut
CIIAPITIΠV 2f)d
Comme cas particulier, supposonsque le plan, au lieu d'être incliné, soit horizontal ; la force de frottement est alors égale à Pf, l'accélération à <//■ et le mouvement, qui (ist iioiiormément retardé, est défini par les équations
II, désignant toujours la vitesse initiale. i--c mobile s'arrûle au bout du temps
EXEItCICES SUR LE LIVRE '
1. On lance d'en mÈmc jioinl, uu inÈmo instant, iivec ia vitesse i!o, des mobiles pesants dans toutes les directions. Lieu des iJosiUons de tous ces mobiles à l'instant t. — Variations du lieu avec (.
2. Un obus lancé sous un angle donné a fait explosion et l'on entend le brait de l'explosion t secondes après ; trouver la vitesse initiale et la distance.
3. On lance au même instant deux projectiles de deux points et 0' situôs sur une horizontale, à la distance (î ; trouver la condition pour qu'ils se rencontrent,
4. Avec quelle vitesse faut-il lancer un projectile sous l'angle t, pour qu'il atteigne une distance d ?
5. Deux mobiles M et N soumis à la seule action de la pesanteur descendent le long de deux plans inrlinés OP et OQ faisant les angles a et p avec l'horizon, llspartentsans vitesses initiales l'un
de A, l'autre de 15, pris sur OP et sur OQ.
, On donne OA = œ et OB ^ b. (ki-
\ / culer au bout de combien de temps la
^\" ~/a droite MN qui joint les deux mobiles est
jj-r -7\] horizontale. Donner les conditions de poa-
\ / sibihtù du problème.
Application numérique sans faire usajje
des logarithmes :
On adoptera pour la mesure de l'accélération due à la pesanteur i,=0'",8l.
Les angles a et p n'étant plus donnés, mais connaissant seulement l'angle o des deux plans inclinés, déterminer « et p par la condition quelesdeux mobiles partis de A et de B sans vitesse initiale arrivent ensemble en 0.
6. On considère deux plans inclinés qui se coupent suivant une horizontale ; on laisse tomber en môme temps trois mobiles sur les deux ]dans et sur la verticale. Déterminer les côtés et les angles du
triangle déterminé à chaque instant par les trois mobiles, et montrer que sa surface est proportionnelle à i^.
7 . Deux mobiSes placés sur deux plans inclinés adossés l'un à l'autre sont reliés par un cordon de longueur donnée i[ui passe sur une poulie. Etudier les mouTements de ces deux mobiles connaissant leurs poids P et Q.
8. Mouvement du œnLre du !,T!n'itô des deux mobiles do l'exercice précédent.
9. Étant donnés deux points A et B, trouver un point tel que les temps decliute d'un mobile suivant AO et BO soient égaux.
10. D'un point donné et suivant des droites issues de ce point on laisse tomber des mobiles sans vitesse initiale. Trouver le lieu de ceux de ces mobiles qui rencontrent un plan donné à l'instant ( et la manière dont ce lieu varie avec le temps {,
11. Un fit qui s'enroule sur une poulie très mobile porte à chacune de ses extrémités A, B un poids de 200 gr. Au poids sus|)endii en A, on ajoute une masse additionnelle de S gr, et on abandonne le système à l'action de la pesanteur. — Calculer le chemin parcouru par le point A au bout de trois secondes ; calculer, à cet instant, la force vive du système. On négligera la masse du fil et colle de la poulie et l'on prendra 9°, 809 pour l'accélération due à la pesanteur.
12 . Un cordon passe sans frottement sur une poulie fixe et est sollicité par deux poids P+p etQtelsque P+y > Q > ]'■
1° Étudier le lieu et le mouvement du centre de gravité. 2° Après secondes on supprime le poidsp et l'on démande d'étudier le mouvement qui se produit ensuite .
13. Une arme à feu horizontale de ! ",20 contient une balle de 25 gr. lancée avec une vitesse de iOC. Trouver la force de la poudre, en la supposant constante pendant que le projectile reste dans le canon et en supposant connue la durée de l'action de la poudre.
H. Un corps de poids P, mobile sur une droite horizontale, reçoit une impulsion d'une force horizontale qui lui imprime une vitesse v„ ; il s'arrête au bout du temps ( après avoir parcouru un espace e ; trouver le coeflicient de i'rottemenl.
IB. Dans le pendule à petites oscillations, comparer le mouvement sur la corde et sur l'arc au point de vue de la vitesse et du temps .
;268 TAin.K WES MATIERES
Pages.
Cii.u'iTiii; XIV. — Pi'iiniu'i'es notions sur les raadiines simples.
Levier et balance Hf
— XV. — Poulie, treuil et pian incliné 13!
— XVI. — Notions élémentaires sur le frottement , . . 14!
Exercices siii' le livre 1 io'
LlVllK 11
CINÉMATIQUE
CrriPiTKiî 1. — Viicssn dans un mouvement ([uelconque .... 16
— 11. — Mouvement rcctiiigne et uniformément varié il
— III. — Composition des mouvements ... .18 ■■È'ùie.rcices sur le livre II. 20
DYNAMIQUE
CiiArniin 1, — l'i'incipes généraux et mouvement produit par une force constante
— II. — Proportionnalité des forces et des accélérations;
— Hl. ~ Mouvement des projectiles dans le vide
— IV. — Travail et force vive
— V. — Jlachines à l'état de mouvement -
Exercices sur le livre III
