NOTIONS DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS

1 . Coordoimées d'un point. — On déûnif la position d'nn point, en géométrie à trois dimensions, au moyen de ses coordonnées. Considérons un trièdre (O.xyz) de sommet 0, et, sur chacune des arêtes de ce trièdre, fixons un sens positif et un sens négatif; soient Ox, Oy, Oî les sens .positifs fixés respectivement sur les trois arêtes. On appelle coor- (ZojîBeâscoî'ie'sienije* ou tout simplement . coordonnées du point M rapporté aux ' trois axes Oa:, Oy et Os, lesprojeclions du segment OM sur chacun des axes, parallèlement au plan des deux autres. La projection sur l'axe a/a: s'appelle l'abscisse et se désigne par la lettre œ ; la projection sur l'axe yy' s'appelle l'ordonnée et se désigne par la lettre y ; enfin la projection sur l'axe 3'î s'appelle la co(e et se désigne parla lettre s; de là les noms d'axes des a:, des y et des 3 donnés aux trois arêtes du trièdre.

Le point 0, sommet du trièdre, s'appelle l'oWjrijîe des coordonnées, et l'on dit que celles-ci sont rectangulaires ou obliques suivant que le trièdre est trirectangle ou non.

11 est clair qu'à tout point M de l'espace rapporté à un trièdre (O.aïys) il correspond un système de trois coordonnées œ, y, z. Inversement, si l'on connaît les coordonnées d'un point M par rapport à trois axes formant un trièdre, la position du point dans l'espace est bien définie, car on connaît les projections du point sur trois droites et, par suite, le point est à l'intersection de trois plans qui se coupent toujours, parce qu'ils sont respectivement parallèles aux trois faces d'un trièdre.

2 PRÉUJIINAIRtlS

Si l'on mène par le point M la parallèle MQ à l'axe des z, jusqu'an point Q où celte droite rencontre le plan xOy, puis la parallèle OP à l'axe des y, on obtient une ligne polygonale OPQM qu'on «ppelle le contour des coordonnées du point il.

a. Coordonnâmes du point qui partage un segment dans un rapport donné. — Considérons un segment AiAj délini par les coordonnées 2:^1, 1/1, s, et xi, yi, a^ des points Ai, A3. La position de tout point M de la droite indéfinie A1A3 est complètement définie si l'on connaît, en grandeur et en signe, la valeur X du rapport 1^-7 ce rapport étant convention nellem en t positif si le point M est situé entre A, et Aa, négatif dans le cas contraire, l'ordre des lettres au numérateur et au dénominateur devant d'ailleurs être respecté.

Cela posé, proposons-nous de calculer les coordonnées k, y, 2 du point M en fonction de >. et des coordonnées des points A, et Aa. Pour cela, remarquons que si Ton projette sur un ase quelconque, on a évidemment en grandeur et en signe

pr. AiM A|M .

' ' pr. .MAi

Projetons d'abord sur l'axe des œ, parallèlement au plan i/O: ;

pr, AiM = pr. A,04-pr. OJI ; mais, par définiiion,

pr. AïO = — pr. OAi —. — -œi, pr. OM -X'; donc pr. A, M = ic — xi.

On a de même pr. SIAj t= m^ — x,

-al, par suite, en vertu de [[),

On tire de la x =: — ; — -^— '

et l'on trouverait de même, en projetant sur les deu\ autres axes,

î GÉOMÉTRIE AKiLÏTIQUË A. TROIS DlMENSlOr^S 3

Ces formules résolvent le problème et, si 1 = —i elles devieiinent

3 . Centre des distances proportionnelles d'an système de poiDls. — Considérons un système de points Ai, Aj, . . . , An, défini par les coordonnées ic,-, y,, 21 de l'un quelconque do ses points, Ai, Supposons ces points affectés des coefficients respectifs a,, a^, ..., a„, positifs ou négatifs, et construisons le point Bj situé sur A1A2 et tel que l'on ait

le point Bs situé

puis affectons ce point du coefficient (Il 4- Ha = h. Construisons ensuite BaAs et tel que l'on ait

puis affectons ce point du coefficient b^ + a., = 63, et ainsi de suite. Nous obtiendrons finalement un point B™ qu'on appelle le centre des distances proportionnelles du système de points considérés. Proposons-nous de calculer les coordonnées a;, y, z du point Bn, connaissant celles des points donnés. Appelons pour cela îa, vj), t^ les coordonnées du point Bj, Sa. ',8. ïs celles du point B3, etc., %n\ ■^n, ïii celles du point B», de sorte que 5„, r,„, i;„ sont respectivement identiques à a:, y, s. Eu vertu des formules (2) du numéro précédeni, on a

formule qu'o

peut écrire

PBI^LIMINAIRES

•c à membre les formules (3) et (4) et en

En additionnant membr réduisant, il vient

6„(„ = a,jKi + aaa;jH -ha„a;„.

Or, par déflniLion, b„ = ai + ai-{ h a,i (

donc «1 + oj + • ■ ■ 4- «n est différent de zéro, on

Lorsqu'on a en particulie mules deviennent

et le point B^ prend le nom de centre des moyennes distances.