Propriétés du centre des distances propoi't.ioniielies
Le simple esamen des expressions des coordonnées du centre des distances proportionnelles met en évidence les propriétés suivantes de ce point :
P Pour obtenir le centre des distances proportionnelles d'un système de points, au lieu d'associer les points dans l'ordre Ai, Aî,..., A„, on peut les associer dans n'importe quel ordre;
2° Le centre des distances proportionnelles d'un système de points ne change pas quand on fait varier les coefficients de manière à CMiserver leurs rapports mutuels, c'est-à-dire si les coefficients, au lieu d'être égaux respectivement à a„ a^, . . ., a,,, sont égaux respectivement à ka„ ka2,. .-, fiOn, k désignant un facteur arbitraire.
5. Dëlermiiiation d'une direction. — Pour déterminer une direction de l'espace, on mène par l'origine la demi-droite Oi parallèle à cette direction et sur cette demi-droite on prend un point M
à une distance non nulle de l'origine ; la direction est complètement définie quand on connaît ce point, par suite quand on donne les coordonnées a, b, c du point M.
Pour cette raison le point H est appelé le point diVecïeuj" de la direction, dont a, b, c sont \«s paramètres directeurs.
Lorsque les coordonnées sont rectangulaires, si l'on appelle «, p, •/ les angles que la direction fait avec les axes respectifs Oa:, Oî/, 0^, et si OM est égale à 1,
NOTIONS DE r.ÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TBOIS DIMENSIONS 5
la théorie des projections ou, si l'on veut, fa définition du cosinus d'un angle donne
Les paramètres directeurs a, 6, c s'appellent alors les cosinus directeurs de ia direction OM.
6, Théot^me. — Lorsque les coordonnées sont rectangulaires, la somme des carrés des cosinus directeurs d'une direction est égale à l'imité.
Construisons en effet le contour OPQM des coordonnées du point M et projetons orthogonale ment ce contour, ainsi que la diagonale OM, successisement sur les aves et sur la direction OM. En projetant d'abord sur les axes, on obtient
puisijue, par hypothèse, OH projetant ensuite
OM, on obtient
