CHAPITRE VI ba

à un axe ou à un plan, lorsque ses points sont deux à deux symétriques par rapport à ce point, cet axe ou ce plan.

102. Théorème. — Si une figure quelconque, volume, surface, ligne ou ensemble de points a un centre, un axe ou un plan de, symétrie, son centre de gravité est en ce centre, sur cet axe o» dans ce plan.

En effet, on peut décomposer la figure en éléments deux ^ deux symétriques et équivalents; par suite, les poids de deux éléments symétriques sont égaux et le point d'application de leur résultante est au milieu de la droite qui les joint, c'est-à-dire au centre, sur l'axe ou dans le plan de symétrie. Le point d'application de la résultante totale, c'est-à-dire le centre de gravité, satisfait donc aussi à la même condition.

D'après cela, le centre de gravité d'une portion de droite est au milieu de cette portion de droite ; celui d'un parallélogramme coïncide avec le centre du parallélogramme, etc.

Pour généraliser ce théorème, nous allons d'abord donner quelques notions qui ne se trouvent pas habituellement dans les cours de géométrie.

103. Déliaitions. — On dit qu'une droite est un diamètre d'une figure plane si les points de cette figure peuvent être groupés deux à deux de manière que les droites qui joignent les points correspondants soient parallèles et coupées en leurs milieux par la droite. ■

On dit de même qu'un plan est un plan diamétral d'une figure si les points de cette figure peuvent être groupés deux à deux de façon que les droites qui joignent les points correspondants soient parallèles et coupées en leurs milieux par le plan.

Nous laissons au lecteur le soin de démontrer les deux propositions suivantes :

1° Si une figure plane a un diamètre, des portions de surfaces correspondantes sont équivalentes ;

2" Si une figure a un plan diamétral, deux volumes correspondants sont équivalents.

Ces deux propositions sont indispensables pour démontrer en toute rigueur le théorème suivant :

104. Théorème. (Extension du théorème numéro 102.) — Si une aire plane admet xm diamètre, si un volume admet un plan diamétral, le centre de gravité de cette aire ou de ce volume est sur le diamètre ou dans le plan diamétral.

En effet l'aire plane, par exemple, peut être décomposée en éléments correspondants ; les poids de deux éléments correspondants étant égaux, le point d'application de leur résultante est au milieu de la droite qui les joint, c'est-à-dire sur le diamètre ; donc le point d'application de la résultante totale, c'est-à-dire le centre de gi'avité de l'aire plane est aussi sur ce diamètre.

On raisonnerait de même dans le cas du plan diamétral.

105. Remarque I. — Le centre de gravité d'une ligne qui a un diamètre n'est pas forcément sur ce diamètre, parce que les éléments correspondants n'ayant pas en général même longueur, le raisonnement précédent est en défaut. Ainsi on verra plus loin que le centre de gravité de l'aire d'un triangle est sur une médiane parce qu'une médiane est un diamètre de ce triangle ; tandis que le centre de gravité du périmètre n'y est pas.

De même le centre de gravité d'une surface qui u un plan diamétral n'est pas nécessairement dans ce plan.

i06. Remarque 11. — Les deux propositions suivantes peuvent être regardées comme évidentes :

1° Si tous les points d'une ligne ou d'une aire planes décrivent des droites égales et parallèles, le centime de gravité décrit une droite égale et parallèle aux premières ;

2° Les centres de gravité des lignes ou des aires planes homothétiques à une ligne ou à une aire données sont distribués sur la même droite passant par le centre d'homothétie