IB' A'B

Il suit de là que le point I est sur la bissectrice de l'angle B'A'C ; mais alors !e centre de gravité qui s'obtient en composant les deux, forces a et b + c est lui-même sur cette bissectrice ; il en résulte qu'il est à l'intersection des trois bissectrices.

108. Corollaire. ■ — Les bissectrices d'un triangle concourent en un même point.

109. Contour polygonal réflullep. — Théorème.— Le centre de gravité d'une ligne brisée régulière convexe est sur le rayon

moyen à

me distance du centre égale à la quatri ^ le périmètre, lacordeet l'apothème.

e jwoportion-

Soient A et M les extrémités d

I la ligne brisée régulière de centre et de rayon R ; désignons par c la corde AM, par L le périmètre de la ligne brisée et soit Oa; le rayon moyen. Le centre de gravité se trouve évidemment sur Qx (102) et on l'obtient en composant des forces parallèles égales aux côtés de la ligne brisée et appliquées en leurs milieux. Rapportons alors la ligure aux deux axes rectangulaires Ox et Oy et par le milieu I d'un côté quelconque, AB par exemple, menons II' pei-pendiculaire à Ox.

En appelant x l'abscisse dti centre de gravité, on a (fl7) 2AB,0r SAB.Or ^ SÂÏT L

Menons BB' et AA' respectivement parallèles à Oa; et ;\ Q\j; les deux Iriangies semblables ABB', OU' donnent AB AB'

d'où AB.Or= AB'.OI;

or, 01 est l'apothème a de la ligne brisée, . projection de AB sur Oy ; on aura donc ^ cSproj, AB mais d'autre part i] pi'oj. AB — c ;

il vient donc iinalement

CIIAPITHE VII

HO. Are de cercle. — Théorème. — Le centre de r/ravitê d'un arc de cercle est sur le rayon moyen, à une dislance du centre égale à la quatrième proportiomielle entre l'ai-c, la corde et le rai/ on .

Soit l'arc rtc cercle AM, de centre et de rayon R. Rapportons la figure au rayon moyen Ox et à la perpendiculaire 0;/ ; le centre de gravitésera évidemment sur Oo: . Pour obtenir son abscisse ? décomposons l'arc AM = L en un très grand nombre d'arcs égaux dont les extré- ^ mités seront les sommets d'une ligne bri-

sée régulière convexe, inscrite dans l'arc. Soient p le périmètre de cette ligne, a son apotbème et c la corde AM. Nous venons de voir que le centre de gravité de cette ligne est sur le rayon Ox et que son abscisse x est donnée par la formule

}' Mais, si l'on fait croître indéfiniment le nombre des côtés de la ligne brisée, son centre de gravité a pour limite le centre de gravité de l'arc ; d'autre part x, a et p ont respectivement pour limites ?, E et L. On aura donc