CHAPITRE XI

RÉDUCTION DES FORCES APPLIQUÉES A UH CORPS SOLIDE; CONDITIONS D'ÉQUILIBRE

13i. Composition des couples. — Après avoir réduit à une seule toutes les forces appliquées à un point matériel ou toutes tes forces parallèles appliquées h un corps solide, quand elles n.e se réduisent pas à un couple, nous allons nous proposer de réduire au plus petit nombre possible toutes les forces appliquées à un corps solide. Supposons d'abord le corps soumis seulement à l'action de plusieurs couples; nous allons montrer que Von peut, sans changer l'État du corps, remplacer tous ces couplespar im seul. Nous examinerons pour cela plusieurs cas.

Phehikr Cas : Tous les couples sont dans des plans parallèles et ont le même sens de rotation.— On-peat toujours supposer qu'ils soient dans le même plan (48) et que de plus le bras de levier de chacun d'eux soit égal à l'unité (62), de sorteque la force de chaque couple sera égale à son moment. Celaposé,onpeut déplacer chaque couple dans son plan, de manière à faire coïncider tous les bras de levier. On aura ainsi plusieurs couples (P.AB), (Q.AB), etc., ayant même bras de levier et pouvant être remplacés par un couple unique, égal à leur somme ( 53 ) , c'est - à - dire par le couple (P-+-Q-i-ïH- ... S, AB). Le bras de levier de ce couple étant égal à Tunité , son moment est égal à P m- Q -i- . . . -H S, c'està-dire à la somme des moments.

Deuxième Cas : Tous (es couples sont dans des plans jin^allèles

r.HAPlTKK XI 93

s n'ont pas le même sens de rotation. — Gomme clans le cas ., on peut supposer ; i" Que tous ces couples sont dans le même plan ; 2" Que chaque couple ait pour bras de levier l'unité ; 3° Que les bras de levier de tous ces couples coïncident. Soit alors A.B le bras de levier commun ; on pourra évidemment remplacer tous ces couples par un seul A B ayant pour bras de levier AB et dont la force

sera la résultante des forces des divers couples qui sont appliqués, soit en A, soit en B.

Soient alors Pi, P^, . . . , P„ les forces des couples qui agissent dans un sens, F leur résultante ; soient de môme Qi, Qa, ■ ■ iQn les forces des couples quiagissentdanslesens contraire, Q leur résultante. Si, pour fixer les idées, ou suppose P > Q, la force du couple résultant est égale à P — Q, et le sens de rotation de ce couple résultant est le même que celui des couples dont les forces sont Pi, P?, . . ., Pj,. Mais on a P = PiM-P^-l-. . . -i-P,„

et, d'autre part, les lettres P et Q désignent les moments des couples ; donc, pour réduire à un couple unique tous les couples qui sont dans un viême plan ou dans des plans parallèles, on fait la somme P des moments des couples qui agissent dans un seiis, puis la somme Q des moments des couples qui agissent en sens contraire. Le moment du couple résultant s'obtient alors en retranchant la plus petite somme de la plus grande, et le sens de rotation de ce couple est le même que celui des couples qui ont la plus grande somme.

Les deux cas peuvent être réduits h un seul. Convenons en effet d'affecter du signe ■+■ les moments des couples ayant un sens de rotation lise une fois pour toutes, et du signe — les moments des autres. Soient alors m„ mi, ...,mp les moments, positifs ou négatifs, des couples à composer. On voit, en raisomiant comme au numéro 41, que le couple résultant, de moment m, sera dé/ini, en grandeur et sens, par l'équation

qui exprime que le moment du couple résultant est égal à la somme algébrique des moments des couples composants.

■ Troisième Cas ; Les couples sont distribués d'une manière quelconque dans l'espace. — Considérons d'abord deux couples . dontnoussupposerons.comme plus haut, les bras de levier égaux à l'unilé. Les plans des deux, couples n'étant pas parallÈles se coupent suivant une droite a/x, et nous pouvons évidemment déplacer' chaque couple dans son plan, de manière que les deux bras de levier coïncident en AB sur a/5;; soient alors (P.AB) et (Q.AB) les deux couples.

Construisons la résultante R des deux forces P et Q, puis la résultante R' desdeux forces F' et Q'. Lesdeuxfîgures APRQ, BP'R'Q' sont symétriques par rapport au point 0, milieu de AB ; donc R et R' sont égales, de sens contraires et définissent un couple qui peut remplacer les deux couples proposés. Considérons maintenant des couples en nombre quelconque, Ci, Cs, ..., C„- Pour les réduire à un seul, on composera d'abord G, avec Ca, puis le couple obtenu avec Cj, et ainsi de suite ; nous aurons finalement un couple unique pouvant les remplacer tous. Ce couple s'appelle le couple résultant.

Reste à évaluer le moment de ce couple. Nous arriverons à ce résultat au moyen de la représentation géométrique des couples, dont nous allons maintenant nous occuper.

ISS. Représentation géométrique des cooplee. — Nous avons vu que l'on peut déplacer parallèlement à lui-même le pian d'un couple; nous pouvons donc supposer que ce plan passe par un point quelconque, 0, de l'espace. Soient alors P ce plan et zz' la perpendiculaire au plan P menée par le point 0. Sur cette perpendiculaire considérons la demi-droite telle.