Heharol'e. — On
les deux trianjrles GCA
2 sin a sin p
lur.'iil. pu trouver cette équation plus simplement en remarquant que si iu barre est en équilibre, chacime des forces R, R' et P est é^alc et iipposée à la résultante des deux antres; il en résulte que la verticale du point G doit passer par l'intersection de Retde R'. D'après cela, soient AB la position d'équilibre et G le point de rencontre de R avec iî' ; comme CG doit être verticulo,
l (iC.B donnent
GG ^ GA sin A siri X ■ GC GB sin B ~ sin p ' Mais 011 voil. facilement que losi mi"'-mes Iriaiigles donnoni sin A = ainf-^+ œ^-l) ) ot sin B ^ sin f-^ -!-§-— oV Eu remplaçant et en divisant membre à membre, on aura dom siii X __ cos (^+ 9) sïïTp ~ cos (?— 0)' ce qui n"est autre cliose que l'é<jiiii(Lon 'ij; un achève cusLiilc le calcul comme plus haut.
20-i. Application U, — Ti-duki- laj'O-filio" d'rquilibiv de (kii.f xpkvrp.s pamnlua lamjf.nlM niilr-: i:IJ,i::i cf Imtiicnl'is à doitœ planx inclinés.
Soient et 0* les deux sphères de poids respectifs P et V. On peut considérer la première sphère comme Hbi'e et soumise à trois forces : son poids P, la réaction R du plan Q auquel elle est tangente, et la réaction ^ de la deuxième sphère. Comme ces trois forces doivent se l'aire équilibre, il faut ([u'elles soient dans le même plan ra qui doit satisfaire aux conditions suivantes : il doit être veriical et perpendicnlairc au plan Q ; il doit passer par le point 0, puisqu'il contient P, et par le point 0', puisque p est normale îi la sphère 0',
On peut de même considérer la sphère 0' comme libre cl. soumise à trois forces : son poids P", la réaction E' du plan Q' auqixel elle est tangente, et, la rèaclion p' de la sphère 0, réaction qui est du reste égale et opposée à p. En raisonniuit comme pour la sphère 0, on voit que ces trois forces doivent être contenues dans un plan ta' qui doit être vertical cl perpendiculaire au plan Q*, qui doit passer par le point et par le point 0'. Il est clair d'après cela que les deux, plans m el ra' coïncident suivant un plan vertical perpendiculaire à la fois à Qet àQ', par suite perpendicvdaire à leur intersection; dès lors celte intersection doit être horizontale,
CllAMTltE Xlll '12S
Cela posé, prenons comme plan lUi tableau le plan voi'licul. mené pai' les centres des deux, sphères et qui contient, d'nproH les raisonnements préei5den.ts, toutes les forces appliquées à àl'autre des deux sphères. Soit CciD la section faite pur ce plan, dans le dièdre clétenuiné parles deux, plans Q et Q', c'està-dire le rectîUgue de ce dièdre, puisque son arête est horiïon- (alc, Appelons ï et a' les inclinaisons des deux plans Q etQ' sur le plan hori/.onlal, et prenons enfin comme inconnue l'angle fi de la lii^ne dcïi centres avec l'hotii^onlale du plan du tableau. Pour écrire que la sphère est en équilibre, il suffit d'observer qu'elle est soumise 'à trois forces situées dans le plan du tableau et passant par le point ; par conséquent, il suflit d'exprimer que les sommes algébriques des projections de ces forces sur une verticale et sur une horizontale du plan dn tableau sont nulles. On ubliunt ainsi, sur la verticale,
(i ) U cos ï -h p sin ~ P ^ il ;
et sur rhorizontalo, (2) Rsin^ — ? cosO = 0.
En opérant de même pour la sphère 0', on aura les équations
(;î) R' cos a' ~ î> sin — P' = 0,
(4) H' siu %' — p ces — 0.
Ces quatre équations définissent R, R', p et 0, Iles éqv.itions (1) et (2) on tire
P cos P sin H
cos (a -1-0) cos («-t
pareillement des équations (3) et (4) on tire
P' cos P' sin
COS (a'
Kii (égalant los valuuis de p, on a l'éfjuatioii qiii déteinimo ; P sin r, r" sin a'
COS {n-l- 9) ~^ COa (a' — G)
ni que l'on peni; écrire successivei] leni;
P sin y. COS (:<' — 6) ■■^--- P sin a' oos (^ + 0), (l*-t-P') sin M sin a' sin û - (I** sîii a' oos a— P sin a cos k') cos ; <in (;ii lire
l" sin y.'
- P sin a COS a'
(P+P')smccsin«' L'iiiig'itt II étant ainsi délerrainô, on aura R, K' el p nu moyen dos équations (3) et (6).
"20"). Application III. — Cii puiiil miUêrkl. M de poids V i;s/ moliUf dans un hémisiihih'ii ; il. eut vnliaché à im fd inexlensilrla ■il, sans poidi ijui passe sur te bord de î' hémisphère id suppinii' un poids Q l'i son exInimUé; trouver la position d'éqmUhi-e.
On iteiU considérer le sytiUiino comme formé : i" du cordtju soumis nii poids Q et ii la tension T produite par le poini M ; 2" lin point M soumis an poids P, à la réaction 'I." du (il, é^;;ile ol opposéo il T, enlin îi une réaclion R nonnaln ù riiéiiiis-
l,i'< i!('i[\ forces et T ne peuvent se faire cfinilibre ■.■m\: le [il (jiii' si elles ont la même intensité ; donc Q -- T el 1" -- n, lie sorle fjue lout ^le passe comvne si l'on tranw- |)oii!Hl 1;\ l'orcù Q au point M. Non^ )\\':-- (liiiie 11 cJiercher les positiimtriiiililne (lu point M soumis aux is r,„rr^ I'., a etr ou q. ces li'ois ni.'s di)i>,tnl, èlre dans le même plan ■lical passiml, par le cenlrc de l'hémisplière ; si donc; on prend ce [ilan comme plan rtn tableau, et «i on xu'.
veul pas délerminer R, pour avoir les positions d'équilibre il suffira do prendre les moments par rapport an point 0. Prenanl alors l'aLtfiie A.OM = x comme
CBAPITBE Xm iat>
inconnue, on voil iinmêdiatement que cet anglo o-l (Iricniiiiic
]inr Véiiiiation P. OH = Q.OK,
011 l'r cos X = Qr COS — i
ikiis laquelle c est le rayon, (le riiémisplière. Un peul fcr'n-f cette équation sous la forme
de laquelle il résulte qu'il y a toujours ileux valeurs réelles pour cos— ; déplus — i et ■+-) substitués à eos —■ donnent respectivement P -i- Q et F — Q comme résnllats; de sorte que si P > Q, les deux racines sont comprises entre — l et -1-1 et le problème admet deux solutions.
Si P < Q, le problème n'a plus qu'uue solution.
Si, après avoir déterminé x, on voulait déterminer R, il faudrait projeter sur la verticale du point M et e.^primer que la somme algébrique des projections est nulle.
CJliUMTRE XLV
PREMIÈRES NOTIONS SUR LES MaCHlNES SIMPIES.
LEVIER ET BALàWCE
20r>. Définition et ciasslllcalion des machines. — On ne peiil pas employer directement les forces à yaincre une résistance ou à produire un mouvement. On obtient ces résultats par rintermédiaire dos machùies.
Une machine est tin corps ou un système de corps ^Onés par des obstacles fixes. [1 y a plusieurs sortes de machines ; les iines ont un point fixe, comme le leoier et les balances ; les autres ont un axe fixe, comme les pouUeii cl le trevil: cVaulres enfin sont constituées, comme la plan, iiic(i)ie,parun seuljdan, qui est fixe et sur lequel s'appuient les corps que l'on soumet il l'aclion des forces.
On utilise principalement les machines â l'étal dp iiKuivement, mais nous les étudierons d'abord à l'élal de ropos,
207. Levier. — Le Icvieresl un coi-ps solide qui a un pniul lixe, appelépomf d'appui. Il sert principalement îi soulever un fardeau, c'est-à-dire à vaincre une r^îsislaiice au moyen d'une force appelée \a]nds.m)ir,e.
Soient P la puissance, Q la résistance et le point d'appui.
Si l'on négli^'e le poids du corps, pour que les deux forces P
el Q se fassent équilibre il ffut <■/ '7
su//il qu'dlM nient nnr rr-'^'illoiil-: H
'/■un rjilte rdsuUaule pasxc pur II- poiiii
^ (101). 11 faut donc d'abord que les
y — i^ deux forces P et Q soient situées duns
* ' un môme plan avec le point et, en
outre, ([ne la somme algébrique de
leurs moments par rapport au poiut
soituuUo (IM). Si doncp cl q soni les lon^-uours îles perpen-
CIIAI'ITUE XIV 127
riiculaires menées du point sur les lignes d'action des deux forces respectives P et Q, pour que ces deux forces soient en équilibre, il faut que l'on ait Pi' - Qg.
Les longueurs p et q sont appelées les deux /urn du loviev, et l'égalité précédente montre que l'on peut toujours dêlorminer p connaissant P, Q et ij. Par conséquent avec une puissance et un levier domu's on peut vaincre, tUôoriquemeiit, une résistance quelconque, appliquée en un point quelcont^ue du levier : H suflit, pour cclii, de choisir convenablcmenf le hras de levier de la puissance. Pratiquement, il n'en est pas fiinsi à cause du poids et ilu défaut de résistance du levier.
La résultante des deux forces P et Q, quand le levier est on équilibre, s'appelle lajin-nsion sur le point d'appui. Son expression est
R:^ v^=-l-Q^ + 2PQcos(P, q;.
Lorsque les deus forces P et Q sont parallèles, et sont de plus appliquées en des points A. et B en
^^___ 4— P ligne droite avec le point 0, les moments
/ '^ / sont proportionnels à P. OA et à Q.OB-,
p / pour qu'il y ait équilibre, il faut alors que
£, les forces P et Q soient inversement pro-
portionnelles aux bras de levier OA et Oii. On distingue, du reste, dans CO cas trois yenros île leviers.
Dans les leviers du ;)rCTii(Vi' .'/«'«■c, le point d'appui est situé
entre les points A et R. La ^niiee à talon qui sert ii soulever
les pierres de taille et la balance ordi-
, p naire sont des leviers du premior^cnre.
Dans les leviers du second i/mu-e. lels
que la brouette, c'est le point B qui
est situé entre les points A et 0; la
puissance est encore inférieure ii la
résistance.
Enfin, dans les leviers du Iroisiévis 'jnnrc, le point A est
situé entre les points et B; on ouirOj la puissance esl supé-
Heure à la résistance. Les meules à repasser les coulGiti des leviers du troisième gem'e.
