MOMENTS DES FORCES ET EXPRESSION ANALYTIQUE DES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE
171. Moment d'une force par rapiioi'l :i un poiiii, — Ou appelle moment d'une force V par rapiiorl à un pojnl quelconque 0, S'axe du couple qui résulte de la translation de la force F au poiiiL 0. Ce moment est donc un vee- •^ teur 0(j, perpendiculaire au plan OA.l'',
A porté dans un sens tel que le sens de
\ ^^-"J rotation du couple de translation soit le
Q=C^^ / sens de gauche à droite, par rapport à un
" P observateur qui a les pieds en et la
tète en G. On peut du reste mener ce vecteur par un point quelconque de l'espace, et sa valeur numérique estle double de l'aire du triangle 0\F. lien résulte que sa valeur numérique ne change pas : i° quand on déplace la force sur sa ligne d'action ; 2" quand on déplace le point U sur une parallèle àla ligne d'action de la force.
Il en résulte aussi que le moment est nul, soit quand la force est nulle, soit quand elle passe parle point 0.
172. Moment résiitlant d'un système de lorces. — On apiielle moment résultant dun système de forces, par rapport à un point 0, l'axe du couple qui résulte de la translation de toutes les forces du système au point ; ce point prend alors le nom de centre des moments.
De cette définition et de la proposition démontrée numéro 137, il suit évidemment que le moment résultant d'un système de forces est la somme géométrique des moments de toutes ces forces.
173. Théorème. — Lorsque plusieurs forces ou/ viu- ri'y;u/tante, lettr momenl visutiant est égal au monwU du If nK-i'^lhnih'.
lOi HTATIQLË
Nous avons vu en effet que la résulLantc générale etle couple résultant sont les mêmes pour le môme
/4 point, de quelque façon que l'on fasse la réduction. Or, soit R la résultante, appliquée au point A. On peut faire la réduction pour le point de deux manières ; 1° en transportant toutes les forces, sauf H, parallèlemimi à elli^s-mômes au point ; l'axe du couple résultant de ces translations est alors, par définition, le moment résultant; 2" en transportant la force R parallèlement h, elle-même au point ; l'axe du couple qui résulle de cette translation est alors le moment de la résultante. De là et de la pro]>osi(ion du numéro l(iC résulte évidemment la proposition.
174. Coi-ollaii-e I. (Théorème de Variguon.) — Lorsque plusieurs forces sont située» dans le même plan et ont une résullunle, la voÀeur numérique du moment de leur résultante, par rapport à un pioint de ce plan, est égale à la somme algébrique des valeurs numériques des moments des composantes, par rapport au même point. "
Pour établir cette proposition nous remarquerons que tous
les couples qui résultent de la translation des forces eu un
point de leur plan, sont dans ce plan ; par
ig suite, leurs axes portés à partir du môme
[ point, sont distribués sur la même per-
, — — ( — — y pendiculaire, as', 'a. ce plan. Si donc on
/ convient d'affecter du signe + les valeurs
— ' numériques des axes portés dans un sens,
I du signe — les valeurs numériques des
j^' autres, en raisonnant comme pour la
composition des forces qui ont la même
ligne d'action, on voit que la valeur numérique du momenl
résultant est la somme algébrique des valeurs numériques des
moments composants. Donc la valeur numérique du moment
de la résultante, quand il y en a une, est égale à la somme
algébrique des valeurs numériques des moments des compo-
santés; car, en vertu de la proposition précédente, il yaidenti(é entre le moment résultant et le moment de la résultante.
173. Rbharoub. —On utilise cette proposition pour exprimer les conditions d'équilibre d'un système de forces situées dans le même plan, en remarquant, pour cela, que si la somme algébrique des moments est nulle, la résultante est nulle ou passe par le centre des moments.
176. CoFoliaire II. — Lu momanl réstillanl d'un xijHibw. di: forces ne change pas quand on iTuiplacc deux ou plusieurs forces du.
siisiihiia ;)a)' leur résultante, ou in-
respectifs de ces forci
.Applic;
Soient, en effet, PetQ deuxforces du système ayant une résultante lî, et soient OH, OG, OK les moments 5 paï rapport à un point 0. La proposition énoncée signifie que, dans Ui détermination du moment résultant de toutes les forces du système, on peut remplacer OH et OG par OK ; mais ceci résulte de ce que dans ime somme géométrique de vecteurs on peut remplacer deux ou plusieurs vecteurs par leur somme géométrique, sans que la somme soit altérée (71).
Il considère trois axes reclangulaims, O.i, Oy, Oï, et une force V située dans le plan icOi/, appliquée en un point A défini par ses coordonnées xety, et dont les composant ex pur rapporl aux axes Ox et Oij soûl X '.'/ Y; lrii'.u:r:r le'moment de cetli- force pin' rapport au jioinl 0.
Le moment cbercbé est un vecteur porté sur Oï, dans un sens (m dans l'autre, suivant le signe de sa valeur numérique. Glierchons donc cette valeur numérique, en convenant d'affecter du signe ■+- et de porter sur la demi-droite
STATIQUID
0- les moments des couples dont le sens de rotation est le sens de gauche à droite, par rapport h un observateur qui a les pieds en et la tète vers s. En vertu du théorème de Varignon il suffira de faire la somme algébrique des valeurs mimôriques des moments des forces X et Y.
Occupons-nous d'abord de Y et supposons en premier lieu que Y soit positive ainsi que l'iibscisse x dn point A, ce qui est le cas de la flgiire. L'axe du couple qui résulte de la translation de Y' au point est alors évidemment positif, d'aptes Sa convention faite plus îiaut ; sa valeiu' absolue est Y X 01, et coHimo ici 01 = :£, il est égal à a: Y. Je dis qu'il est égal â x'i dans tous les cas. Pour le prouver, il y a quatre cas à examiner suivant les signes de x et de Y ; comme nous en avons examiné un, il n'en reste plus que trois. Mais le raisonnement étant le même pour tous, nous bonierons notre examen à un seul, celui, par exemple, de x < et Y > 0. Supposons donc que le point d'application soit eu A'; la valeur absolue du moment est encore la même que celle de *V, mais il est manifeste que le sens du couple de translation est changé. Donc la valeur algébrique du moment est encore x\. On verrait absolument da môme que le moment de X. est égal à — yX; par suite le moment de la force F a pour expression asY — i/X .
17S. Moment il'im
uml d'vnr. foi
un axo. — On aitpelle à in) axe le moment, par rapporta un point quelconque de l'axe, de la projection de la force sur le plan perpendiculaire à l'axe mené par ce point.
Soient zz' Vase, un point quelconque de cette droi te et P le plan perpendiculaire mené par le point 0. Soient, d'autre part, F la force appliquée au point A et af sa pro-
CHAPITliE XII 107
jeclioïi sur le plan P. L;i valeui' numâritjue du moment do l' par rapport à l'axe zz' esL égale, par définition, au double de Taire du triangle Oaf: par suite, si 01 est la perpendiculaire sur af menée par le point 0, l'expression du moment est 01 X f-
Appelons fi la plus courte distance de Taxe et de la force et a leur angle; on a évidemment 01 = S et, si l'on mène A/'' parallèle à af, le triangle rectangle A/'F donne A/''-= Ar.sina, c'est-à-dire /■= F sin a.
L'expression du moment prend donc la forme I' , 5 . sin a,, en vertu de laquelU' on voit ((uc le moment est nul clans l'un des deux cas suivants : 1° quand la force rencontre l'axe (lu lui est pai'allèle ; 2° quand la force est nulle.
Il résulte d'ailleurs aussi de cette expression que le moment ne change ni quand on déplace le point sm' l'axe, ni quand on déplace la force sur sa ligne d'action, ni enfin quand on déplace la force dans un plan parallèle à l'axe .
Ajoutons que si l'on a à prendre les moments de plusieurs forces par rapport à un axe, il y a lieu de fixer sur cet axe un sens positif Oï, un sens négatif Oz', et d'affecter du signe 4- les moments portés dans le sens de vers s, du signe — les aulres.
179. Théorème. — ie fîtonte/it d' une force pav rapport à un axa est ét/al, en Çjrandcur, direction et sens, à la proj''cli<ii< sur cet axe du moment de In force par rapport à un pniiii. 'pirlconqve de l'axe.
Soit un point quelconque de l'axe et soit F la force ; comme elle peut être déplacée à volonté sur sa ligne d'action, on peut supposer qu'elle soit appliquée en un point I du plan P perpendiculaire à l'axe et passant pai* le point 0. Décomposons-la en deux autres Ifi et I/, la première parallèle à l'axe et la deuxième située dans le plan P; celle-ci est la projection de F sur le
STA'riIJUE
plan p. Le moment de F par rapport au point est la somme géométrique des moments de f et de j\ (173). Or, le moment de /'i est nn vecteur OQ situé dans le plan P ; le moment de f e«t un vecteur OK porté sur z^\ par suite le parallélogramme construit sur OK et sur OG est un rectangle dont la diagonale OL est le moment de F par rapport au point 0. Jlais le côté OK de ce rectangle est la projection de OL sur :;', et d'autre part OK, moment do /' par rapport au point 0, est aussi le moment de F par rapport ii l'axe ; la proposition est donc démontrée.
■180. Apiilîcatlon. — Ou donne les courchniiices du poini d'n}>'
plii'iili'-:: ■,' / ■' ■ .j./'(j.vrtiito d'une foi-ce par rapport à Irais axox ilr rvi .. . iiiiiilaires; calculer les expressions des coin-
jifMi,': ■:. /'■'- ■.((/.-,/ lices Iroh axes, du momeni de la forée parrappori'i l'oriijine.
Le moment d'imo force F par rapport au point étant un vecteur, on peut considérer ce vecteur comme la somme géométrique de trois autres, dirigés respectivement suivant Oar, Oij et 0:; il s'agit de calculer les expressions de ces trois vecteurs au moyen des coordonnées a,', i/, ; du point d'application de la force et des composantes X, Y, Z de cotte force suivant les axes. Pour cela, nous remarquerons que la composante do ce vecteur suivant 0; est égale, en vertu du théorème précédent, au moment de la force par rapport h 0;, c'est-à-dire au moment par rapport au point de la projection de la force sm' le plan xOij. Mais la projection de la force sur le plan xOi/ est une force appliquée en un point [-x, y) de ce plan et dont les composantes sont X et Y ; donc, en vertu du numéro 177,. son moment par rappport au point est égal à
cette expression est aussi celle de la composante suivant 0; du moment de la force F par rapport au point 0. On en déduit
Kr^
les autres composantes en peniintant circulairement les leUres .F, y, z et X, Y, Z. Si donc L, M, N sont les composantes cliercliées suivant les axes respectifs Ox,Oij et 0;, on a
L = >/'/. — zY,
N ^ a-Y — yX.
l*il. Remakoue 1. — Par définition les quantités L, H, ^' re])résentent aussi en grandeui- et signe les projections sur les axes respectifs Ox, 0;/ et 0; de l'axe du couple (^ui naît de la translation de la force F au point 0. D'après cela, soit Fi, Fî, . . ., F,i un système do forces applinuées à un corps solide. Supposons que l'on Iransporte toutes ces forces parallèlement à elles-mêmes au point et soient, d'une manière générale, L;, M;, N; les projections sur les axes de l'axe du couple de translation de la force F,. L'axe du couple l'ésnltanf étant tasomme géométrique des axes des couples composants, sa projection sur un axe quelconque est égale à la somme algébrique des projections sur le même axe des axes des couples composants. Si donc L, M, N sont les composantes suivani 0.t, Of/ et 0: de l'axe du couple résidtanl, on a L = SU-, M = SM,-, N =^ ÏN;.
182. REMARQt'i! IL — A cause delà signification des lettres L, M, K, et dans le cas particulier où les forces Fi, Fa, , . , , F„ ont ime résultante, ces fomiules peuvent encore s'énoncer ainsi ; Lorsque plusieurs forces ont une résultante, lemometil de celle résultante par rapport à un axe quelconque est é^al à ta somvii: alf/iibrique des moimnls des composantes par ruiqnirl an iiifmn axe.
En effet, L, moment de la résullanfc par rapporl à Ox, esl égal h SL;, c'esl-à-dire à la somme algébrique des monienis des composantes par rapport au même axe.
180. Expressions analytiques des conditions d'éf[uilH}i'e d'un système de forces, — Les développements contenus dans les
^li formant un irîé- ■ chacun des u.x<:f
n:l„lifi
numéros précédents permettent d'exprimer analytiquement les conditions d'équilibre d'un système de forces, en exprimant que la résiiUante générale est nulle, ainsi que l'axe du couple résultant relatif à un point. Or, pour que la résultante générale soit nulle, il faut et il suffit que chacune de ses projections sur trois axes formant un Irièdre soit nulle ; d'autre part la proiectioîi de la résultante sur un axe quelconque est égale à la somme algébrique des projections des composantes. Donc pour que la rcsuUanie gmérale soil ni.i}li\ il faut et il suffi! iju'en projetant toutes les forces sur trois aj drp., la somme algébrique des projecHons su soit nulle.
Pareillement, j^our que l'axe du couple n poini wif nul, il faut et il siiffii qu'en projclunl sur trois iij:i:s fiiriiiniil lin Iriidre les axes des couples composants relaiift. vu ini'nai- point, la somme algébrique des jirojecl ions sur chacun des
D'après cela, soient F,, i'a, . . . , F,, les forces appliquées im\
points dont les coordonnées par rapport à trois axes recianriu-
laires Ox, Oi/, 0; sont respectivement
^'''i Appelons, d'une manière généra!';,
/ Xi, Yj, 7.i les composantes de la force F,
^. suivant ces trois axes et Lj, M,-, K^ les
_____ composantes, suivant les mêmes axes, ^ de Taxe du couple qui résuUe de la translation de la force F,- au point .
Si l'on appelle de même X, T, '/. les composantes de îa résultante générale, L, M, N celles de luxe du couple résultant relatif au point 0, on a (181)
et les conditions d'équilibre du système sont
CUAl'ITHE XII m
Ajoutons d'ailleurs que, les axos étant rectangulaires, on a (180)
(5) Li =- y;Zi — ;;Y;, Mj ^ ZiXr-x^li, ^i = a^'fY;— ;/,Xi-
184. Condition pour qa'il y ait iine résulttinle. — Il faut ri il suffit que i'axe du couple résultant soit mil ou perpendiculaire à la résultante générale. Ces deux hypothèses sont comprises dans l'équation unique
(6) LX-+-MY-1-XZ = 0,
dans laquelle les six quantités X, V, 'A. I., M, N sont déluiics par les équations (1) et (2).
11 est du reste bien aisé d' obtenir les coordonnées x, y, z du point d'application de la résultante, quand il y en a une. On a, en effet, pour les déterminer, les trois équations
L = ,yZ — sY,
M = ;X — icZ,
N = a^Y — yX, qui se réduisent à deux en vertu de (6). Supposant qu'elles se réduisent aux deux premières, cela veut dire que le point d'application peut être pris arbitrairement sur la droite défmie par ces deux équations : cette droite est la ligne d'action de la résultante.
183. Conditioas pour quo le système se réduise A un couple. — II faut et il suffit que la résultante générale soit nulle (lliî)). Les conditions cherchées sont donc
SXi = 0, SYi = 0, SZ, r= 0.
iSfi. Équivalence de deux systèmes. — 11 faut et il suffit qu'en faisant la réduction pour le même point les couples résultants des deux systèmes soient identiques, ainsi que les deux résultantes générales (Hw). Si donc on désigne par des lettres accentuées les éléments qui déterminent les forces du
H2 STAÏIQLE
second système, les conditions d'équivalence des deii\ syHtè.ines seront
SX^ = SX;, / SLi = SL;,
i = sz'i, ( s:ij =^ sn; .
187. Système de forces parallèles. — Lorsqu'on a un système de forces parallèles, on peut supposer l'axe Gz parallèle à ces forces. On a alors
et, les équations (§) donnent
L, = ;/,l-i, Mi =^ — ;.;,-t'',. M; =: 0.
Par conséquent
X = SX; = 0, Y = SY, ^0, Z = SP,-,
{!) L = SF;!/,-, M=:~SF,-a'i, N = S>;,- =.^ 0,
La condition LX + MY -i- KZ = tîst renipiic ; si doiif: 7.
/'Il SF( îiV.sf pan nulle, on a une résultante. Le point d'applica-
tiiin do cette résultante sera défini par les équations
L = ?/Z — sY, M = zS. — xZ,
On en déduit les i'onnulOH
^ SPiXi __ SFi,7,
* " TfT ' '' " "sfT '
qui définissent la ligne d'action de k résultante.
Si l'on, n SF; — 0, les forces se réduisent à un rouplr dont Faxe, perpendiculaire à 0;, est défini par les étjLi.'itions (7).
Enfin, ies conditions d'équilibre sont
ÏF, :^0, i:Ffy;=:0, SFiaTi=Û;
d'où il suit que, pour qu'im système de forces paralliiew sotI en équilibre, il faut et il suffit que la somme algébrique des forces soit nulle, ainsi que la somme algébrique des moments par rapport à deux plans parallèles aux forces. Ces deux der-
nières conditions sont cxprimûes par les équations SF,.|/; = fit ï,FiZi = 0.
188. Système de foi'ces non pai-allèles situées dans le inûme plan. — Comme dernier cas particalier supiiosoiis que toutes les forces soient dans le môme plan sans Stre parallèles et prenons ce plan pour plan xOy. Alors une force ciuelcon(iue, 1%, sera appliquée en un point de coordonnées a'i, y/;, 0, et aura pour composantes Xf, Y,-, ; par suite, en so reportant aux formules (S), on aura
L, :^ 0, M, ==■ 0, Ni == i-,Y,— f/iXf.
X = SX;, Y = SY;, Z ^ 0,
L = 0, M^O, 1\ = ÏN,.
L'axe du couple étant toujours, d'après cela, perpendiculaire h la résultante générale, si celle-ci n'est pas nulle, les forces se réduisent à une, dont le point d'application j:, ;/ est nn point de la droite représentée par l'équation
Les conditions d'équililn'e se réduisent ici à trois, savoir : SXi = 0, SY, = 0, SNi^O;
les trois autres sont identiqii.ement satisfaites. Les trois conditions d'équilibre peuvent évidemment s'énoncer encore de la manière suivante : Pour qu'un sijMmc di: forces si!uA:s daiu le même plan no'd en équilibre, il faut et. il mfjil qur lu sii'iniuaUjà.hriqup, de Ipurs proj^'clioiin .vi' dr.tix axfls vrl"iiij<'liiin''< siluis daiin ce flan soil uiillf, i-l qu'il c» .«j<7 '''■ nn-mr ilr lu somme alijéhrique de Ir.m-s i:ii>iiinilx ji'ir nii/purl l'i mi fini, il de ce plan.
18!). Remahque. — Les six. conditions d'éqiiiliitrr iluu -système de forces peurenl encore s'énoncer ainwi :
Pour qu'un squlèiiu! de furecs appliquée!: û :i.i ror/is -•■■niid.i' soit en équilibre, il faut el il suffi! : 1" qiu: 1rs ^minurs ,il,jéhr,qnns des projarJions di- loiitus ces forces sui' irol- n-m: f>rmiuil
114 STAÏtQtlE
un h-ièdre soient nulles; 3° qur. Icx .viminrs (dijébri-jv--i ilrsviDments par rapport à eus Iroù axes sioicni mdles érjuinniimt-.
IDO. Théorème. -—■ Pour que trois forces appliquées â un corps solide se fassent éqiùlibre, il est nécessaire qu'elles soient s'UiiÉc.s dans le inêitie plan.
Soiont A, B, C les lignes d'action des trois forces P, Q, iï. Considérons une droite qnolooni|iie i s'apimyimt sur ÎGS deux premiùri^s j>ar exemple, et prenons les mouients par rapporl à cette droite.
Pour r|u'il y ait équilibre, il faut que la somme algébrique de ces moments soit nulle. Or, les nioiiients de P et de Q par rapport à i étant (ividemmenL nuls, lasonnno jébriquc des moments se réduit au moment do R ; donc le moment de R par rapport à i doitûtie nul, ce qui exige que R et A soient dans le même plan. Supposons alors que A tourne autour du point Ij en s'appuyant sur P ; comme elle doit toujours rencontrer G, on voit que P et R doivent ôtre dans le même plan. Mais alors Q no peut leur faire équilibra que si elle est égale et opposée à la diagonale du parallélogramme construit sur P et sur R ; donc les trois forces doivent être dans le même plan.
La condition n'est ÔYldemmont pas suflisante, ef, pour que trois forces situées daas le même plan se fassent équilibre, il faut et il suffit qu'elles soient concoiirantes et que chacune d'elles soit proportionnelle au sinus de l'angle foruic par les doux autres (GO).
CHAPITUK Xlll ÉQUILIBRE D'UN COP.PS SOLIDE
191. Corps libres ; corps gôués. — Commet les points matériels, les corps solides peiwcnt être lilirfis ou gihtés. Un coqis solide est libre quand on peut lui faire occuper une posiUon quelconque dans l'espace ; il est Qên dans le cas contraire. En particulier un corps solide mobile autour d'un point fixi' ou d'un axe fixe est gônô. D'après cela, la recherche des conditions d'équilibre d'un corps solide comprendra plusieurs cas, que nous allons examiner rapidement.
192. Équilibre d'un corps solide libre. — Los conditions d'équilibre d'un corps solide libre sont identiques aux conditions d'équilibre du systi''me des forces qui agissent sur ce corps. Ces conditions ont été dnumérécs et établies dans le chapitre précédent, nous n'y reviendrons donc pas.
193. ÉqulIltoM d'un corps soUdn inobilc autour d'un point fixe. — Lorsqu'un coi'ps solide a un point flse, on admet qu'il exerce sur ce point une certaine priixaiùn et qu'il éprouve de la part du point une réaclînn on résutaii c^ é'^s.lo et opposée, [Pi-uicijK du Viigalitê de l'action ni de la réaction.)
Pour qu'il soit en équilibre, )'/ faiit et il suffi! qii<' Voxr du i;miple résultant relatif au piiwl fixe soit md.
1° C'est nécessaire. — En ciï'et, si l'on appelle le poinl Q.sc et si l'on prend ce point comme centre de réduction des forces appliquées au corps, la résultante générale est détruite par la résistance ; il ne reste donc plus que le couple résultant, qui ne peut être en équilibre que si son axe est nul.
2° C'e»t su-ffi,saiit. — Car si l'on prend le point comme centre de réduction, la résultante générale est détruite par la résistance du point, cl comme le couple résultan! est nul. il y a équilibre.
D'après cela, si Ton rapporte le corps à troix axus rcclangulaires passant par le point lixe, et si l'on conserve les mfimes notations que dans les chapitres précédents, les conditions d'équilibre du corps se réduiront à trois cl s'écriront SL; = 0, iM,=0, i:K; = 0.
Les composantes de la résultante générale., c'est-à-dire de la pression, suivant les in<jmcs axes sont d'ailleiirs X = SX;, Y = Sï„ Z = SZi.
19i. Remarque. — Les conditions d'équilibre peuvent encore a'énoneer ainsi ;
Pottr qu'un corj3S solide qui a iinpoint fixe soit en équilifire. il faut et il suffit que toutes les forces appliquée au corps areiil une résultante nulle ou passant par le ^Joint fixe.
En effet, pour que l'axo du couple résultant relatif à un. point soit nul, il faut et il sutïK qu'il y ait une résultante nulle ou passant par ce point. Ou s'en assiirc en faisant la réduclion h une force et à un couple pour ce point.
193. Équilibre d'un corps luobUe autoui' d'un axe fixe, - En vertu du principe de l'égalité de l'acUon et do la réaction, les divers points du coi-ps situés sur l'axe exercent des pressions sur les points correspondants de l'axe et éprouvent, de la part de ces points, des réactions égales ci opposées.
Pour qu'un corps solide mobile autour d'un axe flx': sz' nnit en équiUùri; il finil <-l il ■•^ii//il qiw l'o.vr du nuiph: ré-yiillaiU relatif â un }ini„l dr l'„.n: da rr.r,,,! niii,,, snll ,nil ui, ,,rr,,r,>dlculairl'
1° C'est nécessaire. — Car si l'on fait la réduction pour un point de l'axe, la résultante générale est dé- G truite par la résistance de ce point ; si alors "^1 l'axe OG du couple résultant n'est jjas nul, il
I l>eut èlre ilécomposé en deux, OU et OK, le
■^K itrcmier dirigé suivant l'axe de révolution, et le (louxièiuo perpendiculaire à cet axe. Le bras d(? levier dii couple OK peut ôvidemnront être nnucné à coïncider avec ::' et alors les deux
ClIAPiïRE Xlït IJT
i'ouces qui constitueiil ce couple sont détruilcs [lar la résistance de l'axe. Si donc OH n'est pas nul, le couple dont il est Taxe aura pour effet de faire tourner indéfiniment le corps itutour de ss'. Par suite, pour qu'il y ait équilibre, 11 faut que OH soit nul, c'est-Èi-dirc que l'axe du couple résultant soit perpendiculaire îi z^'.
2° C'est suffisant. — C'est éYÎdenl si OG est nul. Si OG n'est pas nul, il se réduit îi OK qui est défruit par la résistance de l'axe, en vertu du raisonnement fait dans 1°.
D'après cela, si l'on rapporte le corps à trois axes rectangulaires dont l'un soit zz\ il n'y aura qu'une seule condition d'ôquilibre exprimée par l'équation
SNi =^ 0, qui exprime aussi que ta xomme. alf/éùriqwi des momenU, par l'apport à l'axe fixe, des forces qui agisaent sur k coi'ps doit être imite, et que cela est suffisant pour l'équilibre.
196. Remarque. — 11 est clair que les pressions supportées par l'axe sont indéterminées ; car non seulement la position du point sur ï:' est indéterminée, mais on peut aussi faire varier à volonté les forces du couple résultant.
'197. Équillbr»! d'un coi'ps solide mobile autonr il'mt axe et pouvant glisser le lono de cet axe. — Il faut évidemment et il suffit que le corps ne puisse ni tourner ni glisser. Pour qu'il ne puisse pas tourner, il faut et il suffit que l'axe du couple résultant relatif à un point quelconque soit nul ou perpendiculaire à l'axe de révolution. Pour qu'il ne puisse pas glisser, il faut et il suffit que la résultimte générale soit perpendiculaire à l'axe.
Par conséquent si l'on prend l'axe de révolution pour axe des s, les conditions nécessaires et suffisantes pour l'équilibre seront
SN; = et ï;Z, =x 0.
198. Équllilii'e il'uii coi'iis solide s'appuyanl sur un plan îise par un ou pluslem-s points. — Quand un corps solide s'appuie sur un plan fixe par plusieurs points, on appelle polygone de
ItS STATIQUE
Hii.st'.'iilalioli un polygone convexe ayant pour sommeil dos points (l'appui et tel que tons les aulres points d'appui soionià l'intérieur do ce poly^'one.
Pour qu'un corps solide tissujetti ii ces condiiions soit eu
équilibre, il faut •:! il. sd/fi! ipin (uutr.H 1rs fora-x iini i'<ii-i--<ri,l sur lui ainni n»e ,rsi'IUn>h: riwmnU- i'H/>la„, /e rninm.lraul à
kpla,;.
Soient, en effet, Pi, P?, ... les points d'appui. La pression du corps développe dos réactions normales au plan, et appliquées aux points P(, P^, ... ToutcH ces rôactions sont des forces parallèles et de même sens ayant une résultante normale au plan et appliquée en rm point situé à l'intérieur du polygone de sustentation, Cette résultante devant ûtre équilibrée par les forces appliquées au corps, celles-ci doivent avoir une résultante, normale au plan, rencontrant le plana l'intérieur du polygone de srrstontation (') et qui doit presser le corps contre le plan ; donc les conditions énoncées sont nécessaires. Elles sont suffisantes ; car, si elles sont remplies, en peut dé- ' composer (96) la résultante des forces appliquées au corps " en trois forces parallèles et de même sens qu'elle, appliquées en trois des sommets du polygone de sustentation et détruites par conséquent par la résistance du plan.
En particulier, s'il y a LUI seul point d'appiri, la n^sullanlo doit passer par ce point. S'il y en a deux, elle doit rencontrer la droite qui les joint en un point situé entre ces deux, points; en la décomposant alors en deux forées parallèles et de même sens appliquées aux deux points d'appui, on aura les pressions supportées par ces points. De même s'il y a trois points d'appui, la résultante doit rencontrer le plan h l'intérieur du triangle fonné par ces trois points et, en la décomposant en î.rois autres parallèles, appliquées aux sommets du triauglej ou pourra évaluer les pressions supportées par les points d'appui.
(') Ceui résulte de la consti'iictiiMi du centre des forces pai'allèlcs, quand
Il n'esi. plus possible d'évaluci' ces puesslons quand U nombre des points d'appui est supérieur à li-ois ; car alors le problèmt; est indétcmiinc (90).
199. Équilibre d'un système de corps. — Chaque eorps exerce une action sur le corps voisin et éprouve de la part de celui-ci une réaction égale et opposée ; de sorte que l'on peut remplacer l'action de chaque corps par une force de grandeur et de direction convenables. D'après cela, la méthode générale pour exprimer l'équilibre d'un système de corps consiste à considérer chaque corps comme lilDre et soumis : 1" à l'action des forces données ; %" aux réactions des corps voisins ou des forces remplaçant les liaisons existantes.
En écrivant alors les conditions d'équilibre de chaqiie corps, on aura des équations permettant de définir et les positions d'équilibre et les réactions mutuelles.
âOO. Remarques. — ]." Si l'un des corps est réduit b. un point, on considère ce point comme la limite d'une sphère de rayon très petit, et si le corps voisin est une surface unie, on applique au point des forces opposées de même intensil.é et normales à la surface.
2" On opère de même si l'iui des corps se termine inir une pointe reposant sur une surface (inic,
201. Tension d'au fil. — Comme cas particulier exaininons celui où l'iin des corps est un iîl. Dans ce cas, nous supposerons toujours le fil sans poids. Pour qu'il y ait alors équilibre, il faut que la résultante des corps voisins sur l'extrémité A du fi! soit dirigée suivant le 111 AB et soit égale et opposée à la ri'sultante des actions sur l'extrémité "* J~ g *■ B. Il faut de plus que ces deux résul-
tantes tirent le fil et non pas qu'elles soient dirigées l'une vers l'autre. Chacune de ces forces s'appelle la tension du fil ; enfin, chacune d'elles est égale et opposée à la force qii'il faudrait aiiplîquer au corps voisin pour remplacer l'action du lil.
120 STAïrorn
"im. Appiication !. — È^iiiililirr iF .nw ha,;-r h'i»niiifiii' .Ir
On peut consklérev lu barre comme libre ol soumise : 1" ii son poids P, .appliqué ou son niilici\ G ; 2" aux réactions R et R' des deux plans inclLni5H,a])pliquéos aux extrcmiWs A ol B de la barre et respectivemenl. nonnales à ces deux plans. Pour qu'il y ait équilibre, il faut donc d'abord que ces trois l'orcew soieni situées dans lomôme pluu Q, qui sera perpendiculiûre aux deux plans inclines puisqu'il contient R et Ji', et qui sera, par suite, p er]) end icul aire !i leur inlersection. Mais le plan Q conlinnt au^si lafoi'co verticale P;
i\ il ■■:■! ■>■ Ji:i:iil, et comme il
!■ : ; ■ I :^i' fi l'inEersec-
ii .■i.'-i' |i';i]i- inclinés, celte
intersection doil être horizontale.
Ainsi, pourqu'il yait équilijjre,.
il faut d'aboi'd que Vinlersection des deux planis inclinés soit horizontale, et que la barre soil située dans un plan Q perpendiculaire i\ celle intersection.
Cela posé, si Von prend le plan Q comme plan du tableau el si l'on appelle GOD la section des deux plans inclinés pruce plan, le problème est ramené au suivanf :
fin'' hui'Pf. UomoiJihU: Aiï, de lioidu P, rr/ms'- /n:,- sis r.rh-i'nnih's
snr u)t n,i<jk vfflicftî COD; livvuei- -w /xixiiii.ii ff/'i/iiiliùrn.
Supposons que la position d'équilibre ail été Irouvce et lapporfons le système à trois axes rectangulaires passant par le point (î et définis de la manière suivante : G; est la verticale du i)oinl G ; Gcc est perpendiculaire à cette veviiealit d;uis Ir plan Q, et Gf/ est perpendiculaire au plan Q, Les ['olcc- '.'. Il et R' qui agissent sur la barre étant sitiiées dans le plan ili.r, les six conditions d'équilibri! se réduisent à trois (1«B> :
SX; = 0, 2Z,- = 0, SM; = 0.
Or, si l'on prend comme iiieoiniuo l'angle 1 que la barre fai!
ClUPlTliE XllI 12i
avec Gar, et si l'on appelle a et p les angles aigus respectifs que les deux plans inclinés font avec un plan horizontal quelconque.', on a
SX; = IV sin p — R sin ^,
SZ, =^R' cos p + Rcos I — P, D'autre part, si l'on mène ios perpendiculaires Gl el GH sui R et sur R', on a
ï:M; = R'XGH— RXGI; mais GH = GB cos (p — 0) et Gl = GA cos (o -H 0) ; donc, puisque GA = GB, les équations d'équilibre sont
R' sin li — R sin « = 0, R' cos p H- R cos a — P = 0,
R' COS(? — 0) — RcOs(a-i-O) = 0. .
Les deux premières défuiissent R et R', eL la troisième détennine 9 quand on connait le rapport r^,- De la première et de la troisième on déduit du reste successivement sin p
cos (« -^- 0) cos (p — 0)' (cos f cos Oh- sin psin'l) = sin p (cos !< cos H-
....-JÉ-lt?--)
