CHAPITRE X!V

réaction P., appliquée en A. Par conséquenl, pour qu'il soit eu équilibre, il faut et il suffit que les deux forces P et It soient égales et directement opposées. Il faut en particulier, pour cela, que G soit sur la verticale du point A, et, do plus, que Ton ait p = R.

En recommençant le même raisonnement pour le second plateau de poids p' appliqué en G', et sur lequel le fléau exerce une réaction R', appliquée en B, on voit que G' doit être sur la verticale du point B et que Ton doit avoir eji outre p' = R'.

Inversement, les actions dos piuteaux sur le Iléau sont des forces verticales égales, l'une à B, l'autre à R', et appliquées respectivement en A et en R. On peut donc, pour l'étude des conditions d'équilibre du fléau, faire abstraction des plateaux, à condition de remplacer leur action par deux forces égales à leurs poids respectifs et appliquées, la première au point A, la deuxième au point B.

Si nous supposons maintenant que l'on place un poids P dans le plateau qui est suspendu en A et un poids P' dans celui qui est suspendu en B, nous pourrons recommencer les mêmes raisonnements et, par suite, en conclure que iotd su passe mmvw si les poids P el P' iHai<:ni appliqués respeclhemenl en A et en B.

209, Centre do oi-avité de ia balance. — On appelle centre de çirmilA de la balance, le point d'application de la résultante du poids du fléau seul appliqué en son contre de gravité, et de deux forces verticales jj et j/, égales aux poids respectifs des deux plateaux vides, et appliiiuées respectivement aux arôtes de suspension A et B des deux plateaux. Dans tout ce qui suit, nous appellerons ci la résullante de ces trois poids et y le centre de gravité de la balance, tel qu'il vient d'être défini ; de sorte que si l'on pSaee des poids P et P' dans les plateaux, pour éludier les conditions d'équilibre du fléau, on aura à étudier les conditions d'équiliJDre de trois forces : i" la force verticale fil, iqjpliquéo au point j ; 2' les forées P et P', verticales

130 siTA-noiE

aussi, et appliquées respocUvomerit en A et en H. Pour plus (le simplicité, nous suppuserons quo lesarûtes des troi^i couteaux sont parallèles et ijue les trois forces ra, P et P' sonl appliquées en des points situés dans lo mémo phiii TOrlioa! perpentlicuiaire aux trois arêtes.

210. Conditions île jiisLesse. — On dit qu'une Jialanee c^t juste si, le fléau étanUioriïonta! quand les plateaux sont vides, il demeure liorizonlal quand on place des poids égaux dan:i les plateaux, et si do plus, cette condition est remplie quels quo soient ces poids égaux. Nous allons montrer quo pour qu'une balance soit juste, îl faut : i' que le centre de gravilè g di: ta !j«.la>ii-x; soil sur la veiiicale du point de suspensîoii dv (Ij'.av ; -1" ijw: /''.v deux bras du fliiau soient isgaiix. On appelle d'ailleiii's Iji-tia du ftèau les distances iki point de suspension du [léan aux plana verticaux passant par les arêtes de suspensàon dos couteaux.

Appelons en effet P los poids égaux placés dans les plateaux, 0« et Olj les deux bras de levier du lléau. Celui-ci peiil, ôti'6 considéré comme un corps solide ayant unpointfixe 0, et, pour qu'il soit en équilibre, il faut que la HOiiime algébrique des moments des [i'iiis forces rr, P, P, par rapport au point 0, soit nulle. On doit donc avoir P.Q/ï --- w.OO' + P.O'^

ouljien P(0rt - 0/;) = ro.OO'.

Mais, le iîéau étant supposé liorizontal quand le^.. pkdeauN sont vides, pour quo la balance soit juste il faut quo cotio condilion soit remplie quel que soit P, ce qui exig-c que l'on ait

Oa — 01,^0 et 00' = 0.

Ces doux égalités expriment bien les condition,-; d(^ ju:.!c:):-i; éûoiieées plus baut.

Les di-^vix conditions sont suffisantes au point de vue méciinique ; ollcs ne le sont pas au point de vue praiique, car il

ciiArniiF. XIV 131

faut de plus que l'équilibre soiL aLablc. Or, on constale facilement que le fléau penche toujours tVuii cûté ou de l'autre sous l'action de poids égaux, et cela, d'autant plus que ces poids sont plus coDSidérahles, de sorle qu'une balance n'est jamais juste, surtout si c'est une balance de précision.

Il est d'ailleurs facile de voir que, pour la stabilité de l'équilibre, il faut que le point g soit au-dessous du point 0. Si en effet le point 'j coïucide avec le point 0, la force m est détruite par la résistance de ce point, et, les deux bras du fléau étant supposés égaux, quand on place des poids égaux dans les plateaux la résultante de ces poids passe encore par le point ; par suite le fléau est on équilibre dans n'importe quelle position : la balance est dite indiff-irenU et ne peut servir pour effectuer les pesées.

Si le point (j est sur la verticale du point 0, mais au-dessus de ce point, quand le fléau est horizontal il est en équilibre ; seulement il tend à tourner do 180° quand on l'écarté légèrement de sa position d'équilibre. Dans ce cas on dit que la balance est folh et elle ne peut évidemment pas servir.

Enfin si le point (/ est au-dessous du point et si on l'écarle de sa position d'équUibre, on voit facilement qu'il lend à y revenir. En effet, les deux poids égaux placés dans les plateaux ont toujours une résultante détruite par la fixité du point ; il ne reste donc que la force -m dont l'action tend, à ramener le fléau dans sa position d'équilibre. Donc le point ,'/ doit être situé au-dessous du point 0; d'ailleiu's la distance Qij n'est pas arbitraire, pour d'autres raisons qui vont être exposées.

211. Conditions de sensiMitô. — Quand on place des poids inégaux dans les plateaux d'une balimce, l'équilibre s'établît sans que le fléau soit lioriKOntal. On dit alors que la balance est plus ou moins sensible suivant que l'angle d'écart est plus ou moins considérable pour une différence donnée des poids qui sont dans les plateaux. Il est clair qu'une pesée sera d'autant plus exacio que la balance sera plus sensible. Il ÎDiimrle donc d'étudier les conditions de sensibilité.

132 statiqi:tî

Considérons d'abord le cas où les trois points 0, A cf. lï sont en ligne droite. Soit rj lo centre de gravité de la balance, -, placé ail-dessous du point et sur

la verticale de ce point, et soient P et P -\- p les poids placés respoclivcraent sur les deux plateaux. Sous l'action do ces poids le fléau se met en équilibre dans une position A'B' faisant l'angle a avec la position A.B supposée horizontale ; sdil akus /;' la nouvelle position du point g. Si l'on pose OA = OB ~ / et 0^ = d, le théorème des moments par rapport au point 0, fpiand l'équilibre est établi, donne

(1' -f^ p]l COS a = P; CO^ a + T^d V.m ï.

On en déduit,

et, par suile, deux valeurs de ^ dont l'une a, inférieure à ^ et l'autre égale à -j-i-^ -i^, La première correspond à. une position d'équilibre stable et la deuxième à iine positiim d'équilibre instable, car le point 'j' serait au-dessus du point 0.

Pour la valeur a,, qui est la seule dont nous ayons à nous occuper, on voit qu'elle est d'autant plus grande que j) et I. sont plus grands et que ro el rf sont plus petits. Ainsi, le point fj doit être sur la verticale du point et au-dessous de ce point, mais h une distance aussi petite que possible, sans (ître nulle. Ajoulons que les balances de précision sont munies d'un dispositif qui pennet d'élever ou d'abaisser le point '/ suivant que l'on veut effectuer une pesée de précision ou une pesée rapide.

Considérons maintenant le cas où les trois points 0, .\. et B ne sont pas en ligne droite, et supposons que dans la position d'équilibre, pour des poids égiuis, les deux longueurs OA et OB, égales a /, fassent un^jnème angle avec l'horizon.

CIlAPITItE XIV 133

Soit toujoni-s j; le centre de gravité placé sur la verticale du point 0, au-dessous de ce - point et fi une distance d.

Soit a l'angle d'écart obtenu en mettant le poids P + ;i dans le plateau qui e»t suspendu en A et le poids P dans l'aiitre plaleau ; soit enfin (/ la nouvelle position du point g. En appliquant encore le théorème des moments par rapport au point 0, on doit avoir, dans la position d'équilibre,

Or, on a

m\P+p) ^ {P-\-p)m ^ (V-h}>)l oos (Oh-ï), m'P = — P.OK = — P/cos(a — a), m'Ki = — ra.OL = — radsina.

L'équation d'équilibre peut done s'écrire

{P-\-p]l COS (0-1- a) = P/ COs(fl~ï) 4-W sill 7..

En développant cos (0 -i- n) ot cos (0 — :c), on ol)lionl une équation homogène en sin a et cos a, de laquelle on déduit

pi cos 8 '^ '' ^ W-i-(5P-i-2')'sinO'

On voit d'après cela que la sensibilité augmente quand / augmente et que ra et rf diminuent, p conservant imc valeur constante.

Elle est d'autant plus faible que P est plus grand, de sorte qu'il y a avantage à rendre la sensibilité indépendanle de P. Pour cela il suffit de construire l'appareil de telle sorte que sin B = ou :=; ; on retombe ainsi dans le premier cas examiné.

212. MéUioile de la double pesée. — La métliode de la double pesée, imaginée par Borda, a pour but d'obtenir des pesées exactes indépendamment de la justesse de la balance. Klle

134 HTAl'IQL'E

consiste à faire équilibre au corps placé dans l'un des plateaux avec de la grenaille de plomb placée dans Vautre plateau, et â remplacer ensuite le corps par des poids marqués jusqu'à ce que l'équilibre soit de nouveau rétabli dans les mÉmcs conditions.

L'ensemble de ces poids marqués représente évidemment le poids du corps, avec d'aulanl pUis d'exactitude que la balance est plus sensible.

2J3. Balance romaine. — La balance romaine est un levier du premier genre dont le point d'appui est fixe ainsi que le point d'application de la résistance. La puissance est constante en grandeur, mais son point d'application est variable .

Le levier est d'ailleurs constitué par une tige Alî que l'on suspend par un crochet articulé au point d'appui, 0. Les corps que l'on veut peser et qui forment la résistance Q sont suspendus à un ci'oclu'L ai'Uculc an point B ; enlin la puissance

est un corps de poids constant P qui se déplace le long de la tige. Le centre de gravité de l'appareil, indépendamment du poids P, doit être un point G situé entre et B, sans cela on ne pourrait pas peser des corps de faible poids.

Soit ra le poids de l'appareil, non compris le poids P, et soient Q la résistance et A le point d'application de la puissance. Supposons que l'appareil soit en équilibre, que le levier soit horiïonlal, et appliquons le théorème des moments par rapport au point 0. L'équation d'équilibre est alors